5.4.1幅角原理 Cauchy定理(幅角原理) 如果闭合曲线以顺时针方向,在s平面上包围了F(s)的z个 零点和p个极点,但不经过任何一个F(s)零点和极点,那么 对应的映射曲线也以顺时针方向为正,在F(S)平面上包围 原点M=zp周 s平面 F平面 F(S1) F(S)的相角:∠F(s)=∑(+=)-∑∠(+p)
5.4.1 幅角原理 Cauchy定理（幅角原理）： 如果闭合曲线以顺时针方向，在s平面上包围了F(s)的z个 零点和p个极点，但不经过任何一个F(s)零点和极点，那么， 对应的映射曲线也以顺时针方向为正，在F(s)平面上包围 原点M=z-p周. s平面 F平面 s1 F(s1 ) F(s)的相角： = = = + − + n i i n j F s s zj s p 1 1 ( ) ( ) ( )
5.4.1幅角原理 o(s) G(s)-,G(S)H()=N() 1+G(s)H(S) G(s) D(S) H(S) F(s)=1+G(s)H(s)= D(S)+N(S D(S N(s):最高次为m次 S+2,(s+z s+2 D(s):最高次为n次,n>=m (S+1)(S+P2).(+pn) F(S)分子分母的阶次相同均为n ★F(与G(HS只差常数1F的零点2-环的极点 F(s)的极点p---开环的极点
5.4.1 幅角原理 G(s) H(s) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) G s N s s G s H s G s H s D s = = + N(s): 最高次为m次 D(s):最高次为n次,n>=m F(s)与G(s)H(s)只差常数1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )( )...( ) ( ) ( )( )...( ) n n D s N s F s G s H s D s s z s z s z F s s p s p s p + = + = + + + = + + + F(s)分子分母的阶次相同均为n F(s)的零点z-------闭环的极点 F(s)的极点p------开环的极点
5.4.1幅角原理 F(S)=1+G(S)H(s) F(S)绕原点的周数=G(s)H(s)绕(-1,j0)点的周数 R=Z-P 将封闭曲线扩展为整个右半面; 0=00 P:开环系统在右半平面极点的个数 R:G(jo)H(jo)绕(-1j0)点逆时针转的周数; z:闭环系统在右半平面极点的个数; 当s沿左边的半圆顺时针取值时,F(s)的映射 s=j0,wa∞→0→+∞G(s)H(s)=G(jo)H(0) 0=6 G(s)H(s)=0
5.4.1 幅角原理 = - = r= jw 当s沿左边的半圆顺时针取值时， F(s)的映射： s=j ，w= −→ → + 0 G(s)H(s)=G(j)H(j) r → G(s)H(s)=0 F(s)=1+G(s)H(s) F(s)绕原点的周数 = G(s)H(s)绕（-1，j0)点的周数 -R=Z-P 将封闭曲线扩展为整个右半面； P: 开环系统在右半平面极点的个数； R：G(j)H(j)绕(-1,j0)点逆时针转的周数； Z：闭环系统在右半平面极点的个数；
5.4.2 Nyquist稳定判据 ZEP-R 根据系统开环特性(在s右半平面的极点及频率特性曲 线),用图形的方法判断闭环系统的稳定性的方法,称 为 Nyquist稳定判据。 P:>开环系统在右半平面极点的个数; R:>G(jo)H(jo)绕(1j0)点逆时针转的圈数; 闭环系统在右半平面极点的个数 ZEP-2N O:-0-0→+0 :0→)+0 如果:系统稳定,则频率特性不包围(-10)点
P: 开环系统在右半平面极点的个数； R: G(j)H(j)绕(-1,j0)点逆时针转的圈数； Z: 闭环系统在右半平面极点的个数； Z=P-R 5.4.2 Nyquist稳定判据 Z=P-2N :−→0→+ :0→+ 根据系统开环特性（在s右半平面的极点及频率特性曲 线），用图形的方法判断闭环系统的稳定性的方法，称 为Nyquist 稳定判据。 如果：系统稳定，则频率特性不包围（-1,j0)点
5.4.2 Nyquist稳定判据 例如:G()=k k G2(S)= Ts+ (T1s+1)(72S+1) k G3(s) (T;s+1)(72S+1)(T3S+1) GH(j0):N=0,P=0,则Z=P2N=0 Z=P-2N GH(j0):N=-1,P=0,则Z=P2N=2 G4(s)=
GH(j): N=0, P=0, 则 Z=P-2N=0 GH(j): N=-1, P=0, 则 Z=P-2N=2 Z=P-2N ( 1)( 1)( 1) ( ) ; ( 1)( 1) , ( ) 1 ( ) 1 2 3 3 1 2 1 2 + + + = + + = + = T s T s T s k G s T s T s k G s Ts k 例如： G s 4 2 ( ) 1 G s Ts = − -2 -1 5.4.2 Nyquist稳定判据