Euler公式 ■ 稳定性：误差在以后各步的计算中不会无限制扩大 下面考虑简单情况：仅初值有误差，而其他计算步豫 无误差 设{2}是初值有误差后的计算值，则 i=y,+hf(x) 2#1=2,+hf(x,2) →le=y1-2≤e,+hlf(x,y)-f(x,) ≤e,+hLy,-=lel(1+hL) ≤…≤e(I+hL)≤le≤Clel ■ 可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始 误差充分小，以后各步的误差也充分小 11
Euler公式 稳定性：误差在以后各步的计算中不会无限制扩大 下面考虑简单情况：仅初值有误差，而其他计算步骤 无误差 设 是初值有误差后的计算值，则 可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始 误差充分小，以后各步的误差也充分小 11 { }i z 1 1 1 1 1 1 ( 1) 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (1 ) (1 ) i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i hL y y hf x y z z hf x z e y z e h f x y f x z e hL y z e hL e hL e e C e + + + + + + + = + = + − + − + − = + +
Euler公式 ■ 向后差商公式 )①=y+5D h h &-x=f0x4x》+2"5) h x)=x)+(x》+2y"5) →y+1=y+hf(x+1,y+1) ■隐式格式，需要迭代求解 12
Euler公式 向后差商公式 隐式格式，需要迭代求解 12 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) '( ) ''( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) ''( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) ''( ) 2 ( , ) i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x y x h y x y h y x y x h f x y x y h h y x y x hf x y x y y y hf x y + + + + + + + + + + + − = + − = + = + + = +
Euler公式 ■Picard迭代格式： y=y+hf(x). =y+hf(). k=0,1,2 ■记(y)=y+hf(x+1,y),则当h充分小时， Ip(y)曰h时，(x,y)hL<1 从而送代收敛 13
Euler公式 Picard迭代格式： 记 ，则当 充分小时， 从而迭代收敛 13 (0) 1 ( 1) ( ) 1 1 1 ( , ), 0,1,2, ( , ), i i i i k k i i i i y y hf x y k y y hf x y + + + + + = + = = + 1 ( ) ( , ) i i y y hf x y = + + ' | ( ) | | ( , ) | 1 y i y hf x y hL = h
Euler公式 中心差商公式 y(x#)-y(x- 2h 专x⑤ m）-f0x,Wx》+ 2h 3引y"() →y+1=y-1+2hf(x,y,) ·多步格式，二阶格式，数值不稳定 14
Euler公式 中心差商公式 多步格式，二阶格式，数值不稳定 14 2 1 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) '( ) ''( ) 2 3! ( ) ( ) ( , ( )) ''( ) 2 3! 2 ( , ) i i i i i i i i i i i i i y x y x h y x y h y x y x h f x y x y h y y hf x y + − + − + − − = + − = + = +