定理设A∈Rnxn是对称正定矩阵，入1和入n分别是A的最大和最小特征值，则Richard- son算法收敛当且仅当 0<w<1 最优参数为 w.argmin p(GR)= 2 即当w=w时，迭代矩阵的谱半径达到最小，且有 1-wλn fw≤w峰 X1-入n p(GR)= K(A)-1 λ1+入n k(A)+1 if w=W w入1-1 fω之w*: (留作课外自习) http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 26/109
定理 设 A ∈ R n×n 是对称正定矩阵, λ1 和 λn 分别是 A 的最大和最小特征值, 则 Richardson 算法收敛当且仅当 0 < ω < λ−1 1 . 最优参数为 ω∗ = arg min ω ρ(GR) = 2 λ1 + λn , 即当 ω = ω∗ 时, 迭代矩阵的谱半径达到最小, 且有 ρ(GR) = 1 − ωλn if ω ≤ ω∗ λ1 − λn λ1 + λn = κ(A) − 1 κ(A) + 1 if ω = ω∗ ωλ1 − 1 if ω ≥ ω∗. (留作课外自习) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 26/109
3-1-5 分块迭代法 在实际使用中，为了扩大定常迭代法的使用范围，同时提升算法的计算效率，通常会采用分 块形式进行迭代 将A写成如下的分块形式： A22 A11 A12 Aip A21 A22 A= A2p Apl Ap2 Am http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 27/109
315 分块迭代法 在实际使用中, 为了扩大定常迭代法的使用范围, 同时提升算法的计算效率, 通常会采用分 块形式进行迭代. 将 A 写成如下的分块形式: A = A11 A12 · · · A1p A21 A22 · · · A2p . . . . . . . . . . . . Ap1 Ap2 · · · App . http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 27/109
分块Jacobi选代 A+)=b-∑A周，i=1,2,n =1,计i 分块Gaus-seide迭代 i-1 P 4t=-∑At-∑A，i=l,2 |分块sOR迭代 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan i=1,2,…,p 28/109
分块 Jacobi 迭代 Aiix (k+1) i = bi − X p j=1,j̸=i Aijx (k) j , i = 1, 2, . . . , p. 分块 Gauss-seidel 迭代 Aiix (k+1) i = bi − X i−1 j=1 Aijx (k+1) j − X p j=i+1 Aijx (k) j , i = 1, 2, . . . , p. 分块 SOR 迭代 x (k+1) i = x (k) i + ωA −1 ii bi − X i j=1 Aijx (k+1) j − X p j=i+1 Aijx (k) j , http://math.ecnu.edu.cn/~jypan i = 1, 2, . . . , p. 28/109
线性方程组。迭代方法与预处理 第三讲定常迭代法 目录 3.1 定常迭代法 3.2 收敛性分析 3.3 正则分裂 M 3.4交替方向迭代法 3.5 加速技巧 https://math.ecnu.edu.cn/-jypan/Teaching/MatrixIter
线性方程组 • 迭代方法与预处理 第三讲 定常迭代法 3.1 定常迭代法 3.2 收敛性分析 3.3 正则分裂 3.4 交替方向迭代法 3.5 加速技巧 目录 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/MatrixIter
3-2引收敛性分析 3.2收敛性分析 3.2.1向量与矩阵序列收敛基本概念 3.2.2定常迭代法的收敛性 3.2.3迭代矩阵非负情形 3.2.4不可约对角占优矩阵 3.2.5对称正定矩阵 3.2.6相容次序矩阵 https://math.ecnu.edu.cn/-jypan/Teaching/MatrixIter
32 收敛性分析 3.2 收敛性分析 3.2.1 向量与矩阵序列收敛基本概念 3.2.2 定常迭代法的收敛性 3.2.3 迭代矩阵非负情形 3.2.4 不可约对角占优矩阵 3.2.5 对称正定矩阵 3.2.6 相容次序矩阵 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/MatrixIter