模糊方阵A=(an)mxm的幂定义为 A2=AoA, A=A-oA (3)模糊矩阵的转置 定义8设A=(an)m,1=12,…,mj=12,…,n,称A=(an)m为A的转 置矩阵,其中aB=an。 (4)模糊矩阵的λ一截矩阵 定义9设A=(an)mn,对任意的A∈[0,1], i)令 a(/ ≥A 0.a<2 则称A2=(a0)m为模糊矩阵A的截矩阵 0.a.≤A 则称A2=(a40)m为模糊矩阵A的A强截矩阵 显然,对于任意的A∈[O,,λ截矩阵是布尔矩阵。 10.50.20 例7设0.51010.3 则 0.20.110.8 00.30.8 1100 1100 1100 1101 0011 0011 0111 下面给出模糊矩阵的一个性质 267
-267- 模糊方阵 A = aij m×m ( ) 的幂定义为 A = Ao A 2 ， A A A k k o −1 = (3) 模糊矩阵的转置 定义 8 设 A = aij m×n ( ) ，i = 1,2,L,m, j = 1,2,L,n ，称 n m T ji T A a = × ( ) 为 A 的转 置矩阵，其中 ij T ji a = a 。 (4) 模糊矩阵的λ − 截矩阵 定义 9 设 A = aij m×n ( ) ，对任意的λ ∈[0,1]， i) 令 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = λ λ λ ij ij ij a a a 0, 1, ( ) 则称 ij m n A a = × ( ) (λ) λ 为模糊矩阵 A 的λ 截矩阵。 ii) 令 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = λ λ λ ij ij ij a a a 0, 1, ( ) 则称 A = aij m×n • ( ) (λ) λ 为模糊矩阵 A 的λ 强截矩阵。 显然，对于任意的λ ∈[0,1],λ 截矩阵是布尔矩阵。 例 7 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0.3 0.8 1 0.2 0.1 1 0.8 0.5 1 0.1 0.3 1 0.5 0.2 0 A ，则 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 A0.5 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 A0.3 下面给出模糊矩阵的一个性质
性质设A=(an)m,i=12,…,m,j=1,2,…,n是模糊自反矩阵(对角线上的元 素r都为1的模糊矩阵,是n阶单位矩阵,则 < 证:因为A=(aqn)mn是模糊自反矩阵,即有ra=1,所以Ⅰ≤R,又 max(ak Aa, 和≤k≤n≥A= 即有R≤R2。 §2模糊模式识别 本节我们假定论域为U,U上的模糊集的全体记为F(U)。 2.1模糊集的贴近度 贴近度是对两个模糊集接近程度的一种度量。 定义10设A,B,C∈F(U),若映射 N:F(U)×F(U)→[O,1] 满足条件 (1)N(A,B)=N(B,A); (2)N(A,A)=1,N(U,Φ)=0,这里Φ为空集; (3)若 ACCC,则N(A,C)≤N(A,B)∧N(B,C) 则称N(A,B)为模糊集A与B的贴近度。N称为F(U)上的贴近度函数 1.海明贴近度 若U={1,u2…,un},则 N(A,B)△1-∑|4n)-B(u1) n 当U为实数域上的闭区间[a,b]时,则有
-268- 性质 设 A = aij m×n ( ) ，i = 1,2,L,m, j = 1,2,L,n 是模糊自反矩阵(对角线上的元 素 ij r 都为 1 的模糊矩阵)， I 是 n 阶单位矩阵，则 2 I ≤ R ≤ R 证：因为 A = aij m×n ( ) 是模糊自反矩阵，即有 rii= 1，所以 I ≤ R ，又 { ik kj } ii ij ij max (a ∧ a )1 ≤ k ≤ n ≥ r ∧ r = r 即有 2 R ≤ R 。 §2 模糊模式识别 本节我们假定论域为U ，U 上的模糊集的全体记为 F(U)。 2.1 模糊集的贴近度 贴近度是对两个模糊集接近程度的一种度量。 定义 10 设 A, B,C ∈ F(U) ，若映射 N : F(U)× F(U) →[0,1] 满足条件： （1） N(A, B) = N(B, A) ； （2） N(A, A) = 1， N(U,Φ) = 0 ，这里Φ 为空集； （3）若 A ⊆ B ⊆ C ，则 N(A,C) ≤ N(A, B) ∧ N(B,C)； 则称 N(A, B) 为模糊集 A 与 B 的贴近度。 N 称为 F(U)上的贴近度函数。 1．海明贴近度 若 { , , , } U = u1 u2 L un ，则 ∑= Δ − − n i A ui B ui n N A B 1 | ( ) ( ) | 1 ( , ) 1 当U 为实数域上的闭区间[a,b]时，则有
N(A,B1-_1 L A(u)-B(u di b-a 2.欧几里得贴近度 ul N(A,B)△ ∑(4(n1)-B(n) 当U=[a,b]时,则有 M(423(C40 3.黎曼贴近度 若U为实数域,被积函数为黎曼可积,且广义积分收敛,则 (A()∧B()dlu N1(A,B)△ (A(u)vB(u))du 2(4(m)~B()dm N2(A, B)A A(u)du+ B(u)du 例8设U=[0,100],且 0,0≤x<20 1,0≤x<40 4(x)=x-20 20≤x<60, B(m)s」80-x,40≤x<80 40 l,60≤x≤100 0.80≤x≤100 见图1。求黎曼贴近度M(A,B)。 Bix Aix 图1隶属函数图
-269- A u B u du b a N A B b ∫a − − Δ − | ( ) ( ) | 1 ( , ) 1 2．欧几里得贴近度 若 { , , , } U = u1 u2 L un ，则 1/ 2 1 2 ( ( ) ( )) 1 ( , ) 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − ∑ − = n i A ui B ui n N A B 当U = [a,b]时，则有 1/ 2 2 ( ( ) ( )) 1 ( , ) 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − Δ − ∫ b a A u B u du b a N A B 3．黎曼贴近度 若U 为实数域，被积函数为黎曼可积，且广义积分收敛，则 ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ ∨ ∧ Δ A u B u du A u B u du N A B ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( , ) 1 ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ + ∧ Δ A u du B u du A u B u du N A B ( ) ( ) 2 ( ( ) ( )) ( , ) 2 例 8 设U = [0,100]，且 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ < − ≤ < = 1, 60 100 , 20 60 40 20 0, 0 20 ( ) x x x x A x ， ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ < − ≤ < = 0, 80 100 , 40 80 40 80 1, 0 40 ( ) x x x x B x 见图 1。求黎曼贴近度 ( , ) N1 A B 。 图 1 隶属函数图
解不难求得A(x)和B(x)的交点坐标x=50,于是 A(x)∧B(x) 0≤x<80 其它 0≤x<40 40≤x<50 A(x)vB(x) 50≤x<60 40 60<x≤100 (4()∧B(u)ld N,(A, B 0.2308 (4()vB(u) 计算的 MATLAB程序 i)编写定义函数A(x)∧B(x)的 MATLAB函数 f1=(x>=20&x<50).*(x-20)/40+(x>=50&x<80).*(80-x)/40, i)编写定义函数A(x)vB(x)的 MATLAB函数 f2=(x>=0x<40)+(x>=40&x<50).*(80-x)/40+(x>=50& x<60).*(x-20)/40+(x>=60&x<=100); i)利用 MATLAB的积分命令quad计算M(A,B) N1=quad(@jixiao, 0, 100)/quad(@jida, 0, 100) 例9设U=R(实数域),正态型隶属函数 A(x) B(x)
-270- 解 不难求得 A(x)和 B(x)的交点坐标 50 * x = ，于是 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ < − ≤ < − ∧ = 0, 其它 , 50 80 40 80 , 20 50 40 20 ( ) ( ) x x x x A x B x ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ < − ≤ < − ≤ < ∨ = 1, 60 100 , 50 60 40 20 , 40 50 40 80 1, , 0 40 ( ) ( ) x x x x x x A x B x 0.2308 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( , ) 100 0 100 0 1 ≈ ∨ ∧ = ∫ ∫ A u B u du A u B u du N A B 计算的 MATLAB 程序： i）编写定义函数 A(x) ∧ B(x)的 MATLAB 函数 function f1=jixiao(x); f1=(x>=20 & x<50).*(x-20)/40+(x>=50 & x<80).*(80-x)/40; ii）编写定义函数 A(x)∨ B(x)的 MATLAB 函数 function f2=jida(x); f2=(x>=0 & x<40)+(x>=40 & x<50).*(80-x)/40+(x>=50 & x<60).*(x-20)/40+(x>=60 & x<=100); iii）利用 MATLAB 的积分命令 quadl 计算 ( , ) N1 A B N1=quadl(@jixiao,0,100)/quadl(@jida,0,100) 例 9 设U = R （实数域），正态型隶属函数 2 1 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ x a A x e ， 2 2 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ x a B x e
求当σ1≤a2时,N(A,B)(见图2) Bix A Bix) 图2隶属函数图 解当a1≤2,x∈R,A(x)≤B(x) 根据黎曼贴近度,有 A(x l N1(A,B)= B(xda NlA 2A(xyr Axx+「B( xdx O1+a 22格贴近度 定义10设A,B∈F(U),称 A⊙B=V(A(u)AB(u) 为模糊集A,B的内积。 内积的对偶运算为外积。 定义11设A,B∈F(U),称 A⑧B=∧(A(a)vB(u) 为模糊集A,B的外积。 如果在闭区间[O,上定义“余”运算:Va∈[0,1,a=1-a,那么有性质1 性质1(A⑧B)=A⊙B,(A⊙B)=A⑧B 对A∈F(U),令
-271- 求当σ 1 ≤ σ 2 时， N(A, B) （见图 2） 图 2 隶属函数图 解 当σ1 ≤ σ 2 ，∀x ∈ R ， A(x) ≤ B(x) 根据黎曼贴近度，有 2 1 1 ( ) ( ) ( , ) σ σ = = ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ B x dx A x dx N A B 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( , ) σ σ σ + = + = ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ A x dx B x dx A x dx N A B 2.2 格贴近度 定义 10 设 A, B ∈ F(U) ，称 A ⊙ B (A(u) B(u)) u U = ∨ ∧ ∈ 为模糊集 A, B 的内积。 内积的对偶运算为外积。 定义 11 设 A, B ∈ F(U) ，称 A B (A(u) B(u)) u U ⊗ = ∧ ∨ ∈ 为模糊集 A, B 的外积。 如果在闭区间[0,1]上定义“余”运算：∀α ∈[0,1]，α = 1−α c ，那么有性质 1 性质 1 c c (A⊗ B) = A ⊙ c B ，(A ⊙ c c c B) = A ⊗ B 。 对 A∈ F(U) ，令