第十六章差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广,可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差 分方程作一简单的介绍,下一章我们将介绍马氏链模型。 §1差分方程 1差分方程简介 规定t只取非负整数。记y为变量y在点的取值,则称Ay1=y1+1-y1为y的 阶向前差分,简称差分,称Ay2=△(Ay)=Ay-Ay1=y1+2-2ym+y,为y的二 阶差分。类似地,可以定义y2的n阶差分△"y。 由t、y,及y的差分给出的方程称为y的差分方程,其中含y2的最高阶差分的阶 数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如,二阶差分方程 Δy+Ay2+y2=0也可改写成y+2-y1+1+y1=0。 满足一差分方程的序列y称为差分方程的解。类似于微分方程情况,若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时,称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数,则称此解为满足某些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 aoynt +a,yn-+.+a,y =b(t) (1) 为n阶常系数线性差分方程,其中a02a12…,an是常数,a0≠0。其对应的齐次方程为 aoyn+t +a,yn-1+.+a,y=0 (2) 容易证明,若序列y与y2)均为(2)的解,则y1=c1y+c2y2)也是方程(2)的 解,其中c1c2为任意常数。若y是方程(2)的解,y2是方程(1)的解,则 y=y+y2)也是方程(1)的解。 方程(1)可用如下的代数方法求其通解 (I)先求解对应的特征方程 +a,-1+ (Ⅱ)根据特征根的不同情况,求齐次方程(2)的通解。 (i)若特征方程(3)有n个互不相同的实根A1,…,,则齐次方程(2)的通解 为 c14+…+Cnn(C1,…,Cn为任意常数) (i)若是特征方程(3)的k重根,通解中对应于的项为(1+…+c41-)x c(i=1,…,k)为任意常数 (ⅲ)若特征方程(3)有单重复根λ=a±B,通解中对应它们的项为 p r+ c,p sin pr,其中p={a2+p2为的模,=acg为的幅角 (i)若=a土是特征方程(3)的k重复根,则通解对应于它们的项为 (1+…+4t-)p'coso+(ck+…+c21*-)p'sint
-192- 第十六章 差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差 分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。 §1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数。记 t y 为变量 y 在t 点的取值，则称 t t t Δy = y − y +1 为 t y 的一 阶向前差分，简称差分，称 t t t t t t t Δ y = Δ Δy = Δy − Δy = y − y + y +1 +2 +1 2 ( ) 2 为 t y 的二 阶差分。类似地，可以定义 t y 的n 阶差分 t n Δ y 。 由 t t、y 及 t y 的差分给出的方程称为 t y 的差分方程，其中含 t y 的最高阶差分的阶 数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 0 2 Δ yt + Δyt + yt = 也可改写成 yt+2 − yt+1 + yt = 0。 满足一差分方程的序列 t y 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 ( ) 0 1 1 a y a y a y b t n+t + n+t− +L+ n t = （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中a a an , , , 0 1 L 是常数，a0 ≠ 0。其对应的齐次方程为 a0 yn+t + a1 yn+t−1 +L+ an yt = 0 （2） 容易证明，若序列 (1) t y 与 (2) t y 均为（2）的解，则 (2) 2 (1) t 1 t t y = c y + c y 也是方程（2）的 解，其中 1 2 c , c 为任意常数。若 (1) t y 是方程（2）的解， (2) t y 是方程（1）的解，则 (1) (2) t t t y = y + y 也是方程（1）的解。 方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I）先求解对应的特征方程 0 0 1 0 + 1 + + = − a a a λ n λ n L （3） （II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。 （i）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根λ λn , , 1 L ，则齐次方程（2）的通解 为 t n n t c1λ1 +L+ c λ （ n c , ,c 1 L 为任意常数） （ii）若λ 是特征方程（3）的k 重根，通解中对应于λ 的项为 k t k (c c t )λ 1 1 − +L+ ， c (i 1, ,k) i = L 为任意常数。 （iii）若特征方程（3）有单重复根 λ = α ± βi ，通解中对应它们的项为 c t c t t t 1ρ cosϕ + 2ρ sinϕ ，其中 2 2 ρ = α + β 为λ 的模， α β ϕ = arctg 为λ 的幅角。 （iv）若λ = α ± βi 是特征方程（3）的k 重复根，则通解对应于它们的项为 c c t t c c t t k t k k k t ( k )ρ cosϕ ( )ρ sinϕ 1 1 2 1 1 − + − +L+ + +L+
(i=1,…,2k)为任意常数。 (I)求非齐次方程(1)的一个特解。若y1为方程(2)的通解,则非齐次方 程(1)的通解为+y。 求非齐次方程(1)的特解一般要用到常数变易法,计算较繁。对特殊形式的b(1) 也可使用待定系数法。例如,当b(1)=bP4(1),P4()为t的k次多项式时可以证明: 若b不是特征根,则非齐次方程(1)有形如bq(01)的特解,q1(1)也是t的k次多项 式;若b是r重特征根,则方程(1)有形如brq;(1)的特解。进而可利用待定系数法 求出q(),从而得到方程(1)的一个特解y。 例1求解两阶差分方程y+2+y1=1。 解对应齐次方程的特征方程为22+1=0,其特征根为A12=土,对应齐次方程 的通解为 y,=C cos-[+C? sin-I 原方程有形如a+b的特解。代入原方程求得a=1,b=-1,故原方程的通解 为 C, cos--I+C, sin-t+-t-- 2 例2在信道上传输仅用三个字母a,b,c且长度为n的词,规定有两个a连续出现 的词不能传输,试确定这个信道容许传输的词的个数。 解令h(n)表示容许传输且长度为n的词的个数,n=1,2,…,通过简单计算可 求得:h(1)=3,h(2)=8。当n≥3时,若词的第一个字母是b或c,则词可按h(n-1) 种方式完成;若词的第一个字母是a,则第二个字母是b或c,该词剩下的部分可按 h(n-2)种方式完成。于是,得差分方程 h(m)=2h(n-1)+2h(n-2),(n=3,4,…) 其特征方程为 特征根 1=1+√3,42=1-3 则通解为 h(m)=c(1+3)+c2(1-√3)”,(n=3,4…) 利用条件h(1)=3,h(2)=8,求得 2+√3 h(n) (1-√3)”,(n=12…) 在应用差分方程研究问题时,我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性 差分方程(1),若不论其对应齐次方程的通解中任意常数c1…,Cn如何取值,在t→>+∞ 时总有y,→>0,则称方程(1)的解是稳定的。根据通解的结构不难看出,非齐次方
-193- c (i 1, ,2k) i = L 为任意常数。 （III）求非齐次方程（1）的一个特解 t y 。若 t y 为方程（2）的通解，则非齐次方 程（1）的通解为 t t y + y 。 求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的b(t) 也可使用待定系数法。例如，当b(t) b p (t) k t = ， p (t) k 为t 的k 次多项式时可以证明： 若b 不是特征根，则非齐次方程（1）有形如b q (t) k t 的特解， q (t) k 也是t 的 k 次多项 式；若b 是 r 重特征根，则方程（1）有形如b t q (t) k t r 的特解。进而可利用待定系数法 求出 q (t) k ，从而得到方程（1）的一个特解 t y 。 例 1 求解两阶差分方程 y y t t+2 + t = 。 解 对应齐次方程的特征方程为 1 0 2 λ + = ，其特征根为 = ±i λ1,2 ，对应齐次方程 的通解为 y c t c t t 2 sin 2 cos 1 2 π π = + 原方程有形如 at + b的特解。代入原方程求得 2 1 a = ， 2 1 b = − ，故原方程的通解 为 2 1 2 1 2 sin 2 cos c1 t + c2 t + t − π π 例 2 在信道上传输仅用三个字母a,b,c 且长度为n 的词，规定有两个a 连续出现 的词不能传输，试确定这个信道容许传输的词的个数。 解 令 h(n) 表示容许传输且长度为 n 的词的个数， n = 1,2,L，通过简单计算可 求得：h(1) = 3，h(2) = 8。当n ≥ 3 时，若词的第一个字母是b 或c, 则词可按h(n −1) 种方式完成；若词的第一个字母是 a ，则第二个字母是b 或 c ，该词剩下的部分可按 h(n − 2) 种方式完成。于是，得差分方程 h(n) = 2h(n −1) + 2h(n − 2)，(n = 3,4,L) 其特征方程为 2 2 0 2 λ − λ − = 特征根 1 3 λ1 = + ， 1 3 λ2 = − 则通解为 n n h(n) c (1 3) c (1 3) = 1 + + 2 − ，(n = 3,4,L) 利用条件h(1) = 3，h(2) = 8，求得 n n h n (1 3) 2 3 2 3 (1 3) 2 3 2 3 ( ) − − + + + + = ，(n = 1,2,L) 在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性 差分方程（1），若不论其对应齐次方程的通解中任意常数 n c , ,c 1 L 如何取值，在t → +∞ 时总有 yt → 0 ，则称方程（1）的解是稳定的。根据通解的结构不难看出，非齐次方
程(1)稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1 2常系数线性差分方程的Z变换解法 常系数线性差分方程采用解析解法比较容易,而且对其解的意义也容易理解,但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐,通常是采用Z变换,将差分方 程变换为代数方程去求解。 设有离散序列x(k),(k=0,1,2,…),则x(k)的Z变换定义为 X()=Zx(k)=∑x(k) (4) 其中二是复变量。显然上式右端的级数收敛域是某个圆的外部 X(二)的Z反变换记作 (k)=Z IX(I 121几个常用离散函数的Z变换 (i)单位冲激函数(k)的Z变换 Z[6(k=∑6(k)-=[1×-1k=0=1 即单位冲激函数的Z变换为1 (i)单位阶跃函数U/(k)的Z变换 ZU(k=∑U(k)k=∑1×x 即 z[U(k)]=-(二卜1) (ⅲ)单边指数函数f(k)=a4的Z变换(a为不等于1的正常数) ∑ (|=卜 122Z变换的性质 (i)线性性质 设Z[f(k)=F1(=),Z[2(k)=F2(),则 Z[a1(k)+b/2(k)=aF1(二)+bF2(=) 其中a,b为常数。收敛域为F1(z)和F2()的公共区域 (i)平移性 设Z[f(k)=F(=),则 Z[f(k+1)=-{[F(=)-f(0), Z(k+N)==[F()-∑f(k)2], Z[f(k-1)==-[F()+f(-1)z], Z(k-N)=F()+∑f(-k)2 例3求齐次差分方程
-194- 程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。 1.2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法 常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。 设有离散序列 x(k) ，(k = 0,1,2,L) ，则 x(k) 的 Z 变换定义为 ∑ ∞ = − = = 0 ( ) [ ( )] ( ) k k X z Z x k x k z （4） 其中 z 是复变量。显然上式右端的级数收敛域是某个圆的外部。 X (z)的 Z 反变换记作 ( ) [ ( )] 1 x k Z X z − = 1.2.1 几个常用离散函数的 Z 变换 （i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换 ∑ ∞ = = − − = = × = 0 [ ( )] ( ) [1 ] 0 1 k k k k Z δ k δ k z z 即单位冲激函数的 Z 变换为 1。 （ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换 ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − = = × 0 0 [ ( )] ( ) 1 k k k k Z U k U k z z ， 即 (| | 1) 1 [ ( )] > − = z z z Z U k （iii）单边指数函数 k f (k) = a 的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数） ∑ ∞ = − > − = = 0 [ ] (| | ) k k k k z a z a z Z a a z 1.2.2 Z 变换的性质 （i）线性性质 设 [ ( )] ( ) 1 1 Z f k = F z ， [ ( )] ( ) 2 2 Z f k = F z ，则 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 1 2 Z af k + bf k = aF z + bF z 其中a,b 为常数。收敛域为 ( ) 1 F z 和 ( ) 2 F z 的公共区域。 （ii）平移性 设 Z[ f (k)] = F(z) ，则 Z[ f (k +1)] = z[F(z) − f (0)]， [ ( )] [ ( ) ( ) ] 1 0 ∑ − = − + = − N k N k Z f k N z F z f k z ， [ ( 1)] [ ( ) ( 1) ] 1 Z f k − = z F z + f − z − ， [ ( )] [ ( ) ( ) ] 1 1 ∑ − = − − = + − N k N k Z f k N z F z f k z 例 3 求齐次差分方程
x(k+2)+3x(k+1)+2x(k)=0,x(0)=0,x(1)=1 的解。 解令Z[x(k)=X(=),对差分方程取Z变换,得 z2X()-z+3xX(z)+2X(z)=0, 2 X(=) +3z+22+12+2 对上式取〓反变换,便得差分方程的解为 x(k)=(-1)4-(-2) §2蛛网模型 2.1问题提出 在自由竞争的社会中,很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中,可以从自 由集市上某种商品的价格变化看到如下现象:在某一时期,商品的上市量大于需求,引 起价格下跌,生产者觉得该商品无利可图,转而经营其它商品:一段时间之后,随着产 量的下降,带来的供不应求又会导致价格上升,又有很多生产商会进行该商品的生产 随之而来的,又会出现商品过剩,价格下降。在没有外界干扰的情况下,这种现象将会 反复出现。 如何从数学的角度来描述上述现象呢? 22模型假设 (i)设k时段商品数量为xk,其价格为yk。这里,把时间离散化为时段,一个时 期相当于商品的一个生产周期。 (i)同一时段的商品的价格取决于该时段商品的数量,把 y,=f(n) 为需求函数。出于对自由经济的理解,商品的数量越多,其价格就越低,故可以假 需求函数为一个单调下降函数。 (ⅲi)下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定,把 xu=g() (6) 称之为供应函数。由于价格越高可以导致产量越大,故可假设供应函数是一个单调上升 的函数 23模型求解 在同一个坐标系中做出需求函数与供应函数的图形,设两条曲线相交于 P(x0,y),则B为平衡点因为此时x=g(y),y=f(x),若某个k,有xk=x0, 则可推出 y1=y0,x1=x,(=k,k+1,…) 即商品的数量保持在x0,价格保持在ya,不妨设x1≠x,下面考虑xk,yk在图上的变 化(k=1,2,…)。如下图所示,当x1给定后,价格y由∫上的
-195- x(k + 2) + 3x(k +1) + 2x(k) = 0， x(0) = 0 ， x(1) = 1 的解。 解 令 Z[x(k)] = X (z) ，对差分方程取 Z 变换，得 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 2 z X z − z + zX z + X z = ， 3 2 1 2 ( ) 2 + − + = + + = z z z z z z z X z ， 对上式取 z 反变换，便得差分方程的解为 k k x(k) = (−1) − (−2) 。 §2 蛛网模型 2.1 问题提出 在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自 由集市上某种商品的价格变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引 起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品；一段时间之后，随着产 量的下降，带来的供不应求又会导致价格上升，又有很多生产商会进行该商品的生产； 随之而来的，又会出现商品过剩，价格下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将会 反复出现。 如何从数学的角度来描述上述现象呢？ 2.2 模型假设 （i）设k 时段商品数量为 k x ，其价格为 k y 。这里，把时间离散化为时段，一个时 期相当于商品的一个生产周期。 （ii）同一时段的商品的价格取决于该时段商品的数量，把 ( ) k k y = f x （5） 称之为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其价格就越低，故可以假 设：需求函数为一个单调下降函数。 （iii）下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定，把 ( ) k 1 k x = g y + （6） 称之为供应函数。由于价格越高可以导致产量越大，故可假设供应函数是一个单调上升 的函数。 2.3 模型求解 在同一个坐标系中做出需求函数与供应函数的图形，设两条曲线相交于 ( , ) 0 0 0 P x y ，则 P0 为平衡点。因为此时 ( ) 0 0 x = g y ， ( ) 0 0 y = f x ，若某个k ，有 0 x x k = ， 则可推出 0 y y l = ， 0 x x l = ，(l = k,k +1,L) 即商品的数量保持在 0 x ，价格保持在 0 y ，不妨设 1 0 x ≠ x ，下面考虑 k k x , y 在图上的变 化(k = 1,2,L) 。如下图所示，当 1 x 给定后，价格 1 y 由 f 上的 P1
点决定,下一时段的数量x2由g上的P点决定,y2又可由∫上的B点决定。依此类 推,可得一系列的点P(x1,y1),P2(x2,y1),P(x2y2),P4(x3y2),图上的箭头 表示求出P的次序,由图知 lim P(x, y)=P(xo, yo) 即市场经济将趋于稳定 并不是所有的需求函数和供应函数都趋于稳定,若给定的∫与g的图形如下图所 示,得出的P3P,…就不趋于P,此时,市场经济趋向不稳定。 上两图中的折线P2,P2P3P3P…形似蛛网,故把这种模型称为蛛网模型。在进 行市场经济分析中,∫取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平,g取决于 生产者的生产、管理等能力。 当已经知道需求函数和供应函数之后,可以根据∫和g的性质判断平衡点P的稳 定性。利用结论:当|x1-x0|较小时,B点的稳定性取决于∫与g在P点的斜率,即 If(oklo(yo) 时,B点稳定,当 f(x0)||g'(y0) (8) 时,B点不稳定。 这一结论的直观解释是:需求曲线越平,供应曲线越陡,越有利于经济稳定 设a=f(x),=g(y0),在P点附近取∫与g的线性近似,由(5),(6) 式得 196-
-196- 点决定，下一时段的数量 2 x 由 g 上的 P2 点决定， 2 y 又可由 f 上的 P3 点决定。依此类 推，可得一系列的点 ( , ) 1 1 1 P x y ， ( , ) 2 2 1 P x y ， ( , ) 3 2 2 P x y ， ( , ) 4 3 2 P x y ，图上的箭头 表示求出 Pk 的次序，由图知： lim ( , ) ( , ) 0 0 0 P x y P x y k k = →+∞ ， 即市场经济将趋于稳定。 并不是所有的需求函数和供应函数都趋于稳定，若给定的 f 与 g 的图形如下图所 示，得出的 P1,P2 ,L就不趋于 P0 ，此时，市场经济趋向不稳定。 上两图中的折线 P1P2 ,P2P3 ,P3P4 ,L形似蛛网，故把这种模型称为蛛网模型。在进 行市场经济分析中， f 取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平， g 取决于 生产者的生产、管理等能力。 当已经知道需求函数和供应函数之后，可以根据 f 和 g 的性质判断平衡点 P0 的稳 定性。利用结论：当| | 1 0 x − x 较小时，P0 点的稳定性取决于 f 与 g 在 P0 点的斜率，即 当 | '( ) | | '( ) | 0 0 f x < g y （7） 时， P0 点稳定，当 | '( ) | | '( ) | 0 0 f x > g y （8） 时， P0 点不稳定。 这一结论的直观解释是：需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。 设 | '( ) | 0 α = f x ， | '( ) | 1 0 = g y β ，在 P0 点附近取 f 与 g 的线性近似，由（5），（6） 式得