能场的束缚，即V子0，就会出现能量量·子化规则。这时，由薛定方程得到的每一个解（?）各代表粒了的一个稳定态，而与?对应的，便是该粒子在该定态上的能量本征值。同理，对一个由大量粒子组成的，或更具体些E、I、I给定的宏观体系，亦可通过体系的波函数！来描述它的“态”，体系的定态解聘方程表示如下：-(1-3-2)即体系的哈密顿算符，E代表总能量。理论上说，求解方程（1一3一2）即可得到一系列的T，每一个表征体系的一个“态”。如假定体系中粒子之间不存在相互作用，式（1一3一2）中光和?便可简化成=(k)(1-33)=1@(k)(1-3-4)K式中，光（k）和@（k）分别表示粒子的哈密顿算符和波函数，满足(k)(k)=(k)p(k)(1 3 5)值得注意，体系中一切粒了的状态无不瞬息万变，又因为式（1一3一5）可能存在如下一系列的解：Pi(k).92(k)...."g(k))(1-3-6)(k).(k).............(k)故任何时刻、任何粒子（设为第k个）均可随机地占据其中的任意一个态。在满足总能量E守恒和总粒子数厂守恒的条件下，设使个粒子各自从其（k）系列任挑其一而后连乘，得到的*12
能场的束缚，即v夕护0，就会出现能量量子化规则。这时，山薛定愕 方程得到的每一个解(仍)各代表粒子的一个稳定态，而与 ，.对应 的 。.便是该粒子在该定态上的能量本征值。 同理，对一个由大量粒子组成的，或更具 体些 E、V、一给定的 玄观体系，亦可通过体系的波函数 叹，来描述它的“态”，体系的定 态薛定愕方程表示如一F: .多，、1‘二E’1， (1一3一2) 妙 ，即体系的p合密顿算符，E代表总能量。理1仑上说，求解方程 (1一3一2)即可得到一系列的犷.，每一个岁.表征体系的一个’‘态”。 如假定体系中粒子之间不存在相互作用，式(1一3一2)，!:矛，和甲 便可简化成 砂一万沙(k) (1一 3一 3) :，=耳，(k) (1一 3一 4) 式中，矛(k)和甲(k)分别表示粒子的哈密顿算符和波函数，满足 崖护夕(k)伊(k)幸 :(k)切(k) (1一 3一 5) 值得注意，体系中一切粒子的状态无不瞬息万变，又因为式 (l一3一啊 能存在如下一系列的解: 切;(k)，沪2(k)·········.外(k) 。(k)，2(k)·········.，.(k) (1一 3一 6) 故任何时刻、任何粒子(设为第 k个)均可随机地.亏据其中的任意 一个态。在满足总能量 E守恒和总粒子数 J守恒的条件下，设使 万个粒子各自从其 仍(k)系列任挑其一而后连乘，得到的
1p(k)(1-3-7)4E=e()0便是式（1一3一2）的一个特定解，它同时表征体系的一个微观态。因为，此时全部粒子运动的态都被明确现定了。换句话说，体系的一个微观态，实际工对应丁能量本征值E的一个最子态。为帮助理解，举一简例如下：.设某近独立子体系仅含三个单维谐保子，其总能量E现知单维谐振了的哈顿算符为：.+(1-3-6)2！和各表示振子的约化质量和弹力常数。以士代入式1一3一1），解得谐振子能级公式为.1)hv=+.(1 -3S)2V一C、1，2，即医了的量了数，每一个值都有其对应的本征波函数，例妇：1=0PCre~ar/2v-i9-RG1(2a22-)e-nV=2P=n4niyh诚然，此体系的泌函数业当可表示为各个粒子（拆子）的波函.13
、，。二耳，(*) E=叉。.a) (1一 3一 7) 便是式(1一3一2)白七一个特定解，它同时表征体系的一个微观态。 因为，此时全部粒子运动的态都被明确规定了一换句话说，体系的 一冷微观态，实际上对应丁能量本征值E的一个最子态。为帮助 理解，举一简例如下: ‘.』。、一一_、一 ，。 ， ‘_，一 “ ，。、。， 一 ‘.，。. _ 9. 设某近独立子体矛仅含三个单维谐振子，其总能量‘一亏“ · 现知单维谐振子的哈密顿算符为: 二一百蕊飞不 券、专‘ ，一 ‘ ，一卜“ ， 六和尸各表示振子的约化质量和弹力岸数。以士代入式以一3一 1)，解得谐振子能级么式为 。二r，斗.要乙 )h， (1一 3一 9) v=c、1、2.即价子的量了数，旬一个苗都有共对应的本征波函 数，例纪: 二 0 甲‘一(圣)通一/: 一(翻提脚一恤 . ‘ 二 ， . ， 甲 . . 一‘ 匀周“ . 资气2能2一二，e一“伙 4乳:承， 鑫 诚然，此体系的泌函赞 冲.当可表示为名个粒子(振子)的波函 ·13·
数之连乘。而根据排列组合公式，在满足E、V守恒的条件下，可能出现如图1一3一1所示的代表10钟不同状态的4，每一个对应于体系的个微观态（量子态）。图中，表示由给定能量组合式样（x）产生的个数，也等于该能量组合式样包容的微观状态数，而Q则代表体系的微观状态总数。图1一3一1谐振子体系微观态示意能量组合式样能级波函数e.BcA号r094Tn③Psn?92号E?四?qoBp(1)p(2)(3)p(1)qi(2)q2(3)1Y,--2n.ckg(1)ps(2)p(3)Ilg(k)(1)p(2):(3)9hp(1)(2)gu(3)23tx6100=2t以上表明，通过求解薛定调方程即可确定体系的微观态。然而，实际宏观体系所包容的粒子数乃是个极其巨大的大数，即使粒了的薛定谭方程侥幸得解，也难以逐个写尽描述体系的一切可及（即可能实现）的波函数，因为体系的不用说是一个天文.14
数之连乘。而根据排列组合公式，劝.满足 K、N守恒的条件下，可能 出现如图1一3一1所示的代表10种不同状态的多，每一个叭对 应于体系的一个微观态(量子态)。图‘1，t，表示由给定能量组合式 样(x)产生的叭个数，也等于该能量组合式样包容的微观状态数; 而 9则代表体系的微观状态总数。 图 1一3一1谐振子体系微观态示意 波函数 能级 刃， 能 量 组 合 式 样 A B C 子‘ 切3 恤 价l 伊。 夺r 争· 争， 争 小， ① ② ③ ③ ① ② ③ ② ① 峨几= 1生1，.(k) E= 万，.(k) =与 ，2 切:(1)沪:(2)切，(3) 价。(1)甲。(2)甲3(3) 甲。(1)，3(2)价。(3) 尹3(1)价。(2)沪。(3) 价。(1)甲:(2)价:(3) 奴 l 3 6 。=艺， l0 、 以上表明，通过求解薛定谬方程即可 确定体系的微观态。然 而，实际宏观体系所包容的粒子数 万乃是一个极其巨大的大数， 即使粒子的薛定愕方程侥幸得解，也难以逐个写尽描述体系的一 切可及(即可能实现)的波函数，因为体系的 9不用说是一个天文 .14·
数字般的大数。好在统计力学中，根本无须如此繁琐地去说明每个粒子乃至整个体系的量字态，归根结底，它所关心的仅仅是体系中这个粒子如何分配总能量E，其最可几的分布式样是什么？既然这样，姑且绕过求解薛定湾方程的实际困难而将问题简化为设法寻求粒子在各个能级上的最可几分布式样，并由此导出体系的能量分布律。就像前面提到的那个谐振子体系，每个微观态（或者说每一个都有其对应的能量分布方式，而就图1一3一1所示的那10种不同的业，又可归并为A、B、C三种不同的能量组合式样，再根据每种组合式样给出的x，即可确定它们的相对出现几率。习惯上又将每个能级集居的粒子数叫做该能级的分布数。同样的道理，亦可以通过指定粒子的量子态来区别能量的不同组合式样，此时就将集居在每个（能级）量子态上的粒子数叫作该量子态的分布数。总而言之，在统计力学中最感兴趣的是N个粒子分配总能量B的最可儿分布，而非描述体系粒子运动的波函数（）。正因为可通过指定体系中全部粒子的能级或放子态来表征体系的微观态，所以，它与直接由波函数中的描述在根本上是一致的。二、微观态的经典力学描述本质上说，像分子、原子这一类的微观粒子，都遵循量子力学规律，但对于粒子质量较大、密度甚稀、且处于是够高温条件下的体系，亦可采用经典力学的方法来求导统计分布律。经典力学的主要依据是牛顿定律，能量的变化被看成是连续的，物体（或质点）的能量包括了动能和势能两种表现形式，对能量不随时间变化的保守力学系（热力学中的孤立体系是其一例），有(1310)EmEx+V,E和V，分别指体系中全部粒子的动能总和及粒子与粒子之.15·
数字般的大数。好在统计力学中，根本无须如此繁琐地去说明每个 粒子乃至整个体系的量子态，归根结底，它所关心的仅仅是体系中 这万个粒子如何分配总能量E，其最可几的分布式样是什么?既然 这样，姑且绕过求解薛定谬方程的实际困难而将问题简化为设法 寻求粒子在各个能级上的最可几分布式样，并由此导出体系的能 量分布律。就像前面提到的那个谐振子体系，每一个微观态(或者 说征一个 、F.)都有其对应的能量分布方式，而就图 1一3一1所示 的那10种不同的叭，又可归并为A、方、C三种不同的能量组合式 样，再恨据每种组合式样给出的 ，:，即可确定它们的相对出现几 率。习惯上又将每个能级集居的粒子数叫做该能级的分布数。同 样的道理，亦可以通过指定粒子的量子态来区别能量的不同组合 式样，此时就将集居在每个(能级)量子态上的粒子数叫作该量子 态的分布数。 总而言之 ，在统计力学中最感兴趣的是 刀个粒子分配总能量 E的最可儿分布，而非描述体系粒子运动的波函数(、从)。正因为可 通过指定体系中全部粒子的能级或量子态来表征体系的微观态， 所以，它与直接由波函数 甲的描述在根本上是一致的。 二、微观态的经典力学描述 本质上说，像分子、原子这一 类的微观粒子，都遵循量子力学 规律，但对于粒子质量较大、密度甚稀、且处于是够高温条件下的 体系，亦可采用经典力学的方法来求导统计分布律。经典力学的主 要依据是牛顿定律，能量的变化被看成是连续的，物体(或质点)的 能量包括了动能和势能两种表现形式 ，对能盘不随时间变化的保 守力学系(热力学中的孤立体系是其一例)，有 万二 E尤+ V， (1一 3一 10) E‘和v，分别指体系中全部粒子的动能总和及粒子与粒子之 。15·
间相互作用势能之总和。后者决定于粒子间的相互距离，并可表示为所有粒子在空间位置的函数，即V, V,(q..q..q...)(13-11)q即k粒子在l时刻的位置坐标。如以p=（mq）表示k粒子的动量，那么，Ek便可写成为：1Ex =-P(1—3-12)2m经典力学就是通过指定qx、P来描述k粒子的运动状态，而所谓的体系微观态意即对体系中全部粒子的位置、动量都作出详细的规定。借助几何表示法当能更加形象地描绘体系的微观态，那就是相空间表示法。相空间是一个多维的概念空间，其坐标轴包括了粒子动量坐标和位置坐标。其中有一半用来表示粒子的位置，另一半表示粒子的动量，它们全都是相互正交的。相空间既可用于描述单个粒子的运动状态，亦可推广到描述整个体系的状态，此即下面所要介绍的一空间和-图1-3-2双原子分子坐标系空间。（1）μ一空间又称分子空间，只描述单个粒子的运动状态。例如，对无内部结构的三维平动子（或单原子气体分子），其μ一空间当6根坐标轴构成，即、y、z和pr、P、p。在此六维的u一空间.16
间相互作用势能之总和‘后者决定于粒子间的相互距离，并可表示 为所有粒子在空间位置的函数，即 V，= V，(q，qZ， ··一 q‘.) (1一 3一 11) q:即k粒子在 t时刻的位置坐标。如以仇=(。两、)表示k粒子的动 量，那么，从 便可写成为: “一万六p‘ (1一 3一 12) 经典力学就是通过指定 q、p‘来描述 k粒子的运动状态，而 所谓的体系微观态意即对体系中全部粒子的位置、动量都作出详 细的规定。 借助几 何表示法当能更加形象地描绘体系的微观态，那就是 相空间表示法。相空间是一个多维的概念空间，其坐标轴包括了粒 子动量坐标和位置坐 标。其中有一半用来 表示粒子的位置，另 一半表示粒子的动 量，它们全都是相互 正交的。相空间既可 用于描述单个粒子的 运动状态，亦可推广 到描述整个体系的状 态，此即下面所要介 绍的 召一空间和 r一 空间。 图 1 双原子分子坐标系 (1)产一空间又称分子空间，只描述单个粒子的运动状 态。例 如，对无内部结构的三维平动子(或单原子气体分子)，其 召一空间 当由 6根坐标轴构成，即 x、夕、;和 p，、p，、p:。在此六维的 产一空间