三.随机变量函数的期望 EX1:设随机变量X的分布律为 X-1 01 P⅓⅓为 求随机变量Y=X2的数学期望 解：Y1 6)=1.2+0.1 2 Pk 3 3 3
EX1：设随机变量X的分布律为 解: 求随机变量Y=X2的数学期望 X Pk -1 0 1 3 1 3 1 3 1 Y Pk 1 0 3 1 3 2 3 2 3 1 0 3 2 E(Y) =1 + = 三.随机变量函数的期望
定理1若X~PX=Xk=pk,k=1,2,则Y=g(X) 的期望E(g(X)为(p77) E(Y)=ELg(X〗=∑g(x)Pk: k=1 推论：若（区，Y)~P{X=x,Y=y,}=pi,jF1,2,. ,则Z=gX,Y)的期望 E(Z)=l8(X,Y】=∑∑g(xy,p
定理1 若 X~P{X=xk }=pk , k=1,2,., 则Y=g(X) 的期望E(g(X))为(p77) ( ) [ ( )] ( ) . 1 k k E Y E g X g xk p = = = 推论: 若 (X, Y) ~ P{X=xi ,Y=yj,}= pij, i, j=1, 2, . , 则Z= g(X，Y)的期望 ( ) [ ( , )] ( , ) . 1 1 i j i i j j E Z E g X Y g x y p = = = =
例4设随机变量(X,Y)的分布律如下，求EXY) X 2 0 0.15 0.15 0.45 0.25 解：E(XY)=0×1×0.15+0×2×0.15 +1×1×0.45+1×2×0.25 =0.95
例4 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY) x y 1 2 0 0.15 0.15 1 0.45 0.25 解: E(XY) = 010.15 +020.15 +110.45 +120.25 = 0.95
EX2：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量 Y=aX+b的数学期望（其中a>0) 解：Y=ax+b关于x严单，反函数h)=”-b Y的概率密度为 e 2dx=b
解： Y=ax+b关于x严单，反函数 为 a y b h y − ( ) = Y的概率密度为 a a y b f y f Y X 1 ( ) ( ) − = EX2：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量 Y=aX+b的数学期望(其中a>0) dy a e y E Y a y b 1 2 ( ) 2 2 − − − = e dx ax b x 2 2 2 − − + = = b a e a y b 1 2 1 2 2 − − =
(p77)定理2若X~f),-o<x<o0,则Y=g(X)的期望 E(Y)=Elg(X)]=g(x)f(x)dx. 推论若(X,Y)f(X,y),-0<x<o,o0<y<o,则 Z=g(X,Y)的期望 E(Z)=E[g(X,Y)] g(x,y)f(x,y)dxdy
(p77)定理2 若X~f(x), -<x<, 则Y=g(X)的期望 − E(Y) = E[g(X)] = g(x)f(x)dx. 推论 若(X, Y) ~f (x, y), -<x<, -<y<, 则 Z=g(X, Y)的期望 − − = = ( , ) ( , ) . ( ) [ ( , )] g x y f x y dxdy E Z E g X Y