第一章极限与连续 第十节闭区间连续函数的性质 一、有界性与显大值最小值定理 最大值和最小值的报念： 对于在区间1上有定义的函数f(x),如果有∈1，使得对任一x∈1， 都有 f(x)≤f(和)(f(x)2f八n)),则称f(x）是函数f(x)在区间1上 一定能取得它的最大值和最小值。 注意：(1)区间一定为闭的。香则皓论不成立，如： y=x在（-1,2)内有最小值日，但无最大值 〔2)最大、最小值可在端点取得，且取得最大、最小值的点也可有多 处. 如y=x2在【-1,21在端点取得最大值，y=地x在 [0,6列上有多处取得最大、最小值。 二、季点定理与介值定理 如果x使f(x)=B,则x称为函数f(x)的腰点. 定理2（零点定理）设函数f(x)在闭驱间【a,b]上连续，且f()与f(仍） 异号（即f(@)·f）《)，那么在开区间(a,b)内至少有一点5使 f(5)=0 1
1 第 一 章 极限与连续 第十节 闭区间连续函数的性质
y=f(x) B bx a分b 0 定理3（介值定理） 设函数f(x)在闭驱间【a,b]上连续，且在这区问的端 点取不同的函数值f()=A及f(亿)=B,那么对于A和B之间的任意一个数 C,在开区间(a,b)内至少有一点5，使得 f()=C(a<6<b) 证设似x)=f(x)-C,则以x)在闭驱间【a,b】上连续，且ga)=A -C与)=B-C异号，根据零点定理，在开区间(,b)内至少有一点5 使得 p(5)=日(a<5<b 有网5)=f(5)-C,所似f(5)=C(a×￡<b 推论在闭区间【a,b】上连续的函数必取得介于最大值州与最小值m之间的任 何值 例1试证方程x2=1至少有一个小于1的正根， 证令f(x)=x2*-1,则f(x)在[0,1上连续，f0)=-1,f(0=1, 由零点定理得： 存在号∈(0,1)，使f()=0,即方程x2=1至少有一个小于1的正根. 例2设f(x)在[a,b]上连续，若f(a)<a,f)>b证明：在(a,b)内至 少存在一点5，使得f(传)=5. 证令F(x)=f(x)-x,在[a,]上对F(x)使用季点定理即得结论
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