说明: (1)定义中P→P的方式是任意的; (2)二元函数的极限也叫二重极限 (3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似
说明： （1）定义中 P → P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例10验证m im (x+y)sin 0 (x,y)->(0,0) x-+
例 10 验证 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim ( )sin 0 x y x y → x y + = +
例11求极限 (x2y) (x,y)->(0,0) 解 sin(x y (xy)00)x2+y sin(x x-+ u=x y 其中 lim sIn(x sin u (x,y)->(0,0) x y →>01 x y 0 →>0 ty .lim sin(x y)=0 (x,y)-)(0,0)x2+
例11 求极限 2 2 2 ( , ) (0,0) sin( ) lim . x y x y → x y + 解 2 2 2 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y → x y + 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) sin( ) lim , x y x y x y → x y x y = + 其中 2 2 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y → x y 0 sin lim u u → u = 1, 2 2 2 x y x y + 1 2 x 0 0, ⎯⎯⎯→ x→ 2 2 2 ( , ) (0,0) sin( ) lim 0. x y x y → x y = + u x y 2 =
例12证明lim 不存在 (x,y)->(0.0 6 x+ 证取1=13 lin m lim (x,y)-(0.0)x+y x>0x5+k2x61+k 其值随k的不同而变化, 故极限不存在
例12 证明 不存在． 证 3 6 2 ( , ) (0,0) lim x y x y → x y + 取 3 y kx = , 3 6 2 ( , ) (0,0) lim x y x y → x y + 3 3 3 6 2 6 0 lim x y kx x kx → x k x = = + 2 , 1 k k = + 其值随k的不同而变化， 故极限不存在．
确定极限不存在的方法 找两种不同趋近方式使二重极限存在但两 者不相等; 口令p(x2)沿某一定曲线趋向(x0)时极 限不存在
确定极限不存在的方法: ◼ 找两种不同趋近方式,使二重极限存在,但两 者不相等; ◼ 令p(x,y)沿某一定曲线趋向于 时,极 限不存在. 0 0 0 p x y ( , )