第十四章稳定状态模型 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述,但是对于某些 实际问题,建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态,而是研究某种意义 下稳定状态的特征,特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值,在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程,而可 以利用微分方程稳定性理论,直接研究平衡状态的稳定性就行了。 本章先介绍平衡状态与稳定性的概念,然后列举几个这方面的建模例子 §1微分方程稳定性理论简介 定义1称一个常微分方程(组)是自治的,如果方程(组 d=F(x,1)= fN( 中的F(x,1)=F(x),即在F中不含时间变量t。 事实上,如果增补一个方程,一个非自治系统可以转化自治系统,就是说,如果定 F(x,) 且引入另一个变量s,则方程(1)与下述方程 是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统,这样的系统也称 为动力系统。 定义2系统 (2) dt 的相空间是以(x1…,xn)为坐标的空间R”,特别,当n=2时,称相空间为相平面 空间R中的点集 (x12…xn)x1=x、()满足(2)=1…,n} 称为系统(2)的轨线,所有轨线在相空间中的分布图称为相图 定义3相空间中满足F(x0)=0的点x称为系统(2)的奇点(或平衡点) 奇点可以是孤立的,也可以是连续的点集。例如,系统 = ax+ dt (3) =Cx+ dt 当ad-bc=0时,有一个连续的奇点的集合。当ad-bc≠0时,(0,0)是这个系统的 唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇点。为了知道何时有孤立奇点,给出下述定理 167
-167- 第十四章 稳定状态模型 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义 下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可 以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。 本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。 §1 微分方程稳定性理论简介 定义 1 称一个常微分方程（组）是自治的，如果方程（组） ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ( ) ( , ) ( , ) 1 f t f x t F x t dt dx N M （1） 中的 F(x,t) = F(x) ，即在 F 中不含时间变量t 。 事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化自治系统，就是说，如果定 义 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = t x y ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 ( , ) ( ) F x t G y 且引入另一个变量 s ，则方程（1）与下述方程 G( y) ds dy = 是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统，这样的系统也称 为动力系统。 定义 2 系统 F(x) dt dx = （2） 的相空间是以( , , ) 1 n x L x 为坐标的空间 n R ，特别，当n = 2 时，称相空间为相平面。 空间 n R 中的点集 {(x1,L, xn ) | xi = xi(t)满足(2),i =1,L,n} 称为系统（2）的轨线，所有轨线在相空间中的分布图称为相图。 定义 3 相空间中满足 F(x0 ) = 0的点 0 x 称为系统（2）的奇点（或平衡点）。 奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。例如，系统 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + cx dy dt dy t ax by dt dx t ( ) ( ) （3） 当 ad − bc = 0时，有一个连续的奇点的集合。当 ad − bc ≠ 0时，(0,0) 是这个系统的 唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇点。为了知道何时有孤立奇点，给出下述定理：
定理1设F(x)是实解析函数,且x系统(2)的奇点。若F(x)在点x0处的 acobian矩阵 J(x0) 是非奇异的,则x0是该系统的孤立奇点。 定义4设x是(2)的奇点,称 (i)x0是稳定的,如果对于任意给定的E>0,存在一个d>0,使得如果 0)-x0k,则x(1)-xkE对所有的t都成立。 (ⅱi)x是渐近稳定的,如果它是稳定的,且lim|x()-x。}=0。 这样,如果当系统的初始状态靠近于奇点,其轨线对所有的时间t仍然接近它,于 是说x是稳定的。另一方面,如果当1→>∞时这些轨线趋于x,则x是渐近稳定的。 定义5一个奇点不是稳定的,则称这个奇点是不稳定的 对于常系数齐次线性系统(3)有下述定理 定理2设x=x(1)是系统(3)的通解。则 (i)如果系统(3)的系数矩阵A的一切特征根的实部都是负的,则系统(3)的 零解是渐近稳定的 (i)如果A的特征根中至少有一个根的实部是正的,则系统(3)的零解是不稳 定的。 (ⅲi)如果A的一切特征根的实部都不是正的,但有零实部,则系统(3)的零解 可能是稳定的,也可能是不稳定的,但总不会是渐近稳定的。 定理2告诉我们:系统(3)的零解渐近稳定的充分必要条件是A的一切特征根的 实部都是负的 对于非线性系统,一般不可能找出其积分曲线或轨迹,也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难,在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统,用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解 定义6设x0是系统(2)的一个孤立奇点。称系统在x0点几乎是线性的,如果F 在x0的 Jacobian矩阵是非奇异的,即detJ(x0)≠0。 ,设F(x)在x=0的某邻域内连续,并有直到二阶连续偏导数,则由多元函数的 yor公式,可将F(x)展开成F(x)=Ax+O(lx),其中 是一个常数矩阵,这样得到的线性系统 d x = (4) dt 称为系统(2)的线性近似。一开始,人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的
-168- 定理 1 设 F(x) 是实解析函数，且 0 x 系统（2）的奇点。若 F(x) 在点 0 x 处的 Jacobian 矩阵 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = j i x f J (x ) 0 是非奇异的，则 0 x 是该系统的孤立奇点。 定义 4 设 0 x 是（2）的奇点，称 （i） 0 x 是稳定的，如果对于任意给定的 ε > 0 ，存在一个 δ > 0 ，使得如果 | x(0) − x0 |< δ ，则| ( ) − |< ε 0 x t x 对所有的t 都成立。 （ii） 0 x 是渐近稳定的，如果它是稳定的，且lim | ( ) − 0 |= 0 →∞ x t x t 。 这样，如果当系统的初始状态靠近于奇点，其轨线对所有的时间t 仍然接近它，于 是说 0 x 是稳定的。另一方面，如果当t → ∞ 时这些轨线趋于 0 x ，则 0 x 是渐近稳定的。 定义 5 一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。 对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。 定理 2 设 x = x(t)是系统（3）的通解。则 （i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。 （ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。 （iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。 定理 2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。 对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解。 定义 6 设 0 x 是系统（2）的一个孤立奇点。称系统在 0 x 点几乎是线性的，如果 F 在 0 x 的 Jacobian 矩阵是非奇异的，即det J (x0 ) ≠ 0 。 设 F(x) 在 x = 0 的某邻域内连续，并有直到二阶连续偏导数，则由多元函数的 Taylor 公式，可将 F(x) 展开成 ( ) (| | ) 2 F x = Ax + O x ，其中 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = n n n n x f x f x f x f A L M M M L 1 1 1 1 是一个常数矩阵，这样得到的线性系统 Ax dt dx = （4） 称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的
原系统。但后来人们发现,这种看法是不对的,或至少说是不全面的,非线性系统中的 许多性质,在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题,也要在一定 条件下,才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题,我们有下述定理: 定理3如果系统(4)的零解是渐近稳定的,或不稳定的,则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而,如果系统(4)的零解是稳定的,则原系统的零解是不 定的,即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。 系统(3)在其系数矩阵A=/ab 的行列式detA≠0的条件下,可知(0.0)是 系统(3)的唯一的平衡点,它的稳定性由特征方程 det(a-An)=0 的根(特征根)决定 定理4设线性系统(3)所对应的特征方程是 22+p 0 其中p=-(a+d),q=ad-bc。设和2是它的根,则当q≠0时关于奇点O(0.0) 有下述结论 (i)A1<A2<0,O是稳定结点 (ⅱi)A1=A2<0,O是稳定退化结点 (i)1>2>0,O是不稳定结点 (ⅳv)A1=2>0,O是不稳定退化结点 (v)A1<0<λ2,O是不稳定鞍点; (v)A12=a±历,a<0,O是稳定焦点 (ⅶi)2=a±B,a>0,O是不稳定焦点 (vi)12=a±所,a=0,O是不稳定中心 定理5设非线性系统 +by+o(x, y) dt = ax+ by+y(x,y) 中的@和v满足条件 (i)在点O的某邻域内存在连续的一阶偏导数。 (ⅱi)存在常数d>0,使得 lim p(x,y)=limy(x,y) 又设系统(5)的一次近似系统(3)的特征方程的根没有零实部,则(5)式与(3)式 的奇点O的类型相同,并有相同的稳定性或不稳定性。 §2再生资源的管理和开发 渔业资源是一种再生资源,再生资源要注意适度开发,不能为了一时的高产“竭泽 而渔”,应该在持续稳产的前提下追求最高产量或最优的经济效益
-169- 原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理： 定理 3 如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。 系统（3）在其系数矩阵 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = c d a b A 的行列式 det A ≠ 0 的条件下，可知(0,0) 是 系统（3）的唯一的平衡点，它的稳定性由特征方程： det(A− λI) = 0 的根λ （特征根）决定。 定理 4 设线性系统（3）所对应的特征方程是 0 2 λ + pλ + q = 其中 p = −(a + d ) ，q = ad − bc 。设λ1 和λ2 是它的根，则当 q ≠ 0时关于奇点O(0,0) 有下述结论： （i） 0 λ1 < λ2 < ，O 是稳定结点； （ii） 0 λ1 = λ2 < ，O 是稳定退化结点； （iii） 0 λ1 > λ2 > ，O 是不稳定结点； （iv） 0 λ1 = λ2 > ，O 是不稳定退化结点； （v） 1 2 λ < 0 < λ ，O 是不稳定鞍点； （vi）λ1,2 = α ± βi,α < 0 ，O 是稳定焦点； （vii）λ1,2 = α ± βi,α > 0 ，O 是不稳定焦点； （viii）λ1,2 = α ± βi,α = 0 ，O 是不稳定中心。 定理 5 设非线性系统 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + + ( , ) ( , ) ax by x y dt dy ax by x y dt dx ψ ϕ （5） 中的ϕ 和ψ 满足条件： （i）在点O 的某邻域内存在连续的一阶偏导数。 （ii）存在常数δ > 0 ，使得 0 ( , ) lim ( , ) lim 1 0 1 0 = = → +δ → +δ ϕ ψ r x y r x y r r ，（ 2 2 r = x + y ） 又设系统（5）的一次近似系统（3）的特征方程的根没有零实部，则（5）式与（3）式 的奇点O 的类型相同，并有相同的稳定性或不稳定性。 §2 再生资源的管理和开发 渔业资源是一种再生资源，再生资源要注意适度开发，不能为了一时的高产“竭泽 而渔”，应该在持续稳产的前提下追求最高产量或最优的经济效益
这是一类可再生资源管理与开发的模型,这类模型的建立一般先考虑在没有收获的 情况下资源自然増长模型,然后再考虑收获策略对资源增长情况的影响 2.1资源增长模型 考虑某种鱼的种群的动态。在建立模型之前,做如下的基本假设: (i)鱼群的数量本身是离散变量,谈不到可微性。但是,由于突然增加或减少的 只是单一个体或少数几个个体,与全体数量相比,这种增长率是微小的。所以,可以近 似地假设鱼群的数量随时间连续地,甚至是可微地变化。 (ⅱi)假设鱼群生活在一个稳定的环境中,即其增长率与时间无关 (i)种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果 (ⅳ)资源有限的生存环境对种群的繁衍,生长有抑制作用,而且这一作用与鱼群 的数量是成正比的。 记时刻t渔场中鱼量为x(1),我们可以得到x(1)所满足的 Logistic模型 i(1)=r(1-) x(0)=N 其中r是固有增长率,N是环境容许的最大鱼量。由分离变量法求得方程(6)解为 (6)式有两个平衡点,即x1=0,x2=N,其中x1是不稳定的,x2在正半轴内全局 稳定。 2.2资源开发模型 建立一个在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程,分析鱼量稳定的条件,并且在稳定的 前提下,讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。 设单位时间的捕捞量与渔场鱼量x()成正比,比例系数k表示单位时间捕捞率,k 可以进一步分解分解为k=qE,E称为捕捞强度,用可以控制的参数如出海渔船数来 度量;q称为捕捞系数,表示单位强度下的捕捞率。为方便取q=1,于是单位时间的 捕捞量为h(x)=Ex(1)。h(x)=常数,表示一个特定的捕捞策略,即要求捕鱼者每天 只能捕捞一定的数量。这样,捕捞情况下渔场鱼量满足方程 x(=rx(I E (7) 这是一个一阶非线性方程,且是黎卡提型的。也称为 Scheafer模型 希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件,即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的 趋向,并且由此确定最大持续产量。在平衡点处有一=0,方程(7)有两个平衡点 x1=0,x2=N(1-一)。显然,它们均是方程的解。 在E<r的情况下,x2是一正平衡点。(7)式可改写为 易知,当0<x<x2时,x(1)>0;x>x2时,x()<0,即平衡解x1是不稳定的,而 x2是稳定平衡解。即在捕捞强度E<r的情况下,渔场鱼量将稳定在x2的水平,因此 -170
-170- 这是一类可再生资源管理与开发的模型，这类模型的建立一般先考虑在没有收获的 情况下资源自然增长模型，然后再考虑收获策略对资源增长情况的影响。 2.1 资源增长模型 考虑某种鱼的种群的动态。在建立模型之前，做如下的基本假设： （i）鱼群的数量本身是离散变量，谈不到可微性。但是，由于突然增加或减少的 只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增长率是微小的。所以，可以近 似地假设鱼群的数量随时间连续地，甚至是可微地变化。 （ii）假设鱼群生活在一个稳定的环境中，即其增长率与时间无关。 （iii）种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果。 （iv）资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而且这一作用与鱼群 的数量是成正比的。 记时刻t 渔场中鱼量为 x(t) ，我们可以得到 x(t) 所满足的 Logistic 模型： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − 0 (0) ( ) (1 ) x N N x x& t rx （6） 其中 r 是固有增长率， N 是环境容许的最大鱼量。由分离变量法求得方程（6）解为 0 0 1 ( )/ ( ) e N N N N x t rt + − = − （6）式有两个平衡点，即 0 x1 = ， x2 = N ，其中 1 x 是不稳定的， 2 x 在正半轴内全局 稳定。 2.2 资源开发模型 建立一个在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的 前提下，讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。 设单位时间的捕捞量与渔场鱼量 x(t) 成正比，比例系数k 表示单位时间捕捞率，k 可以进一步分解分解为k = qE ，E 称为捕捞强度，用可以控制的参数如出海渔船数来 度量； q 称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率。为方便取 q = 1，于是单位时间的 捕捞量为 h(x) = Ex(t)。 h(x) = 常数，表示一个特定的捕捞策略，即要求捕鱼者每天 只能捕捞一定的数量。这样，捕捞情况下渔场鱼量满足方程 Ex N x x&(t) = rx(1− ) − （7） 这是一个一阶非线性方程，且是黎卡提型的。也称为 Scheafer 模型。 希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t 足够长以后渔场鱼量 x(t) 的 趋向，并且由此确定最大持续产量。在平衡点处有 = 0 dt dx ，方程（7）有两个平衡点 0 x1 = ， (1 ) 2 r E x = N − 。显然，它们均是方程的解。 在 E < r 的情况下， 2 x 是一正平衡点。（7）式可改写为 ( ) ( ) 2 x& t = −x x − x （8） 易知，当 2 0 < x < x 时， x&(t) > 0 ； 2 x > x 时， x&(t) < 0，即平衡解 1 x 是不稳定的，而 2 x 是稳定平衡解。即在捕捞强度 E < r 的情况下，渔场鱼量将稳定在 2 x 的水平，因此
产量(单位时间的捕捞量)也将稳定在Ex,的水平,即此时可获得持续收获量。 当然,当E>r时,x()<0,渔场鱼量将逐渐减少至x1=0,这时的捕捞其实是 竭泽而渔”,当然谈不上获得持续产量了。 如何才能做到渔资源在持续捕捞的条件下为我们提供最大的收益?从数学上说,就 是在x(1)=0或rx(1)1--)=Ex()的条件下极大化所期望的“收益”,这里的“收 益”可理解为产量h=Ex(1),则问题就可以数学地叙述为下述优化问题: hmax max Ex() 约束条件为r(X-x(D)-Ex(=0. E 这里它可以归结为E的二次函数h(E)=NE(1--)的最大值问题。简单的推导不 难得到最大持续捕捞强度为Em=2,最大持续产量为hm=4捕捞强度Em是 得到最大持续捕鱼量的策略。 23经济效益模型 当今,对鱼类资源的开发和利用已经成为人类经济活动的一部分。其目的不是追求 最大的渔产量而是最大的经济收益。因而一个自然的想法就是进一步分析经济学行为对 鱼类资源开发利用的影响。 如果经济效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量,并且简单地设鱼的 销售单价为常数p,单位捕捞强度(如每条出海渔船)的费用为常数c,那么单位时间 的收入T和支出S分别为 T=ph(x)=pEx, S=cE 单位时间的利润为 R=T-S=pEx-CE 利润是渔民所关注的焦点。因此在制定管理策略时所期望极大化的“收益”,这时 就应理解为经济利润或净收入而不是鱼的产量h。因而所讨论的问题就变成了在使鱼量 稳定在x=x2=N(1--)的约束条件下的R。即求 R(E)=pNE(--)-cE 的最大值。容易求出使R(E)达到最大的捕捞强度为 最大利润下的渔场稳定鱼量 N 22p 最大利润下渔场单位时间的持续产量为
-171- 产量（单位时间的捕捞量）也将稳定在 Ex2 的水平，即此时可获得持续收获量。 当然，当 E > r 时， x&(t) < 0，渔场鱼量将逐渐减少至 0 x1 = ，这时的捕捞其实是 “竭泽而渔”，当然谈不上获得持续产量了。 如何才能做到渔资源在持续捕捞的条件下为我们提供最大的收益？从数学上说，就 是在 x&(t) = 0 或 ) ( ) ( ) ( )(1 Ex t N x t rx t − = 的条件下极大化所期望的“收益”，这里的“收 益”可理解为产量h = Ex(t)，则问题就可以数学地叙述为下述优化问题： max ( ) max h = Ex t 约束条件为 ) ( ) 0 ( ) ( )(1− − Ex t = N x t rx t 。 这里它可以归结为 E 的二次函数 ( ) (1 ) r E h E = NE − 的最大值问题。简单的推导不 难得到最大持续捕捞强度为 2 max r E = ，最大持续产量为 4 max rN h = 。捕捞强度 Emax 是 得到最大持续捕鱼量的策略。 2.3 经济效益模型 当今，对鱼类资源的开发和利用已经成为人类经济活动的一部分。其目的不是追求 最大的渔产量而是最大的经济收益。因而一个自然的想法就是进一步分析经济学行为对 鱼类资源开发利用的影响。 如果经济效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量，并且简单地设鱼的 销售单价为常数 p ，单位捕捞强度（如每条出海渔船）的费用为常数c ，那么单位时间 的收入T 和支出 S 分别为 T = ph(x) = pEx ， S = cE 单位时间的利润为 R = T − S = pEx − cE 利润是渔民所关注的焦点。因此在制定管理策略时所期望极大化的“收益”，这时 就应理解为经济利润或净收入而不是鱼的产量h 。因而所讨论的问题就变成了在使鱼量 稳定在 (1 ) 2 r E x = x = N − 的约束条件下的 Rmax 。即求 cE r E R(E) = pNE(1− ) − 的最大值。容易求出使 R(E) 达到最大的捕捞强度为 (1 ) 2 max pN r c E = − 最大利润下的渔场稳定鱼量 p N c x 2 2 max = + 最大利润下渔场单位时间的持续产量为 (1 ) 4 (1 ) 2 2 2 max max max p N rN c N x h = rx − = −