第三章导数的应用 第五节函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其球法 1.极值的定义 定义设函数f(x)在点和的某一邻城（和）内有定义，若对于 xeU(),均有 f(x)<f(xo)(f (x)>f(xo)) 则称寸(x)是函数f(x)的一个极大值〔或极小值) 函数的极大值与极小值统称为函数的极值：使函数取得极值的点称为极值点， 注1'极值概仑是一个局部性报念， 极大值未必大于极小值。 如图：极大值f(x2),f(x4),f(x) 极小值f(x),f(x),f红3)f(x)0名”面 极大值f(x)<极小值f(x) 之极值与最值的联系与区别：极值是局部性抵念，而最值是整体性概念极 值未必是最值，最值也未必是极值函数在开区间内的最值必是极值
1 第 三 章 导数的应用 第五节 函数的极值与最大值最小值
2.函数取得极值的必要条件 定理1)若数在点处取得极值，且该点具有导数，则必有()=0 2)若函数在点处x取得极值，则必有'（石）=0或'（和）不存 在 【简言之，函数的极值点必为驻点与不可导点，可导函数的极值点必为 驻点】 证)设(x)在×，处取得极大值，即(，)，使 f(x)<f(x),x∈0(x,),则当ב×，时 1,0w-生0 x-X0 当×〉×，时 -<0，从而 x-0 a-典0 故∫'(x0)=0 2)如f(x)=在点x=0处取得极小值，而在该点处f(x)不可导 ■ 注驻点与不可导点不一定都是极值点，即 (f(x)的极值点}C《f(x)的驻点}U(f(x)的不可导.点}
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3.函数取得极的充分条件 定理2（第一充分条件）设函数(x)在点和处连续，而在点的某个去心部 城(，)内可导， )若当x∈（伍-6，x)时，f"(x)刀：而当x∈(，0+）时， f"(x)①，则f(x)在和处取得极大值： 2)若当x∈(0-6,0)时，f"(x)0:而当x∈（而，和+时， (x)0,则f(x)在处取得极小值 3)若当x∈v(,可时，∫"(x)恒为正或恒为负，则f(x)在x处不 取极值 定理3〔第二充分条件)设∫(x)在点和处具有二阶导数，且 f(x)=0.f(x)≠0，则 (1)当f"(xo)<0时，函数f(x)在x处取得极大值.。一
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(2)当f"(红，)>0时，函数f()在处取得极小值。人 正1烟了化)-只园<0，稻保9世表 x-Xo (o,),当xe(0,)时， f(-f<0 x-不0 VxeU(x). 而')=0，数因<0，xei.0. x-0 故当x<x时，f'(x)>0:当x>和时，f"(x)<0.因此，f(x)在 ×,处取得极大值 〔2)同理可证.■ 4求函数设值的一报解影步柔 1)写出函数f(x)的定义城： （1)写出函数f(x)的定义城： 2)求f代x) 2)求f(x.f(x) 3)求f(x)的班点与不可导点 3)求f(x)的驻点： (4)列表讨论 ④)计算驻点处的二阶导数值，并确 定其符号，此写出结 论 5)写出结论
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例1求通数y=2x3-5x产的极值 解ú)函数y的定义域为(-00，十0o)。 y. 31 3)令y=0,得x=1:当x=0时，y不存在 -.000,01 (1.+0 0 0\0 0 由上表可知，y(0)=0为极大值：y()=-3为极小值 例2求通数y=2x2-3x2的极值 解ú)函数的定义城为(-00，+oo) 2)y=6x2-6x=6x(x-1) y=12x-6 3)令y=0得，x=0,x=1 )y(0=-6<0:y(①)=6>0，y0)=0是极大 值：y(①=-1是极小值. 5
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