（4)倘复合事件中A、B两偶然事件各自独立，以P(ANB)表示此两事件联属发生的几率，则(1-1-8)(ANB)=G(A)S(B)此即乘法规则。例如，同时掷两颗般子，期望第一颗出现“3”，第二颗显示“1”，于是得11(AnB)=X三、条件概率实际问题中，常会遇到在前一事件（B）已经发生的条件下，后一事件（A)可能发生的几率。这就叫条件概率，表示为（A|B）。比如，有甲、乙两袋，甲袋装红球二粒，乙袋装白球二粒，各球大小、质量均等。今连续两次从甲、乙两袋中各任取一球相互交换，问第二次交换后甲袋两球皆自，乙袋两球皆红的几率若干？设以B和A分别表示前后两次的交换事件，则据概率论，条件概率（AB）可按以下通式计算（证明略）：(AB)(AB)=(1-1-9)(B)此处，（B)即第一次父换后事件B的出现几率，因必然是甲、乙两袋各装红球、白球一个，故（B）=1。又按式（118）定义，（ANB)当表示经两次交换后，事件B和事件A联属发生的几率，不难算出，（ANB)=（B)③（4)一1/4，所以（A|B）=1/4。四、随机变量在概率统计中，存在两类性质不同的随机变量。即离散随机变.7
(4)倘复合事件中 J4、刀两偶然事件各自独立，以 p(An的 表 示此两事件联属发生的几率，则 少 (A门 D)=乡 (注)少 (B) (1一 1一 8) 此即乘法规则。例如，同时掷两颗般子，期望第一颗出现“3”， 第二颗显示“1”，于是得 ，(，。D)一音又音 三、条件概率 实际问题中， 常会遇到在前一事件(酌已经发生的条件下，后 一事件(A)可能发生的JL率。这就叫条件概率，表示为岁(川的。比 如，有甲、乙两袋，甲袋装红球二粒，乙袋装白球二粒，各球大小、质 量均等。今连续两次从甲、乙两袋‘1’各任取一球相互交换，间第二 次交换后甲袋两球皆白，乙袋两球皆红的几率若千? 设以 召和 A分别表示前后两次的交换事件，则 据概率论，条 件概率少(川酌可按以下通式计算(证明略): ，(，1。)二竺之华，厂吸D华 夕 (1一 1一 9) 此处，少(It)即第一次交换后事件B的出现几率，因必然是 甲、乙两袋各装红球、白球一个，故少(的=1。又按式(l一1一8)定 义，少(A自口)当表示经两次交换后，事件 B和事件A联属发生的 几率，不难算出，乡(A门方)=少佃)乡(A)，1/4，所以岁(A!召)“ 1/4。 四、随机变t 在概率统计‘!，存在两类性质不同的随机变量。即离散随饥变 ·7 ·
星和连续随机变量。前者指变量的给值是分立的（或称星了化的），后者意含该变最的取值可被看成是连续变化的。显然，前面建立的概率公式都是以离散随机变量作依据的，而在连续随机变量场合下，其概率公式一般多借助几何空问求定义，故有几何概率之称。想像某一随抗事件（）对应丁欧氏空间的一个区域8（称样本空间，可以是一维或多维的），的任一基本事件A都可在样本空间找到对应点。反过来说，S上的每一个点都对应于1中的一个基本事件（A）。假定各样本点在s上的出现都具有同等机遇（或言分布均匀），并以(s)表示在。上的变化范图，以（4)表示与事件A相对应的空隔。据此，则A的出现几率设认定为(A) .(A)(1-1-10)T(s)倘若：空闯样本(α)点的分布是非均匀的，便须寻求全部样本点在8空间的分布式样。如图1一1一1，设随机变量在一维伴本空间小行在一bG连续函数了（），而在≤≤b之童化区城图1-1-1[阴配面即随机变匙内，出现随机值落→区间的几车的儿率即等于-→b区城内曲线了（）以下包脑的面积，积分式为g(xb)=S(r)aa(-i-)
量和连续随饥变量。前者指变量的给吹是分立的(或称量子化的)， 后者意含该变量的取值可被着成是连续变化的。显然，前面建立的 概率公式都是以离散随机变量作依叱的，而在连续随机变星场合 下，其概率公式一般多借助几何空间来定义，故有几何概率之称。 想像深一随机事f’1(幼对应丁欧氏空问的一个区城 。(称样布 空间，可以异一维或多维的)，:弓，的1呀一基本事件 A都可在样本 空问找到对应点。反过来说，。上的每一个点都对应于:中的一个 基本事件(月)。假定各样本点在。上的出现都只有同等机遇(或言 分布均匀)，井以:(习表示:在 6上的亥 化范围，以:(A)表示与事 付 A相对应的空隔。据川，则 A的出现几率被认定为 。 ，:、 二(月) 占，产叹月声 = 一丁甲花. 7 气吕少 (1一 1一 10) 倘若:空阁样本 点的分布是非均匀 的，便须寻求全部样 本点住含空闷的分布 式样。如搜1一1一1， 设随幼.变量 X在一 纶样本空何‘}，存在一 注续函数 六对，而在 “蕊3墓b之主化区域 内，久出现夙机泊 : f(a。) 、~、 ·~ ~ ~一.，.叫. 工 图 1 阴影面即随饥变量 落在 。~b区间的九率 的儿牢即等于 。‘乙 区域内曲线 J(:)以下包田的面积，积分式为 ，(· 、x、。)一卫，〔·)“ ‘ ，一‘一
（)亦称几率密度或儿率分布函数，必须满足了（）≥0及归一化条件，(r)dt=1(1-112)中，积分限遍及丫的全部变化范用。S2统计力学体系的分类热力学中，根据体系和环境可能发生的能量传递和物质传递而将体系分为三种不同类型，即体系、立体系和开放体系。但在统计力学中，却是根据组成体系的粒子之微观运动属性而将被研究的对象分为定域了体系和离域了体系两大类。在定感子体系中，粒子部其固定不变的点阵位置，整个体系形成有现则的点阵排列，实例知固态晶体。对离域了体系，组成体系的全部粒子均被限制在同一个寄器空间。任何时刻、任何粒子都可能出现在此容器空间的任一角落里。气体就属于这样的体系。定域子体系与离域了体系的主要区别在于后者的粒子没有固定的坐标位置可言。或者说，不存在因粒了定点排列而产生的空间分布式样。又根据量了力学，离域子体系按其波函数对称性又可分为两类，一类是波函数对称性的，刃一类的波函数则是反对称的。什么是波函数的对称性？简单地说，对一个由全同粒组成的体系，为了满足微观粒了不可分辨性的要求，任意交换体系中一对粒子的空间坐标，其描述体系状态的全波函数业（包括所有粒子的轨道运动和自旋）必然维持不变或者仅改变代数符号，即w(qt.qz,.q.)=(q.qi,q.)(1-2-1)实验证明，由奇数个基本粒子（指电子、质子和子等）构成的原予或分了体系，其波两数必须是反对称的，此类粒子办称费米.9:
了(，)亦称几率密度或儿率分布函数，必须满足 f(幻)0及 归 一化条件， l-t“· ， ‘一’ (1一 [一 ]2) 式，}，积分限遍及 一的全部变{L范旧。 谷2 统计力学体系的分类 热力学巾，根据体系和环境可能发生的能量传 递和物质传递 而将体系分为三种不同类型，即关闭体系、孤立体系和开放体系。 但在流计力学中，却是根据红扬丈体系的粒子之微观运动属性而将 被研充的对象分为定域子体系和离域子体系两大类。 在定域子体系中，粒子都有共固定不变的点阵位置 ，整个体系 形成有规则的点阵排列。实例如固态晶体.对离域子体系，组)jt体 系的全部粒子均被限制在同一个窗器空间。任何时刻、任何粒子都 可能出现在此容器空问的f〔一角落里.气体就属于这样的体系. 定域子体系与离域子体系的二L要区别在于后者的粒子没有固 定的坐标位置可言.或者说，不存在囚粒一定点排列而产生的空间 分布式样。又根据量T-力学，离域子体系按其波函数对称性又可分 为两类，一类是波函数对称性的，另一类的波函数则是反对称的。 什么是波函数的对称性?简单地说，对一个由全同粒子组成的体 系，为 了满足微观粒子不可分辨性的要求，任意交换体系中一对粒 子的空间坐标，其描述体系状态的全波函数“l(包括所有粒子的轨 道运动和自旋)必然维持不变或一昔仅改变代数符号，即 甲(q.，q，.q.)=士 ’1，(q，q:，.q.) ( 1一 2一 1) 实验证明，由奇数个丛本粒子(1旨电子、质子和，1，子等)构成 的原子或分子体系，其波函数必须是反对你的，此类粒子亦你费米
子，而光子以及由偶数个基本粒子构成的原子或分子体系，其波函数即为对称的，并称此类粒子为玻负子。两类粒子体系的主要区别在于，对玻色：，每个（能级）量子态所能容纳的粒子数完全不受限制，面对费米子，则体系中不容许同时存在两个或两个以上（能级）量子数完全相同的粒子。把离域了体系这样来分类纯粹是量子力学理论的结果，故习贯上文称之为量子气体。正因为两类离域子体系的波函数对称性不同，导致它们各自服从不同的统计分布律。费米子遵从费米一狄拉克（Fermi一Dirac）分布，玻色子遵从玻色一爱因斯坦（Bose一Binstein）分布。然而，尚如组成体系的粒子质量较大、且处工足够高温以及数密度较稀的条件下，两类量子气体都将蜕化为服从玻尔兹曼（Boltamann）分布的经典气体。亦不妨说，玻尔兹曼分布律是两类量子气体分布的极限形式。尚者继续考虑体系中粒子之间可能存在相互作用，那么，便文有近独立子体系和相倚子体系之分。前者假定体系中粒子间不存在相互作用或相互作用可近似忽略，而后者则认真对待粒子间实际存在的箱作用。严格地说，所有的实际体系都是相倚子体系，因为任何体系其粒子与粒子之间不可能丝毫没有相互作用，否则，不仅物质的聚集状态（特别是激聚态）无法形成，也不可能导出体现微观粒子统计力学行为的分布规律。依照上述的分类，液体以及溶液究竞属于哪一类体系?这情形比较复杂。液体（或溶液）当中，任向分子仍可到处游荡，住粒子之间有首强烈的相互作用力。在小小的局部范围内，分子的排列似平是并然有序的，任延伸扩展出去，就越来越杂乱无章。因此，通常都把液态分子的空间排布说成为“短程有序、长短无序”。仅就分子的流动性面言，液体（或溶液）的持征当然更加接近气体，住有时为广克服数学上的困难，抓住了“短程有序”这一特点，亦不妨为它设计一个能反映局部空间排布的“似晶模型”。总而言之，对液态体·10·
子。而光子以及由偶数个基本粒子构成的原子或分子体系，其波函 数即为对称的，并称此类粒子为玻色子。两类粒子体系的主要区别 在于:对玻色子，每个(能级)量子态所能容纳的粒子数完全不受限 制;而对费米子，则体系中不容许同时存在两个或两个以上(能级) 量子数完全相同的粒子。把离域子体系这样来分类纯悴是量子力 学理论的结果，故习惯上又称之为量子气体。正因为两类离域子体 系的波函数对你性不同，导致它们各自服从不同的统计分布律。费 米子遵从费米一狄拉克(而 而一众:ac)分布，玻色子遵从玻色一爱 因斯坦(肠，一Ki。脚‘。)分布。然而，淌如组成体系的粒子质量较 大、且处于足够高温以及数密度较稀的条件下，两类量子气体都将 蜕化为服从玻尔兹曼(肠低阴朋。)分布的经典气体。亦不妨说，玻尔 兹曼分布律是两类量子气体分布的极限形式。 倘若继续考虑体系中粒子之间可能存在相 互作用，那么，便又 有近独立子体系和相倚子体系之分。前者假定体系中粒子间不存 在相互作用或相互作用可近似忽略，而后者则认真对待粒子间实 际存在的相互作用。严格地说，所有的实际体系都是相倚子体系， 因为任何体系其粒子与粒子之间不可能丝毫没有相互作用，否则， 不仅物质的聚集状态(特别是凝聚态)无法形成，也不可能导出体 现微观粒子统计力学行为的分布规律。 依照上述的分类，液体以及溶液究竟 属于哪一类体系?这情形 比较复杂。液体(或溶液)当中，任何分子仍可到处游荡，但粒子之 间有着强烈的相互作用力。在小小的局部范围内，分子的排列似乎 是井然有序的，但延伸扩展出去，就越来越杂乱无章了。因此，通常 都把液态分子的空间排布说成为“短程有序、长短无序”。仅就分子 的流动性而言，液体(或溶液)的特征当然更加接近气体，但有时为 了克服数学上的困难，抓住了“短程有序”这一特点，亦不妨为它设 计一个能反映局部空间排布的“似晶模型”。总而言之，对液态体 ·10·
系，其有关统计力学处理的理论模型设都比较灵活。83体系的宏观态和微观态正由于统计力学和热力学在研究方法上存在不同，其描述体系的状态亦因此而各行其道。热力学是通过某些独立变数（状态性质）来指定体系的状态，比如，对一个组成不变的给定体系，只须确定体系的T、P（或T、V)便可确定体系的状态。由于这样的描述仅涉及体系的宏观性质而不过问体系中粒子的微观行为，故被指定的状态当属体系的一个宏观态。反之，在统计力学中，为了揭示大量粒子集合的统计规律性，就必须详细考察组成体系的粒子之各种可能的运动形态，然后再通过指定全部粒子的运动状态来明确体系的状态。此种描述方式当然离不开物质微粒的运动特性，所以说，它是人们肉眼看不到的一种微观态。至于如何具体指定体系中物质微粒的运动状态，则由于历史发展的原因，迄今仍并存经典力学和量子力学两种不同的表述方式。一、微观态的子力学描述量子力学阐明了微观粒子的运动规律，由于奇妙的波粒二象性，粒子的状态当由波函数表征。对能量不随时间变化的粒子体系，其运动满足定态薛定聘（Schrodinger）方程，即.(1-3-1)(#++%)+V,(，，此处，中为粒子的波函数，之=一8元（亲+前+%)），称哈密顿算符。其中，V，（r，，)为粒子的势能函数。原则上，只要给出势能函数的表达形式以及粒了运动的边界条件，便可通过求解薛定方程而得出?的答案。倘如，粒子的运动受到某一势.11
系，其有关统计力学处理的理论模型设想都比较灵活。 荟3体系的宏观态和微观态 正由于统计力学和热力学在研究方法上存在不 同，其描述体 系的状态亦因此而各行其道。热力学是通过某些独立变数(状态性 质)来指定体系的状态，比如，对一个组成不变的给定体系，只须确 定体系的犷、p(或犷、内便可确定体系的状态。由于这样的描述仅 涉及体系的宏观性质而不过问体系中粒子的微观行为，故被指定 的状态当属体系的一个宏观态。反之，在统计力学中，为了揭示大 量粒子集合的统计规律性，就必须详细考察组成体系的粒子之各 种可能的运动形态，然后再通过指定全部粒子的运动状态来明确 体系的状态。此种描述方式当然离不开物质微粒的运动特性，所以 说，它是人们肉眼看不到的一种微观态。至于如何具体指定体系中 物质微粒的运动状态，则由于历史发展的原因，迄今仍并存经典力 学和量子为学两种不同的表述方式。 一、微观态的t子力学描述 量子力学阐明了微观粒子的 运动规律，由于奇妙的波粒二象 性，粒子的状态当由该函数表征。对能量不随时间变化的粒子体 系，其运动满足定态薛定谬(Sck而心。，)方程，即 砂甲=， (1一3一1) 此一“处一 ，’，r为“粒”一子‘的”‘波一 函~数” ，’矛丫厂一百8鉴扩。二{、黑击“+’鑫粉2 +’鑫扮 )少一卜”v，护(”:一，’，盆，’ ;)，称哈密顿算符。其中，v，(:，夕，:)为粒子的势能函数。原则上，只 要给出势能函数的表达形式以及粒子运动的边界条件，便可通过 求解薛定愕方程而得出 沪的答案。倘如，粒子的运动受到某一势 ·11·