若曲面∑:z=x(x,y) 则|f(x,y,)dS ∫[Lx,y (x,y)l1+zx2+z列yd lays 是甲E:1=1(Cx) 则∫f(x,y,z)dS ∫x,ux,x,1+y2+yd;
1. 若曲面 : z z( x, y) 则 f (x, y,z)dS [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dxy x y 2. 若曲面 : y y(x,z) 则 f (x, y,z)dS [ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dxz x z
3.若曲面∑:x=x(y,z) 则∫f( x,少,zdS= ∑ ∫x(yD,y4l+x2+x:dht 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式 简述为:一代、二换、三投影 代:将曲面的方程代入被积函数 换:换面积元dS 投影:将曲面投影到坐标面得投影区域
3. 若曲面 ： x x( y,z) 则 f (x, y,z)dS [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz y z 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式 简述为：一代、二换、三投影 代：将曲面的方程代入被积函数 换：换面积元 dS 投影：将曲面投影到坐标面得投影区域
注 (1)这里积分曲面的方程必须是单值显函数,否则 可利用可加性,分块计算,结果相加 (2)把曲面投影到哪一个坐标面,取决于曲面方程 即方程的表达形式 (3)将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数 (4)切记任何时候都要换面积元
注： （1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 可利用可加性，分块计算，结果相加 （2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式 （3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数 （4）切记任何时候都要换面积元
例1计算∫(x+y+z)s,其中∑为平面 y+x=5被柱面x2+y2=25所截得的部分 解积分曲面 ∑ 5 投影域: ={(x,y)x2+y≤25} 0.5 S=、/1+ +zl dxdy 1+0+(-1)y=√2dd
例1 计算 (x y z)ds, 其中为平面 y z 5被柱面 25 2 2 x y 所截得的部分. 解 积分曲面 ：z 5 y , 投影域 ： {( , ) | 25} 2 2 Dxy x y x y dS z z dxdy x y 2 2 1 dxdy 2 1 0 (1) 2dxdy
故∫(x+y+2)d ∑ /(x+y+5-y)d=2】』(5+x) 2 de (5+rcos O)rdr=125 2T 例2计算∫(x2+y2)S其中锥面z=√x2+y2 与平面z=1所围成的区域的整个边界曲面 解将E分成两部分 z x-十 0≤z≤1 ∑, 2 +y2≤1
故 ( x y z)ds Dxy 2 ( x y 5 y)dxdy Dxy 2 (5 x)dxdy d r rdr 5 0 2 0 2 (5 cos ) 125 2. 例2 计算 ( x y )dS 2 2 2 2 其中是锥面 z x y 与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面 解 将 分成两部分 : 0 1 2 2 1 z x y z : 1 1 2 2 2 z x y