第二节向量组的线性相关性 线性代教
第二节 向量组的线性相关性
线性相关性的概念 定义4给定向量组4：a必1，a2,Cm,如果存在 全为零的数1，k2,km使 k141+k2a2+.+kmam=0 则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关 注意1.若a1,a2,.,am线性无关则只有当 k1=.=km=0时，才有 k1a1+k2必2++kmm=0成立
: , , , , 给定向量组A 1 2 m 注意 1. , , , , 若1 2 m 线性无关 定义4 一、线性相关性的概念 k1 1 + k2 2 ++ k m m = 0 如果存在不 全为零的数k1 ,k2 , ,k m 使 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。 0 . k1 1 + k2 2 ++ k m m = 成立 k1 == k m = 0时, 才有 则只有当
2.任一向量组不是蜓无就是线性 3.向量组只包含一个嗤 若ax=0,则说a,线性相关 ka 0 若a≠0，则说ax线性无关 4.包含零向量的低向量组是线性相关 5.对于只含有两个向耀组线性相关 充要条集两向量的分量对列 x1 例如两个三维向量= X2 B- '2 线性相关， X2 y2
3.向量组只包含一个向量时, 4.包含零向量的任何向量组 5.对于只含有两个向量的向量组， 若 = 0,则说 若 0,则 说线性无关. 线性相关, 是线性相关的. 它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比 例. 2.任一向量组,不是线性无关就是线性相关。 k = 0 = 2 2 1 x x x 例如两个三维向量 = 2 2 1 y y y 线性相关
1 y 例如两个三维向量= X2 B= y2 线性相关， X2 Y2 有k1,k2至少有一个不为零使k1a+k2B=0 不妨设k1≠0则a= K2, 即1=2=3=- 61 (对应分量成比例 y1 y2 V3 k2 6. 两向量相关的儿何麪向量共线 三个向量相关的几议妻三个向麒面 下面我们给出判定组戰性相关性一般方
= 2 2 1 x x x 例如两个三维向量 = 2 2 1 y y y 有k1 ,k2 至少有一个不为零，使 k1 + k2 = 0 不妨设k1 0 , 1 2 k k 则 = − 2 1 3 3 2 2 1 1 k k y x y x y x 即 = = = − 两向量相关的几何意义是两向量共线； 三个向量相关的几何意义 是三个向量共面。 下面我们给出判定向量组线性相关性一般方法。 ⒍ 线性相关， (对应分量成比例)
二、线性相关性的判定 定理向量组c1,a2,.,m(m≥2)线性相关 的充分必要条件是a1,a2,.,am中至少有 一个向量可由其余m-1个向量线性表示 证明充分性 设a41.a2,am中有一个向量（比如am)能 由其余向量线性表示 a=k a+kaz+.+kmiam1
二、线性相关性的判定 定理 向量组 1, 2 , , m (m 2 ) 线性相关 的充分必要条件是 1, 2 , , m 一个向量可由其余 m −1 个向量线性表示． 中至少有 证明 充分性 由其余向量线性表示. 设 1, 2 , , m 中有一个向量 ( 比如 m) 能 m = k1 1 + k2 2 ++ km−1 m−1