a=v A(u), a=AA(u) σ和a分别叫做模糊集A的峰值和谷值。对模糊集A,B,C,不难得到如下性质。 性质2A⊙B≤aAb,A⑧B≥aVb。 性质3A⊙A=a,A⑧A=a 性质4y(A⊙B)=a (A⑧B)=a B∈F(U) 性质5A∈B→A⊙B=a,A⑧B=b 性质6A⊙A≤-,A⑧B≥ 性质7AcB→A⊙B≤B⊙C,并且A⑧C≤B⑧C 由性质发现,给定模糊集A,让模糊集B靠近A,会使内积A⊙B增大而外积 A⑧B减少。换句话说,当A⊙B较大且A⑧B较少时,A与B比较贴近。所以,采 用内积与外积相结合的“格贴近度”来刻画两个模糊集的贴近程度 引理1设A,B∈F(U),令(A,B)=(A⊙B)A(A⑧B)°,则下列结论成立 (1)0≤(A,B)≤1 (2)(A,B)=(B,A); (3)(A,A)=a(1-a) (4) ACBCO→(AC)≤(A,B)∧(B,C) 特别当a=1,a=0时,(A,A)=1。 根据引理1和贴近度的定义,立即得到 定理1设A,B∈F(U),则 (A,B)=(A⊙B)∧(A⑧B) 是模糊集A,B的贴近度,叫做A,B的格贴近度。记为 N(A,B)=(A⊙B)∧(A⑧B)
-272- a A(u) u∈U = ∨ ， a A(u) u∈U = ∧ a 和 a 分别叫做模糊集 A 的峰值和谷值。对模糊集 A, B,C ，不难得到如下性质。 性质 2 A ⊙ B ≤ a ∧ b ， A⊗ B ≥ a ∨ b。 性质 3 A ⊙ A = a ， A⊗ A = a 性质 4 A B F U ( ∈ ( ) ∨ ⊙ B) = a ， A B a B F U ∧ ⊗ = ∈ ( ) ( ) 性质 5 A ⊆ B ⇒ A ⊙ B = a ， A⊗ B = b 性质 6 A ⊙ 2 1 ≤c A ， 2 1 A⊗ B ≥ 性质 7 A ⊆ B ⇒ A⊙ B ≤ B ⊙C ，并且 A⊗C ≤ B ⊗C 由性质发现，给定模糊集 A ，让模糊集 B 靠近 A ，会使内积 A ⊙ B 增大而外积 A⊗ B 减少。换句话说，当 A ⊙ B 较大且 A⊗ B 较少时， A 与 B 比较贴近。所以，采 用内积与外积相结合的“格贴近度”来刻画两个模糊集的贴近程度。 引理 1 设 A, B ∈ F(U) ，令(A, B) = (A ⊙ c B) ∧ (A⊗ B) ，则下列结论成立： （1）0 ≤ (A, B) ≤ 1； （2）(A, B) = (B, A) ； （3）(A, A) = a ∧ (1− a) ； （4） A ⊆ ⇒ B ⊆ C (A,C) ≤ (A, B) ∧ (B,C) 特别当 a = 1， a = 0 时，(A, A) = 1。 根据引理 1 和贴近度的定义，立即得到： 定理 1 设 A, B ∈ F(U) ，则 (A, B) = (A ⊙ c B) ∧ (A⊗ B) 是模糊集 A, B 的贴近度，叫做 A, B 的格贴近度。记为 N(A, B) = (A ⊙ c B) ∧ (A⊗ B)
例10设论域R为实数域,模糊集的隶属函数为 A(x) B(x) 求N(A,B) 解法I(格贴近度法)对上述函数,有 若A(x)≤B(x),则A⊙B=V(A4(x)∧B(x))=V4(x)=B(x) 若B(x)≤A(x),则A⊙B=V(4(x)∧B(x)=VB(x)=A(x) 可见,内积A⊙B是A(x)与B(x)相等时的值,这时x=x。故可令A(x)=B(x) 即从 求得 001-01 G1+O2 其中x2不是最大值点,故选x=x1。于是 A⊙B=A(x1) 而 AC⊙B (1-A(x)A(1-B(x)=1 由格贴近度公式,得 N(A, B) 2+O1 解法II(黎曼贴近度法) 0a N,(A, B) 273
-273- 例 10 设论域 R 为实数域，模糊集的隶属函数为 2 1 1 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ x a A x e ， 2 2 2 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ x a B x e 求 N(A, B) 。 解法 I （格贴近度法）对上述函数，有 若 A(x) ≤ B(x)，则 A ⊙ ( ( ) ( )) ( ) ( ) * B A x B x A x B x x R x R = ∨ ∧ = ∨ = ∈ ∈ 若 B(x) ≤ A(x)，则 A ⊙ ( ( ) ( )) ( ) ( ) * B A x B x B x A x x R x R = ∨ ∧ = ∨ = ∈ ∈ 可见，内积 A ⊙ B 是 A(x) 与 B(x) 相等时的值，这时 * x = x 。故可令 A(x) = B(x) ， 求 * x ，即从 2 2 2 2 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ σ x a x a e e 求得 1 2 1 2 2 1 1 σ σ σ σ + + = a a x ， 2 1 2 1 1 2 2 σ σ σ σ − − = a a x 其中 2 x 不是最大值点，故选 1 * x = x 。于是 A ⊙ 2 2 1 2 1 ( )1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = = σ σ a a B A x e 而 C A ⊙ = ∨ ((1− ( )) ∧ (1− ( ))) = 1 ∈ B A x B x x R C 由格贴近度公式，得 2 2 1 2 1 ( , ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = σ σ a a N A B e 解法 II（黎曼贴近度法） e dx e dx e dx e dx N A B x x a x x a x x a x x a ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − +∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + = * 2 2 2 * 2 1 1 * 2 1 1 * 2 2 2 ( , ) 1 σ σ σ σ
+|.e N2(A,B)= ga +oa 其中,a1<x<a2,x (见解法I)。 求解式中各积分非常麻烦,这里就不解下去了。不过己经发现,求解此题,以选择 格贴近度法最好。 2.3模糊模式识别原则 模糊模式识别大致有两种方法,一是直接方法,按“最大隶属原则”归类,主要应 用于个体的识别;另一是间接方法,按“择近原则”归类,一般应用于群体模型的识别。 231最大隶属原则 设A1∈F(U)(i=1,2,…,n),对l∈U,若存在i,使 A1(u)=max{A1(u2),A2()…,A(u2)} 则认为o相对地隶属于A,这是最大隶属原则。 例11考虑人的年龄问题,分为年轻、中年、老年三类,分别对应三个模糊集 A1,A2,A3。设论域U=(0,100],且对x∈(0,100],有 1,0<x≤20 20 20<x≤30 x-40 30<x≤40 0,40 50<X≤ x-70 60<x≤70 20 1,70<x≤100
-274- e dx e dx e dx e dx N A B x a x a x x a x x a ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − +∞ −∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − +∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + = 2 2 2 2 1 1 * 2 1 1 * 2 2 2 ( , ) 2 σ σ σ σ 其中， 2 * a1 < x < a ， 1 2 * 2 1 1 2 σ σ σ σ + + = a a x （见解法 I）。 求解式中各积分非常麻烦，这里就不解下去了。不过已经发现，求解此题，以选择 格贴近度法最好。 2.3 模糊模式识别原则 模糊模式识别大致有两种方法，一是直接方法，按“最大隶属原则”归类，主要应 用于个体的识别；另一是间接方法，按“择近原则”归类，一般应用于群体模型的识别。 2.3.1 最大隶属原则 设 A F(U) i ∈ （i = 1,2,L,n ），对u0 ∈U ，若存在 0i ，使 ( ) max{ ( ), ( ), , ( )} Ai0 u0 = A1 u0 A2 u0 L An u0 则认为u0 相对地隶属于 Ai ，这是最大隶属原则。 例 11 考虑人的年龄问题，分为年轻、中年、老年三类，分别对应三个模糊集 1 2 3 A , A , A 。设论域U = (0,100]，且对 x ∈(0,100]，有 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ ⎟ < ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ < ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − < ≤ = 0, 40 100 , 30 40 20 40 2 , 20 30 20 20 1 2 1, 0 20 ( ) 2 2 1 x x x x x x A x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ ⎟ < ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ < ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < ≤ = 1, 70 100 , 60 70 20 70 1 2 , 50 60 20 50 2 0, 0 50 ( ) 2 2 3 x x x x x x A x