指派方法是一种主观的方法,它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函 数的一种方法。 如果模糊集定义在实数域R上,则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方 法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布,再根据实际测量数据确定其中 所包含地参数,常用的模糊分布如表1所示 实际中,根据问题对硏究对象的描述来选择适当的模糊分布 ①偏小型模糊分布一般适合于描述像“小,少,浅,淡,冷,疏,青年”等偏小 的程度的模糊现象。 ②偏大型模糊分布一般适合于描述像“大,多,深,浓,热,密,老年”等偏大 的程度的模糊现象。 ③中间型模糊分布一般适合于描述像“中,适中,不太多,不太少,不太深,不 太浓,暖和,中年”等处于中间状态的模糊现象。 但是,表1给出的隶属函数都是近似的,应用时需要对实际问题进行分析,逐步修 改进行完善,最后得到近似程度更好的隶属函数。 (3)其它方法 在实际应用中,用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的,主要根据问题的 实际意义来确定。譬如,在经济管理、社会管理中,可以借助于已有的“客观尺度”作 为模糊集的隶属度。下面举例说明。 如果设论域X表示机器设备,在X上定义模糊集A=“设备完好”,则可以用“设 备完好率”作为A的隶属度。如果X表示产品,在X上定义模糊集A=“质量稳定” 则可以用产品的“正品率”作为A的隶属度。如果X表示家庭,在X上定义模糊集A “家庭贫困”,则可以用“ Engel系数=食品消费/总消费”作为A的隶属度。 另外,对于有些模糊集而言,直接给出隶属度有时是很困难的,但可以利用所谓的 二元对比排序法”来确定,即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出 顺序,然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数
-262- 指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函 数的一种方法。 如果模糊集定义在实数域 R 上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方 法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布，再根据实际测量数据确定其中 所包含地参数，常用的模糊分布如表 1 所示。 实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布： ① 偏小型模糊分布一般适合于描述像“小，少，浅，淡，冷，疏，青年”等偏小 的程度的模糊现象。 ② 偏大型模糊分布一般适合于描述像“大，多，深，浓，热，密，老年”等偏大 的程度的模糊现象。 ③ 中间型模糊分布一般适合于描述像“中，适中，不太多，不太少，不太深，不 太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现象。 但是，表 1 给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步修 改进行完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。 （3）其它方法 在实际应用中，用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的，主要根据问题的 实际意义来确定。譬如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的“客观尺度”作 为模糊集的隶属度。下面举例说明。 如果设论域 X 表示机器设备，在 X 上定义模糊集 A ＝“设备完好”，则可以用“设 备完好率”作为 A 的隶属度。如果 X 表示产品，在 X 上定义模糊集 A ＝“质量稳定”， 则可以用产品的“正品率”作为 A 的隶属度。如果 X 表示家庭，在 X 上定义模糊集 A ＝“家庭贫困”，则可以用“Engel 系数＝食品消费/总消费”作为 A 的隶属度。 另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的 “二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出 顺序，然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数
表1常用的模糊分布 类型矩阵型 偏小型 中间型 偏大型 X≤a ∫1 a<xsb > x>a 0,x<a或x>b 0,x<a X-a a≤x≤b < x≤a 6-x b≤x≤C 形4=b a,asrs b ,a≤x≤b 0,x>b b <ax>d x≤b k次抛物型 x≤a x<a b≤x≤ (—),a≤x≤b x≤b ),c≤x≤d 0 x> >b 0 ≥d x<a x≤a 一k(x 4={1 1-e-(x-),x≥a x>b x≤a 正态型 < 柯西型 x>a 1+a(x-a)3 1+a(x-a) (a>0,B为正偶数) (a>0,B>0) (a>0,B>0) 3模糊关系、模糊矩阵
-263- 表 1 常用的模糊分布 类 型 偏小型 中间型 偏大型 矩 阵 型 ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = x a x a A 0, 1, μ ⎩ ⎨ ⎧ < > ≤ ≤ = x a x b a x b A 0, 或 1, μ ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = x a x a A 0, 1, μ 梯 形 型 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ − − ≤ = x b a x b b a b x x a A 0, , 1, μ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ ≤ ≤ − − ≤ ≤ ≤ ≤ − − = x a x d c x d d c d x b x c a x b b a x a A 0, , , 1, , μ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ − − < = x b a x b b a x a x a A 1, , 0, μ k 次 抛 物 型 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ − − ≤ = x b a x b b a b x x a k A 0, ( ) , 1, μ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ ≤ ≤ − − ≤ ≤ ≤ ≤ − − = x a x d c x d d c d x b x c a x b b a x a k k A 0, , ( ) , 1, ( ) , μ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ − − < = x b a x b b a x a x a k A 1, ( ) , 0, μ Γ 型 ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = − − e x a x a A k x a , 1, ( ) μ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ < = − − − e x b a x b e x a k x a k x a A , 1, , ( ) ( ) μ ⎩ ⎨ ⎧ − ≥ < = − − e x a x a A k x a 1 , 0, ( ) μ 正 态 型 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ≤ = x a x a x a A exp , 1, 2 σ μ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 2 exp σ μ x a A ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ≤ = x a x a x a A 1 exp , 0, 2 σ μ 柯 西 型 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + − ≤ = x a x a x a A , 1 ( ) 1 1, β α μ (α > 0, β > 0) β α μ 1 ( ) 1 x a A + − = (α > 0, β 为正偶数) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + − ≤ = − x a x a x a A , 1 ( ) 1 0, β α μ (α > 0, β > 0) 1.3 模糊关系、模糊矩阵
1.3.1基本概念 定义4设论域U,V,乘积空间上Ux={p∈U,v∈}上的一个模糊 子集R为从从集合U到集合V的模糊关系。如果模糊关系R的隶属函数为 2:U×→[01],(x,y)+>P2(x,y) 则称隶属度μ2(x,y)为(x,y)关于模糊关系R的相关程度 这是二元模糊关系的数学定义,多元模糊关系也可以类似定义 设U={x1,x2…,xn},={v1,y2…,yn},R为从从U到V的模糊关系,其 隶属函数为A2(x,y),对任意的(x,y)∈Ux有HR(x,y)=∈0 i=1,2,…,m,j=12,…,n,记R=Grn)mn,则R就是所谓的模糊矩阵。下面给出 般的定义。 定义5设矩阵R=(n)m,且rn∈[O.,i=12,…,m,j=1,2,…,n,则R称 为模糊矩阵 特别地,如果r∈{0,1},i=1,2,…m,j=12,…,n,则称R为布尔(B0o)矩阵 当模糊方阵R=G)mm的对角线上的元素r都为1时,称R为模糊自反矩阵。 m=1或者n=1时,相应地模糊矩阵为R=(,z2…rn)或者 R=(r,r2…,rn),则分别称为模糊行向量和模糊列向量 例4设评定科研成果等级的指标集为U′=(x1x2…,x53),x表示为科研成果发 明或创造、革新的程度,x2表示安全性能,x3表示经济效益,x4表示推广前景,x表 示成熟性;V表示定性评价的评语论域V=(y1,y2,y3,y4),y1,y2,y3,y4分别表示很 好、较好、一般、不好。通过专家评审打分,按下表给出U×上每个有序对(x1,y)指 定的隶属度。 264
-264- 1.3.1 基本概念 定义 4 设论域U ，V ，乘积空间上U ×V = {(u, v) u ∈U, v ∈V}上的一个模糊 子集 R 为从从集合U 到集合V 的模糊关系。如果模糊关系 R 的隶属函数为 μ R ：U ×V → [0,1]， (x, y) a (x, y) μ R 则称隶属度 (x, y) μ R 为(x, y)关于模糊关系 R 的相关程度。 这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。 设 { }m U x , x , , x = 1 2 L ，V = {y1 , y2 ,L, yn }， R 为从从U 到V 的模糊关系，其 隶属函数为 (x, y) μ R ，对任意的 ( , ) i j x y ∈ U ×V 有 ( , ) = ∈[0,1] R i j ij μ x y r ， i = 1,2,L,m, j = 1,2,L,n ，记 ij m n R r = × ( ) ，则 R 就是所谓的模糊矩阵。下面给出一 般的定义。 定义 5 设矩阵 ij m n R r = × ( ) ，且 ∈[0,1] ij r ，i = 1,2,L,m, j = 1,2,L,n ，则 R 称 为模糊矩阵。 特别地，如果 ∈{0,1} ij r ，i = 1,2,L,m, j = 1,2,L,n ，则称 R 为布尔(Bool)矩阵。 当模糊方阵 ij n n R r = × ( ) 的对角线上的元素 ij r 都为 1 时，称 R 为模糊自反矩阵。 当 m = 1 或 者 n = 1 时，相应地模糊矩阵为 ( , , , ) 1 2 n R = r r L r 或 者 T n R (r ,r , ,r ) = 1 2 L ，则分别称为模糊行向量和模糊列向量。 例 4 设评定科研成果等级的指标集为 ( , , , ) 1 2 5 U = x x L x ， 1 x 表示为科研成果发 明或创造、革新的程度， 2 x 表示安全性能， 3 x 表示经济效益， 4 x 表示推广前景， 5 x 表 示成熟性；V 表示定性评价的评语论域 ( , , , ) 1 2 3 4 V = y y y y ， 1 2 3 4 y , y , y , y 分别表示很 好、较好、一般、不好。通过专家评审打分，按下表给出U ×V 上每个有序对( , ) i i x y 指 定的隶属度
表2有序对(x2y)指定的隶属度 y很好 y较好 般 不好 0.45 0.35 0.15 0.05 0.10 26 0.50 0.30 0.10 0.10 0.30 0.05 0.56 0.10 0.20 0.14 由此确定一个从U到V的模糊关系R,这个模糊关系的隶属度函数是一个5×4阶 的矩阵,记为 0.450.350.150.05 0.30.340.10.26 R=0.50.30.10.1 0.60.30050.05 0.560.10.20.14 则R为一个模糊关系矩阵 1.3.2模糊矩阵的运算及其性质 (1)模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 定义6设A=(an)m,B=(b,)m,l=12,…,m,j=12…,n都是模糊矩阵, 定义 i)相等: A=B◇ i)包含 A<B→a≤b AUB=(a, vb,)m:
-265- 表 2 有序对( , ) i i x y 指定的隶属度 V y1 很好 y2 较好 y3 一般 y4 不好 x1 0.45 0.35 0.15 0.05 x2 0.30 0.34 0.10 0.26 x3 0.50 0.30 0.10 0.10 x4 0.60 0.30 0.05 0.05 x5 0.56 0.10 0.20 0.14 由此确定一个从U 到V 的模糊关系 R ，这个模糊关系的隶属度函数是一个 5×4 阶 的矩阵，记为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.56 0.1 0.2 0.14 0.6 0.3 0.05 0.05 0.5 0.3 0.1 0.1 0.3 0.34 0.1 0.26 0.45 0.35 0.15 0.05 R 则 R 为一个模糊关系矩阵。 1.3.2 模糊矩阵的运算及其性质 (1) 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 定义 6 设 A = aij m×n ( ) ，B = bij m×n ( ) ，i = 1,2,L,m, j = 1,2,L,n 都是模糊矩阵， 定义 i) 相等： A = B ⇔ aij = bij ； ii) 包含： A ≤ B ⇔ aij ≤ bij ； iii) 并： A B = aij ∨ bij m×n U ( ) ； y u x
A∩B=(an∧b)m 10.1 0.70 例5设A B 0.30.5 0.40.9 10.1 0.70 00.9 AUB A∩B 0.40.9 0.30.5 0.70.5 (2)模糊矩阵的合成 定义7设A=(a1)m,B=(bh)n,称模糊矩阵 loB=(cu,)me 为A与B的合成,其中 cn=max(a4b)≤k≤s 0.40.70 例6设A 10805/B-(0406.则 00.3 0.70.70.5 0.40.6 AoB BoA=0.60605 0.30.30.3 两模糊矩阵合成的 MATLAB函数如下: function ab=synt(a, b) m=size(a, l)in=size(b, 2) for i=1: m f ab(i,j)=max(min([a(i,:);b(:;j)!])); 266-
-266- iv) 交： A B = aij ∧ bij m×n I ( ) v) 余： ij m n C A a = − × (1 ) 例 5 设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.3 0.5 1 0.1 A ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.4 0.9 0.7 0 B ，则 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.4 0.9 1 0.1 AU B ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.3 0.5 0.7 0 AI B ， = C A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0.7 0.5 0 0.9 (2) 模糊矩阵的合成 定义 7 设 A = aik m×s ( ) ， B = bkj s×n ( ) ，称模糊矩阵 ij m n A B c = × o ( ) 为 A 与 B 的合成，其中 cij = max{(aik ∧ bkj )1 ≤ k ≤ s} 例 6 设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0.8 0.5 0.4 0.7 0 A ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0.3 0.4 0.6 1 0.7 B ，则 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0.7 0.4 0.6 Ao B ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.3 0.3 0.3 0.6 0.6 0.5 0.7 0.7 0.5 B o A 两模糊矩阵合成的 MATLAB 函数如下： function ab=synt(a,b); m=size(a,1);n=size(b,2); for i=1:m for j=1:n ab(i,j)=max(min([a(i,:);b(:,j)'])); end end