压力如何与分子的方均速度发生又系，其结果正是统计规律性的必然。所谓的统计规律性无非是揭示了在一个巨大的复合事件中，各随机事件的出现将具有什么样的几率。就以气体分子的速度分布为例，气体中杂乱无章运动着的分了可因相互碰撞而不断地改变速度，任何时刻、任何分子将出现什么样的速度纯属偶然，但对于一个包容分子数目（N）十分巨人的气体来说，其分了的速度分布必然体现出一定的规律，这就是众所周知的麦克斯弟（Maruel）速度分布律，即13/2me-0/'ddn(v)=4mV2元kT尽管对个别的分子，其行踪轨迹难以捉摸，但总体而言，分子的速度按照这样的模式去分布却占有最大的可几率。换句话说，这个麦克斯苇速度分布律就是气体分了无规运动的统计规律。诚然，统计规律性只能是大量全同复合随机事件所表现的集体行为。即如上述的气体分子运动，尚贷体系中仪食零塞无儿的少数分了，麦克斯第分布律就根本不能成立。其他如气体的压力（P）号KT)，也都是大量分子集合的统计以及分子的平均热运动能（e=2平均值。个别分子的运动谈不上与压力存在联系，其能量亦与温度无直接相干于。从这里也可体会到，为什么统计力学的研究方法既着眼于粒子的微观运动属性，而其研究对象又必须是一个包容大量粒子的宏观体系，最终的目的则是依据物质微粒运动所遵循的统计规律性，揭示体系宏观性质之间的普遍关系。统计力学所包括的研究范围极其广泛，其理论领域大体可分为如下几方面：(1)平衡态理论这是统计力学发展较早并最臻完善的一方面。由于它的内容仅涉及体系的平衡性质，与热力学的研究相当，.2
压力如何与分子的方均速度发生久 系，其结果正是统计规律性的 必然。 所 谓的统宝}·规律性无非是揭示了在一个巨大的复合事件中， 各随机事件的出现将具有什么样的几率。就以气体分子的速度分 布为例，气体中杂乱无章运动着的分子可因相互碰撞而不断地改 变速度，任何时刻、任何分子将出现f!·么样的速度纯属偶然，但对 于一个包容分子数 目(N)十分巨人的气体来说，其分子的速度分 布必然体现出一定的规律，这就是众所周知的麦克斯苇(Maxu诫) 速度分布律，即 “(。)=;二、{ \ 书 乙汀气 K卫 ) j ’‘，。一/2。，‘。 尽管对个别的分子，其行 踪轨迹难以捉摸，但总体而言，分子 的速度按照这样的模式去分布却占有最大的可几率。换句话说，这 个麦克斯苇速度分布律就是气体分了无规运动的统计规律。 诚然，统计规律性只能是大量全同复合随机事件所表现 的集 体行为。即如上述的气体分子运动，倘若体系中仅含寥寥无几的少 数分子，麦克斯苇分布律就根本不能成立。其他如气体的压力(P) 以， 及升 分尸J子J的曰砂平’均一诀热‘”、运~ 动，能‘J，(、。一一兽2k7一，)，’也~ 都Hr是~ 大/、量于 分尸J子硕集~ 合卜」的HJ统夕。计护’ 平均值。个别分子的运动谈不上与压力存在联系，其能量亦与温度 无直接相干。从这里也可体会到，为什么统计力学的研究方法既着 眼于粒子的微观运动属性，而其研究对象又必须是一个包容大量 粒子的宏观体系，最终的目的则是依据物质微粒运动所遵循的统 计规律性，揭示体系宏观性质之间的普遍关系。 统计力学所包括的研究范围极其广泛，其理 论领域大体可分 为如下几方面: (1)平衡态 理论 这是统计力学发展较早并最臻完善的一方 面。由于它的内容仅涉及体系的平衡性质，与热力学的研究相当， ·2·
故通常又称之为统计热力学，或简言统计力学：（2）非平衡态理论具体内容如输运过程，在物理化学中，如主要是研究化学反应的分子动态和微观机制。近代，有关此方面研究的进展十分活跃、飞快，（3）涨落现象所谓涨落，意即体系的状态性质无不围绕着各自的统计平均值起伏波动。布朗运动也是一种涨落现象。归根结底，涨落的产生乃系一个随机过程，体系包容的粒子数越少，其涨落的程度愈显。在理论方法上，统计力学的特点是从个别粒子所遵循的运动规律出发，根据事件发生的可几率而导出物质体系的统计行为。然后，再进一步去诠释体系的各种宏观性质乃至各式各样的物理化学过程。事实上，统计力学的研究并不当真要求追究个别粒子的运动细节，亦无须详细查明有关研究对象的全部微观信息。只要依据物质微粒运动的普遍特性并为研究体系模拟一个合理的结构模型，就可从中导出有关统计规律的一般性结论。这对于揭露物质体系的现象与本质，当然赋有更加深刻的意义。但也应当看到，统计力学仍然有其自身的局限性。首先，它不能断言个别事件（如个别分子运动）的确切行为、而仪能笼统地预测某一特定事件发生的可能性以及最可几事件出现的必然性。其次，对各式各样的非理想体系，由于粒子间存在这样那样的相互作用，有关体系模型的合理构思便遣退到诸多处理手段（包括物理和数学）的困难。为了达到问题的求解，往往需要进行一系列近似简化。简化越多，离开体系的真实面目就越远，得出来的结果其吻合的程度就越差。补救的办法是妥善改进模型，但模型考虑得越细致，其数学处理就越繁夏。目前，对许多有关课题的统计力学研究，其困扰大都止乎此。·3
故通常又称之为统计热力学，或简言统计力学; (2)非平衡态理论 具体内容如输运过程 ，在物理化学中，则 主要是研究化学反应的分子动态和微观机制。近代，有关此方面研 究的进展十分活跃、飞快， (3)涨落现象 所谓涨 落，意即体系的状态性质无不围绕着各 自的统计平均值起伏波动。布朗运动也是一种涨落现象。归根结 底，涨落的产生乃系一个随机过程，体系包容的粒子数越少，其涨 落的程度愈显。 在理论方法 上，统计力学的特点是从个别粒子所遵循的运动 规律出发，根据事件发生的可几率而导出物质体系的统计行为。然 后，再进一步去诊释体系的各种宏观性质乃至各式各样的物理化 学过程。事实上，统计力学的研究并不当真要求追究个别粒子的运 动细节，亦无须详细查明有关研究对象的全部微观信息。只要依据 物质微粒运动的普遍特性并为研究体系模拟一个合理的结构模 型，就可从中导出有关统计规律的一般性结论。这对于揭露物质体 系的现象与本质，当然赋有更加深刻的意义。但也应当看到，统计 力学仍然有其自身的局限性。首先，它不能断言个别事件(如个别 分子运动)的确切行为，而仅能笼统地预测某一特定事件发生的可 能性以及最可几事件出现的必然性。其次，对各式各样的非理想体 系，由于粒子间存在这样那样的相互作用，有关体系模型的合理构 思便遭遇到诸多处理手段(包括物理和数学)的困难。为了达到问 题的求解，往往需要进行一系列近似简化。简化越多，离开体系的 真实面目就越远，得出来的结果其吻合的程度就越差。补救的办法 是妥善改进模型，但模型考虑得越细致，其数学处理就越繁夏。目 前，对许多有关课题的统计力学研究，其困扰大都止乎此
81概率的定义及其计算人们从生活实践或科学实验中观案到的自然界现象大体可分为两种情形，一必然性现象，即出该现象产生的结果事前可以确切顶料，比如水在标准压力（P=1.013×105/m2）和0℃以下必冻结成冰，温度达到或超过100℃时，又尽化为汽。另一类现象则是偶然性的，其过程的归宿可能出现或此或彼的不同结果，就像地掷一枚分币，究竞出现正面还是反面纯属随机偶然，但这样的偶然性决非无从捉摸。只要分币做得匀称，出现正面和反面的机会总是均等的。具体地说，设使有人执分币一枚连续投掷亿兆次，其结果呈现正、反两面的次数自必趋近于各占1/2。历史上，蒲丰曾掷过4040次，得到2048次正面，而皮尔逊掷了24000次，正面的次数为12012，其他的例子还可举出许多。由此看来，所谓的偶然性现象自有其内在潜藏的支配规律。这个支配规律实质上就是耐人寻味的统计规律，它深刻地体现了“偶然之中包含必然”这一暂理。、统计概车概率（或除儿率）是表示偶然性事件出现的可能性大小的一个基本量度。数学上，把一个可能出现多种不同结果的随机性事件称为复合事件，复合事件中的每一种偶然情况就叫做偶然事件。假然事件的内涵具有相对性，替如摔一颗子，既可将每一种点数（从1到6）的出现作为一，个偶然事，也可按奇数点及偶数点的出现来区分两个假然事件。显然，后一种个然事件（奇数点或偶数点）各包含三个更基4角偶然事件（指1、3、5、或2、4.6点）。在概率论中，通称复合事件中不可再细分的调然事件为基本事件。4
彭1 概率的定义及其计算 人幻从生活实践或科学实验中观察到的自然一界 理象失体可分 为两仲情形，“曰必然性规象，即由该现象产生的结果事前可以确 切预料，比如水在标准压力(尸=，。013义10叭·/。，)和。℃以下必 冻结成冰，温度达到或超过 10℃时，又尽化为汽。另 一类现象则 是偶然性的，其过程的归宿可能出现或此或彼的不词结果扩就像抛 掷一枚分币，究竟出理企面还是反面纯属随机偶然，但这徉的偶然 性决非无从捉携。只要分币做碍匀称二出现正面和反面的机会总是 均等的二具体地说，设使有人执分币一枚连续投掷亿兆次，其结果 呈现正、反两面的次数自必趋近于各占1/2。_历史上，荡丰曾掷过 初40次，得到20攫2次正面;而皮尔逊掷了2啥000次，正面的次数 为12川2，其他哟例子还可举出许多。由此看来，所谓的偶然性现 象自有共内在潜藏的支配规律。这个支配规律实质上就是耐人寻 味的统于卜规律，它深刻地体现了“偶然之中包含必然’笔 一哲理万 一、一经计概率 概率(域称儿率 )是表示偶然性事件出现的可能性大小的一个 纂本量度。数学上，把一个可能出现多种不同结果的随机性事件称 为复合事件，复合事件中的每一种偶然情况就叫做偶然事件。假然 事件的内视具有相对性，譬如掷一颗散子，既可将每吮种点数￡从 飞朔6)的出砚作为一个偶然事件，也可按奇数点及偶数点的出现 来苏分两个侠然事件。显然，后一种偶然事件(奇数点或偶数点)各 包含三个;贾基峰、成公偶然事件(指 1、3、5、或 2、‘、6点)。‘在概率论 中，通称复合事件中不可再细分的妈然事件为荃本事件， ，今
欲观测、评价某随机事件的出现几率，原则上应大量重复该复合事件的试验次数。现设重演的次数为M（足够大的数），而N是事件A的出现次数，那么，NA与M之比即事件A的出魂凡率N(F-)M:或更精确地表示为-limF-12)M然而，亦不妨设想让M个全同的复合事件在相同的试验条件下一次“表演”，再清点其中出现事件A的个数，其值与M之比也等于A的了出现几率。这恰似一次投掷亿兆个殷子然后查算呈现某种点数的般子比例。可以肯定，不论是拿一颗般子投掷亿兆次或者是一把抛撤亿兆个般子，得出的几率总是一致的。所以说，式（1一1一1）中的M和N既可代表复合事件的重演次数以及事件A的出现次数，也可看作是该复合事件的集合个数以及出现事件A的个数。又如果一个复合事件所包含的基本事件是有限个的，并且各基本事件的出现机会均等，则对任一偶然事件A，其出现几率即由下式确定：田=n(1 ~ 1- 3)此处，n、各表示事件A包含的基本的事件数以及该复合事件中的基本事件总数。这个式子也叫做古典概率，简单实用。但在实际问题中，未必都能满足各基本事件全是等机的这一前提。即如殷子，通常都是出现4、5、6点的几率比出现1、2、3点的大些。因为般子的重心总是稍向1、2、3点的一角偏斜。诚然，由式（1一1一1）定义的统计概率亦有其局限性，因为人们实在不可能将事件的试验重复到无穷多次。更何况每次重复试验的条件也很难保持.5
欲观 测、评价某随机事件的出现几率，原则上应大量重复该复 合事件的试验次数。现设重演的次数为材(足够大的数)，而一，是 事件万的出现次数，那么，工A与M之比即事件吧一她出观呱率 ~ N。 .罗，月‘= 七于ZU 〔1一 r一 1) 或更精确地表示为 _ ‘ 二 入认 夕，=二黑万 (r拼 1{宁{幻 然而，赤术妨设想让汾个全同的复合事件在柑同韵试验条 件下一次“表演’几，‘再清点其中出现事件 A的个数，其值与 姗之比 也等于A的了出现几率。这恰似一次投掷亿兆个殷子然后查算呈 现某种点数的般子比例。可以肯狱，不论是拿一颗般子投掷亿兆次 或者是一把抛撤亿兆个般子，得出的几率总是一致的。所以说 ，式 (1一1一1)中的对和N，溉可代表复合事件的重演珠数纵及事件 A的出现次数，也可看作是该冥合事件的集合个数以及出现事件 A的个数。 又如果 一个复合事件所包含的基本事件是有限个的，并且各 基本事件的出现机会均等，则对任砰偶然事件喊、其出现几率即由 下式确定 : (1一 1一 3) 上 价 少 - 此处，In、，各表示事件 A包含 的基本的事件数以及该复合事 件中的基本事件总数。这个式子也叫做古典概率，简单实甩。但在 实际问题中，未必都能满足各基本事件全是等机遇的这一前提。即 如掷般子，通常都是出现七队6点的几率比出现1、2、3点的大些。 因为殷子的重心总是稍向从2、3点的一龟偏斜丫诚然，由式(1一1 一1)定义的统计概率亦有其局限性，因为人们实在不可能将事件 的试验重复到无穷多次。更何况每次重复试验的条件也很难保持 。5二
完全一致。二、概率的性质概率具有稳定性。也就是说，任何一个复合事件只要在完全相同的条件下重演，其各偶然事件的出现几率总是固定不变的。这道理十分清楚，否则，所谓的统计规律性也就无从成立了。以下是有关概率计算的几条基本法则。(1)若以④（A）（=1，2，m）表示复合事件中偶然事件i的出现几率，则据式（111）或式（1一1一3），可见Z3(A) = 1(1 1 4)即任一随机（复合）事件的总几率都等于1。有时称此为归一化条件。（2）任一偶然事件A的出现几率牵必介于1与0之间，即0≤(A)≤1(1-1- 5)如式，著多（4）=1，则表示该事件A.必发生，（A）=0，该事件不可能发生。(3)设复合事件中A、B两偶然事件互不相容，以(AUB)表示并包A和B的出现儿率，(AUB)=(A)+(B)(11-6)这也叫作加和规则。式中，（A及（B)分别代表A或B单的的出现儿率，例如，一题殷子，期望出现了3或4点的几率。如1式育9(3U4)=++商广之若宰件A.A.A各互不相容，那么G(UA) )(A)(11-7)1.6
完全一致。 二、概率 的性质 概率具有稳定性 。也就是说，任何一个复合事件只要在完全相 同的条件下重演，其各偶然事件的出现几率总是固定不变的。这道 理十分清楚，否则，所谓的统计规律性也就无从成立了。以下是有 关概率计算的几条基本法则。 (1)若以乡扭.)(:二1，2， .。)表示复合事件中偶然事件‘的 出现几率，则据式(l一1一1)或式(l一卜 3)，可见 习少(，.)=1 (，一‘一4) 即任一随机(复合)事件的总几率都等于 !.有时称此为归一化条 件 。 (2)任一偶然事件A.的出现几率必介于1与0之间，即 0镇 多 (A:)( 1 (1一 1 一 5) 如式，若多 (A.)二1，则表示该事件 月。必然发生，夕(人)二0， 该事件不可能发生。 (3)设复合事件 中诵、召两偶然事件互不相容，以少(月U扔表 示并包A和 刀的出现儿率，则 多 (AU B)= 多 (A)十 少 (B) (1一 1一 6) 这也叫作加和规则。式中，少(劝及乡，(切分别代表 A或刀单 愁韵出现 魂率。例如，掷一颗般子，期望出现了3或 4点的几率。如 _1代，有 。 ，。:.‘、 1 。 1 ，二Ju“’二万十万 接而)“才，若事件通:、A:·一 人各互不相容，那么 ‘(Q、)一客少(A· ， (1一 1一 7)