◆多重集S的产组合数就等于从n个网袋里 取r个球的取法数。用x代表球,x代表从第1 个网袋里取i个球,x代表从第2个网袋里取 2个球,…,x代表从第个网袋里取个球求 2…个满足条件计+2+…+=(= 12,…,1)。故x14x2-xik=x1+12+…+i=x就对应了 多重集S的一个r组合。因为给出1个x的构 成就等于给出了多重集S的一个r组合,所以 x的系数就是多重集S的产组合数 利用上述方法就得到了求组合数的方法, 就称为生成的数法
多重集 S 的 r-组合数就等于从 n个网袋里 取 r个球的取法数。用 x代表球， xi1代表从第1 个网袋里取 i 1个球， xi2代表从第2个网袋里取 i 2个球， …, xik代表从第 k个网袋里取 i k个球。 i 1,i 2,…,i k 个满足条件 i 1+i 2+…+i k=r ( i j nj,j=1, 2, …, k)。故 xi1 xi2… xik=xi1+i2+…+ik=x r就对应了 多重集 S的一个 r-组合。因为给出1个 x r的构 成就等于给出了多重集 S的一个 r-组合，所以 x r的系数就是多重集 S 的 r-组合数。 利用上述方法就得到了求组合数的方法， 就称为生成函数法
生成函数的定义 ◆定义7,1:设aa,…,an…是一个数列,构 造形式幂级数fx)=a0+ax+a2x2+.+ ax+…,称)是数列aoa1…,n…的生成 数,且两个形式幂级数 ∑0ax和∑曰0bx相等当且仅当对 每个i,有a=b
二、生成函数的定义 定义7.1：设 a 0,a 1,…,a n,…是一个数列，构 造形式幂级数 f(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…+ a nx n+…,称f(x)是数列 a 0,a 1,…,a n,… 的生成函 数，且两个形式幂级数 相等当且仅当对 每个 i，有 a i=b i 。 0 0 i i i i ii ax bx 和
◆对于有限序列,可看成自某项后全为0 的无穷序列
对于有限序列，可看成自某项后全为 0 的无穷序列
为什么称为形式幂级数 ◆根据高等数学,作为幂级数要讨论 它们的收敛范围,即当x在收敛范围内取 值时,幂级数才会收敛于某个函数f(x) 而这里,x仅是记号,并不需要赋值,从 而也不需要考虑收敛范围,故称为形式 幂级数,而x也称为形式变元
为什么称为形式幂级数？ 根据高等数学，作为幂级数要讨论 它们的收敛范围，即当 x在收敛范围内取 值时，幂级数才会收敛于某个函数f(x) 。 而这里， x仅是记号，并不需要赋值，从 而也不需要考虑收敛范围，故称为形式 幂级数，而 x也称为形式变元
、形式幂级数的运算性质 ◆定理7.1:设数列{an3{bn,n的生成函 数分别是f(x),g(x和h(x),r为常数。 ◆(1)如果bn=rOn,则g(x)=rfx) ◆(2)如果cn=an+bn,则h(x)=x)+(x。 ◆(3)如果cn=∑0ab 则h(x)=x)*g(ay)
三、形式幂级数的运算性质 定理7.1：设数列{a n},{b n},{c n}的生成函 数分别是 f(x), g(x) 和h(x) ， r为常数。 (1)如果 b n=ra n，则g(x)=rf(x) 。 (2)如果 c n=a n+b n，则h(x)=f(x)+g(x) 。 (3) 如果 则h(x)=f(x)*g(x) 。 0 , n n i ni i c ab