第三章导数的应用 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 一函数单调的判定法 y=f(x)在【a，b】上单调增加〔单调减少) =y'=f"(x)20,0y=f"(x)s0) 】，函数单跳的淀理 定理1设函数y=(x)在【a,b]上连续，在(a,b)内可导。 (1)如果在(a,b)内f(x)>0,则y=f(x)在【a,b】 上单调增加。 (2)如果在(a,b)内f"(x)<0,则y=fx)在a,b1 上单调减少。 证x1,e[a,b】且方<为，由Lrange定理得， f(x)-f(x)=f"(55-x),5(,x3). a)若f"(x)>0， xe(a,b)，则
1 第 三 章 导数的应用 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
f"(5）>0→f()<f(x3) 故y=f(x)在[a,b]上单调增加 2)同理可证.■ 注！定理中的闭区间[4，b]可换成其它各种区间 2若(x)在某区间内f()≥0成∫(x)<0),而等号仅在有限个点 处成立，则f(x)在I上仍然单调增加单调减少).如：f(x)= x2. 例1判定函数y=x一如x在下列区间上的单调性 (1)[0,2: (2)[-x,刘. 解（1)在(0,2列内，y'=1-cosx>0, ∴.由单调性判别法知，所给函数在[0,2π]上单调增加。 （2):在[-π，]内，y=1-c0sx≥0，且等号仅在x=0处成 立， 六由单调性判别法知，所给函数在[一元，刀]上单调增加 跑讨论函数y=*-x-1的单调性 解函数y的定义域为（-00，+o0)
2
y'=e-1, 令y=0,得x=0. 在(-00,0)内，y<8，·函数y在(-60,0]上单调减少： 在(0，+60)内，y>0,函数y在[0，+0)上单调增加 注例2表明：使f"(x)=0的点〔即函数才(x)的驻点)可能是函数单调区 问的分界点 如：f(x)=x3,点x=0是驻点，但f(x)在(-60，o0) 内单调上升 例3确定函数y=的单调区间. 解函数的定义城（一的，+的 少狂 (x≠0) 当x=0时，y不存在 在(-0,0)内，y(x)<0,÷函数y在(（-0,0]上单调减少： 在(0，+o0)内，y'(x)>0,·.函数y在[0，+o0)上单调增加 注例4表明：使导数了"()不存在的点也可能是函数单调驱问的分界点如 3
3
1 单调上升(y=是y=x的反函数). 2.确定函数的单调区间成讨论函数的单胜)的一最步表 ú)写出函数的定义域： 2)求导数f(x): 6)求导数等于季的点与导数不存在的点即求函数的驻点与不可导点)： (4)用函数的驻点与不可导点划分定义区问，在各个部分区问上考察导数的符号， 由此判定函数在相应区间上的单调性. 例4确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调驱间. 解函数的定义城为(-0，十00)， f"（x)=6x2-18x+12=6(x-10(x-2) 令∫(x)=0,得x=1x=2. 在(-0,0及(2，+0)内，f（x)0:在1,2)内。f(x), f(x)在(-00,1]与[2，+o网）上单调增加，在[1,2止单调减少. 例5讨论通数y=2x-5示的单调性。 解函数y的定义域为(-0，十60)
4
999 3限 令少=0，得x=1:当x=0时，少不存在 在(-00,0)及(1，+0)内，y0,·在(-0,0]及[1，+0四)上函数 单调增加： ·在0,1)内，y0,·在0,1]上函数单调减少 3.利用函数的单调性证明不等式 例6证明：当x>1时，2乐>3- x 证 令 f)=2丘-8-3 ， 则 a=左京a-0 当x>1时，“(x)>0从而函数在[1.+0)上单调增加， 于是，当x1时，f(x)>f(0),而f①=0，越当x1时， 2-0-2>0, 即当x1时，2G>3-1 7证明当0<x<5时，mx>x+与式，《回还2 2
5