第二十二章模糊数学模型 §1模糊数学的基本概念 1.1模糊数学简介 1965年,美国著名计算机与控制专家査德( LAZadeh)教授提出了模糊的概念,并 在国际期刊《 Information and contro》并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文 “ Fuzzy Sets”(模糊集合),开创了模糊数学的新领域。 模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子 与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中,也有 这种模糊的现象,如选举一个好干部,但怎样才算一个好干部?好干部与不好干部之间 没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述 模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科,它 是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之 后,迅猛的发展起来了,而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、 农、医及社会科学的各个领域,充分的表现了它强大的生命力和渗透力 统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域,即从必然 现象到偶然现象,而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域,即 从精确现象到模糊现象。 实际中,我们处理现实的数学模型可以分成三大类:第一类是确定性数学模型,即 模型的背景具有确定性,对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型,即模 型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型,即模型的背景及关系具有模糊性。 12基本概念 12.1模糊集和隶属函数 定义1论域x到[O闭区间上的任意映射 [0,1
-257- 第二十二章 模糊数学模型 §1 模糊数学的基本概念 1.1 模糊数学简介 1965 年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并 在国际期刊《Information and Control》并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文 “Fuzzy Sets”(模糊集合)，开创了模糊数学的新领域。 模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子 与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有 这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间 没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。 模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科，它 是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之 后，迅猛的发展起来了，而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、 农、医及社会科学的各个领域，充分的表现了它强大的生命力和渗透力。 统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然 现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即 从精确现象到模糊现象。 实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类：第一类是确定性数学模型，即 模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型，即模 型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。 1.2 基本概念 1.2.1 模糊集和隶属函数 定义 1 论域 X 到[0,1]闭区间上的任意映射 μ A ： X → [0,1]
x→>pA(x) 都确定X上的一个模糊集合A,μ4叫做A的隶属函数,H4(x)叫做x对模糊集A的 隶属度,记为 A={(x,H4(x)|x∈X} 使μA(x)=0.5的点x称为模糊集A的过渡点,此点最具模糊性 显然,模糊集合A完全由隶属函数4来刻画,当/A(x)={0,1时,A退化为 个普通集。 122模糊集合的表示方法 当论域X为有限集时,记X={x1,x2,…,xn},则X上的模糊集A有下列三种常 见的表示形式。 i) zadeh表示法 当论域X为有限集时,记X={x1,x2,…,xn},则X上的模糊集A可以写成 4()H4(x1),pA(x2) 4(xn) x 注:“∑”和“+”不是求和的意思,只是概括集合诸元的记号;44(x)不是 分数,它表示点x对模糊集A的隶属度是44(x)。 i)序偶表示法 A={(x1,HA(x1),(x2,4(x2)2…,(xn244(x)} i)向量表示法 A=(4(x1),pA(x2)…,H4(xn) 当论域X为无限集时,X上的模糊集A可以写成
-258- x (x) → μ A 都确定 X 上的一个模糊集合 A ， μ A 叫做 A 的隶属函数， (x) μ A 叫做 x 对模糊集 A 的 隶属度，记为： A {(x, (x))| x X} = μ A ∈ 使 (x) = 0.5 μ A 的点 0 x 称为模糊集 A 的过渡点，此点最具模糊性。 显然，模糊集合 A 完全由隶属函数 μ A 来刻画，当 (x) = {0,1} μ A 时， A 退化为一 个普通集。 1.2.2 模糊集合的表示方法 当论域 X 为有限集时，记 { , , , } 1 2 n X = x x L x ，则 X 上的模糊集 A 有下列三种常 见的表示形式。 i) zadeh 表示法 当论域 X 为有限集时，记 { , , , } 1 2 n X = x x L x ，则 X 上的模糊集 A 可以写成 n A A A n n i i A x x x x x x x i A ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 μ μ μ μ = ∑ = + + + = L 注：“∑ ”和“+”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号；“ i A i x μ (x ) ”不是 分数，它表示点 i x 对模糊集 A 的隶属度是 ( ) A i μ x 。 ii) 序偶表示法 {( , ( )),( , ( )), ,( , ( ))} 1 A 1 2 A 2 n A n A = x μ x x μ x L x μ x iii) 向量表示法 ( ( ), ( ), , ( )) A 1 A 2 A n A = μ x μ x L μ x 当论域 X 为无限集时， X 上的模糊集 A 可以写成
4(x) 注:“”也不是表示积分的意思,“2(x)”也不是分数 例1设论域X={x1(140),x2(150),x2(160),x4(170),x3(180),x6(190)}(单位 cm)表示人的身高,X上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数4(x)可定义为 4(x)= 用〓adah表示法, 00.2040.60.8 A x 用向量表示法, A=(0,0.20406,0.8,1) 例2设论域X=[0,1,Fuzy集A表示“年老”,B表示“年轻”, Zadeh给出A B的隶属度函数分别为 0≤x≤50 A(x) 0≤x≤25 B(x A(70)≈0.94,即“70岁”属于“年老”的程度为0.94。又易知A(60)≈0.8, B(60)≈0.02,可认为“60岁”是“较老的” [+(
-259- ∫ ∈ = x X A x x A μ ( ) 注：“ ∫ ”也不是表示积分的意思，“ i A i x μ (x ) ”也不是分数。 例 1 设论域 { (140), (150), (160), (170), (180), (190)} 1 2 3 4 5 6 X = x x x x x x (单位: cm)表示人的身高， X 上的一个模糊集“高个子”( A )的隶属函数 (x) μ A 可定义为 190 140 140 ( ) − − = x x μ A 用 zadeh 表示法， 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x x x x x x A = + + + + + 用向量表示法， A = (0,0.2,0.4,0.6,0.8,1) 例 2 设论域 X = [0,1]，Fuzzy 集 A 表示“年老”，B 表示“年轻”，Zadeh 给出 A 、 B 的隶属度函数分别为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ − + ≤ ≤ = − − ) ] 50 100 5 50 [1 ( 0 0 50 ( ) 2 1 x x x A x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − + ≤ ≤ = − ) ] 25 100 5 25 [1 ( 1 0 25 ( ) 2 1 x x x B x A(70) ≈ 0.94 ，即“70 岁”属于“年老”的程度为 0.94。又易知 A(60) ≈ 0.8 ， B(60) ≈ 0.02 ，可认为“60 岁”是“较老的”。 A ＝“年老”＝ ∫ − − − + 100 50 2 1 ) ] 5 50 [1 ( x x
+(--)2 B=“年轻 12.3模糊集的运算 常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义Fuy集之间的运算 定义2对于论域X上的模糊集A,B,其隶属函数分别为44(x),B(x)。 i)若对任意x∈X,有2(x)≤4(x),则称A包含B,记为BcA i)若AcB且BcA,则称A与B相等,记为A=B。 定义3对于论域X上的模糊集A,B, i)称Fuz集C=扎UB,D=A∩B为A与B的并( union)和交( intersection), C=(AUB(x)=maxA(x), B(x))=A(x)vb(x) D=(A∩B(x)=min{4(x),B(x)}=A(x)∧B(x) 他们相应的隶属度C(x),HD(x)被定义为 uc(x)=max,(x),uB(x) up(x)=minu,(x),uB(x)) i)Fuzy集AC为A的补集或余集( (complement),其隶属度 (x)=1-HA( 例3已知 X={1,234,56,7,83}, 0.30.50.8040.1 A 0.20.30.90.5 则有 260-
-260- B ＝“年轻”＝ ∫ ∫ − − + + 100 25 2 1 25 0 ) ] 5 25 [1 ( 1 x x x 1.2.3 模糊集的运算 常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义 Fuzzy 集之间的运算。 定义 2 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ，其隶属函数分别为 (x) μ A ， (x) μ B 。 i) 若对任意 x∈ X ，有 (x) (x) μ B ≤ μ A ，则称 A 包含 B ，记为 B ⊆ A ； ii) 若 A ⊆ B 且 B ⊆ A ，则称 A 与 B 相等，记为 A = B 。 定义 3 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ， i) 称 Fuzzy 集C = AU B ，D = AI B 为 A 与 B 的并（union）和交（intersection）， 即 C = (AU B)(x) = max{A(x),B(x)} = A(x) ∨ B(x) D = (AI B(x) = min{A(x),B(x)} = A(x) ∧ B(x) 他们相应的隶属度 (x), (x) μ C μ D 被定义为 (x) max{ (x), (x)} μ C = μ A μ B (x) min{ (x), (x)} μ D = μ A μ B ii) Fuzzy 集 C A 为 A 的补集或余集(complement)，其隶属度 (x) 1 (x) μ AC = − μ A 例 3 已知 X = {1,2,3,4,5,6,7,8,}， 5 0.1 4 0.4 3 0.8 2 0.5 1 0.3 A = + + + + ， 6 0.5 5 0.9 4 0.3 3 0.2 B = + + + ， 则有
AUB 0.30.50.8040.90.5 123456 0.20.30.1 ∩ 0.70.50.20.60.9 124隶属函数的确定方法 模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建 立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这 里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。 (1)模糊统计方法 模糊统计方法是一种客观方法,主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客 观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素 i)论域X i)X中的一个固定元素x i)X中一个随机变动的几何A(普通集) iv)X中一个以A作为弹性边界的模糊集A,对A的变动起着制约作用。其中 x∈A",或者xgA,致使x对A的关系是不确定的。 假设做n次模糊统计试验,则可计算出 x0对A的隶属频率= x∈A的次数 实际上,当n不断增大时,隶属频率趋于稳定,其频率的稳定值称为x对A的隶属度 ∈A的次数 u,(xo)=lim (2)指派方法 261
-261- AU B ＝ 6 0.5 5 0.9 4 0.4 3 0.8 2 0.5 1 0.3 + + + + + ， AI B ＝ 5 0.1 4 0.3 3 0.2 + + ， = C A 8 1 7 1 6 1 5 0.9 4 0.6 3 0.2 2 0.5 1 0.7 + + + + + + + 。 1.2.4 隶属函数的确定方法 模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建 立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这 里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。 （1）模糊统计方法 模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客 观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素： i) 论域 X ； ii) X 中的一个固定元素 0 x ； iii) X 中一个随机变动的几何 * A (普通集)； iv) X 中一个以 * A 作为弹性边界的模糊集 A ，对 * A 的变动起着制约作用。其中 * x0 ∈ A ，或者 * x0 ∉ A ，致使 0 x 对 A 的关系是不确定的。 假设做n 次模糊统计试验，则可计算出 0 x 对 A 的隶属频率＝ n x0 ∈ A* 的次数 实际上，当 n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为 0 x 对 A 的隶属度， 即 ( )0 x μ A ＝ n x A n 0 * 的次数 lim ∈ →∞ （2）指派方法