Gauss-.Seidel迭代法 )取M=D-L,N=U,即可得Gauss-.Seidel(G-S)迭代法 +=(D-1Ux因+(D-L)-b 迭代矩阵： GGs=(D-L)-1U 将G-S迭代改写为Dx+)=Lxk+)+U因+b,可得分量形式 G-S算法的主要优点是充分利用了已经获得的最新数据 http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 16/109
Gauss-Seidel 迭代法 取 M = D − L, N = U, 即可得 Gauss-Seidel (G-S) 迭代法 x (k+1) = (D − L) −1Ux(k) + (D − L) −1 b 迭代矩阵: GGS = (D − L) −1U 将 G-S 迭代改写为 Dx(k+1) = Lx(k+1) + Ux(k) + b, 可得分量形式 x (k+1) i = 1 aii bi − X i−1 j=1 aij x (k+1) j − Xn j=i+1 aijx (k) j , i = 1, 2, . . . , n. G-S 算法的主要优点是充分利用了已经获得的最新数据 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 16/109
算法2求解线性方程组的G-S迭代法 1: Choose an initial guess (0) 2:while not converge do 3: for i=1 to n do 1 -1 4: 6- 5: end for 6:end while G-S算法中未知量的更新是按自然顺序进行的，不适合并行计算 http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 17/109
算法 2 求解线性方程组的 G-S 迭代法 1: Choose an initial guess x (0) 2: while not converge do 3: for i = 1 to n do 4: x (k+1) i = 1 aii bi − i P−1 j=1 aijx (k+1) j − Pn j=i+1 aijx (k) j ! 5: end for 6: end while G-S 算法中未知量的更新是按自然顺序进行的, 不适合并行计算 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 17/109
SOR迭代法 在G-S的基础上，通过引入一个松弛参数w来加快收敛速度： +)=(1-)因+ω(D1(L++U)+D1b） 这就是SOR迭代法，整理后即为 1)=(D-wL)-1((1-w)D+wU)x+w(D-wL)-1b, 其中ω为松弛参数. (1)当w=1时，SOR即为G-S: (2)当w<1时，称为低松弛(under relaxation)方法： (3)当w>1时，称为超松弛(over relaxation)方法. http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 18/109
SOR 迭代法 在 G-S 的基础上, 通过引入一个松弛参数 ω 来加快收敛速度: x (k+1) = (1 − ω)x (k) + ω D −1 (Lx(k+1) + Ux(k) ) + D −1 b . 这就是 SOR 迭代法, 整理后即为 x (k+1) = (D − ωL) −1 (1 − ω)D + ωU x (k) + ω(D − ωL) −1 b, 其中 ω 为松弛参数. (1) 当 ω = 1 时, SOR 即为 G-S; (2) 当 ω < 1 时, 称为低松弛 (under relaxation)方法; (3) 当 ω > 1 时, 称为超松弛 (over relaxation)方法. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 18/109
SOR的迭代矩阵： GsOR=(D-wL)-1((1-w)D+wU), 对应的矩阵分是M=己D-乙N-二D+亚 分量形式： i-1 2+-∑9 计1 i=1,2,,n http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 19/109:
SOR 的迭代矩阵: GSOR = (D − ωL) −1 (1 − ω)D + ωU , 对应的矩阵分裂: M = 1 ω D − L, N = 1 − ω ω D + U. 分量形式: x (k+1) i = (1 − ω)x (k) i + ω aii bi − X i−1 j=1 aijx (k+1) j − Xn j=i+1 aijx (k) j i = 1, 2, . . . , n. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 19/109
算法3求解线性方程组的SOR迭代法 1:Choose an initial guess d0)and parameter w 2:while not converge do 3: for i=1 to n do i-1 4 +=(1-)+ 5: end for 6:end while SOR最大的优点是引入了w,通过选取适当的w可以大大提高收敛速度 但SOR最大的难点就是如何选取最优参数wopt SOR迭代曾经在很长一段时间内是科学计算中求解线性方程组的首选方法 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 20/109
算法 3 求解线性方程组的 SOR 迭代法 1: Choose an initial guess x (0) and parameter ω 2: while not converge do 3: for i = 1 to n do 4: x (k+1) i = (1 − ω)x (k) i + ω aii bi − i P−1 j=1 aijx (k+1) j − Pn j=i+1 aijx (k) j ! 5: end for 6: end while SOR 最大的优点是引入了 ω, 通过选取适当的 ω 可以大大提高收敛速度 但 SOR 最大的难点就是如何选取最优参数 ωopt SOR 迭代曾经在很长一段时间内是科学计算中求解线性方程组的首选方法 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 20/109