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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 上一页 下一页 返回首页 §1 矩阵的初等变换
§1矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，它在 化简矩阵、求矩阵的秩、求矩阵的逆阵以及求解线性 方程组等方面起着重要的作用. 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换： (1)换行变换：互换矩阵的i,j行，记作←→； (2)数乘变换：用非零常数k乘矩阵的第i行，记作 ×k; (3)倍加变换：将矩阵的第i行的k倍加到第i行 上，记作：+k灯；. 上一页不页返回首页
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: §1 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，它在 化简矩阵、求矩阵的秩、求矩阵的逆阵以及求解线性 方程组等方面起着重要的作用． i j （1）换行变换：互换矩阵的 i, j 行，记作 r r ； （2）数乘变换：用非零常数 k 乘矩阵的第 i 行，记作 ri k ； （3）倍加变换：将矩阵的第 j 行的 k 倍加到第 i 上，记作 行 i krj r + . 上一页 下一页 返回首页
2 3 -1 例如 -1 01 经过，分 2 3 41-1 4 1 -1 已经变为新的矩阵等号。 1 2 3 又例如 -10 经过+(-4)r(也可写为-4r) 1-1 12 10 11
− − 4 1 1 1 0 1 1 2 3 例如 经过r1 r2 − − 4 1 1 1 2 3 1 0 1 已经变为新的矩阵不能用等号。 − − 4 1 1 1 0 1 1 2 3 又例如 经过r3 + (−4)r1 (也可写为r3 − 4r1 ) − 0 7 11 1 0 1 1 2 3
同理可定义矩阵的初等列变换（所用记号是把 “换成“c). 定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等变换. 初等变换是可逆的，且每种初等变换和它的逆变换 是同一类型. 如)r;逆变换 ←→r ×k 逆变换5×（月）或÷： +k知，逆变换+(-k)r或-k 回上页例子进一步说明 上页不页返向首顶
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等变换． 初等变换是可逆的， 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把 “r”换成“c”)． i j r r r k i 逆变换 ; i j r r 逆变换 ) ; 1 ( r k k ri 或 i i j r + kr 逆变换 ( ) . i j i krj r + −k r 或 r − 如 上一页 下一页 返回首页 回上页例子进一步说明。 且每种初等变换和它的逆变换 是同一类型．
如果矩经有限次初等行变换惑，就称矩阵 A与B行等价记作A人B 如果矩经有限次癣列变换变成，就称矩阵 A与B例等价记作A心B 如果矩喇经有限次初篓换或B,就称矩阵 A与B等价，记作A~B。 矩阵之间的等价关系具有下列性质： )反身性A~A; ②)对称性若A~B,则B~A; ③传递性若A~B,B~C,则A~C, 具有上述三条性质的关系称为等价. 上一页 不页返间首页
上一页 下一页 返回首页 如果矩阵A经有限次初等行变换变成B,就称矩阵 记作A ～ B r A与B行等价， ； 如果矩阵A经有限次初等列变换变成B,就称矩阵 A与B列等价，记作A ～ c B ； 如果矩阵A经有限次初等变换成B, 就称矩阵 A与B等价，记作A ～ B 。 具有上述三条性质的关系称为等价． 矩阵之间的等价关系具有下列性质： （1） 反身性 A~ A； （2） 对称性 若 A ~ B ,则 B ~ A； （3）传递性 若 A ~ B,B~C,则 A ~ C