第十章多元函数微分学 第一节多元函数的极限及连续性 第二节偏导数 第三节全微分 第四节多元复合函数微分法 第五节多元函数的极值
第十章 多元函数微分学 第一节 多元函数的极限及连续性 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数微分法 第五节 多元函数的极值
第一节多元函数的极限及连续 性 、多元函数 二、二元函数的极限与连续性
第一节 多元函数的极限及连续 性 一、多元函数 二、二元函数的极限与连续性
第一节多元函数的极限及连续性 、多元函数 1实例分析 例1设矩形的边长分别x和y,则矩形的面 积S为S=xy 在此,当x和y每取定一组值时,就有一确定的面 积值S.即S依赖于x和y的变化而变化 例2具有一定质量的理想气体,其体积为V,压强 为P,热力学温度T之间具有下面依赖关系P RT (R 是常数) 在这一问题中有三个变量P,V,T,当V和T每取 定为一组值时,按照上面的关系,就有一确定的压强P
1.实例分析 例 1 设矩形的边长分别 x 和 y ，则矩形的面 积 S为 S = xy . 在此，当 x和 y 每取定一组值时，就有一确定的面 积值S ．即S 依赖于 x和 y 的变化而变化． 例 2 具有一定质量的理想气体，其体积为 V，压强 为 P，热力学温度 T 之间具有下面依赖关系 V RT P = （R 是常数）. 在这一问题中有三个变量 P，V，T，当 V 和 T 每取 定为一组值时，按照上面的关系，就有一确定的压强 P． 第一节 多元函数的极限及连续性 一、多元函数
1.二元函数的定义 定义1(二元函数)设有三个变量x,y和,如果 当变量x,y在它们的变化范围D中任意取定一对值时, 变量z按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们 对应,则称二为变量x,y的二元函数,记为2=f(x,y), 其中x与ν称为自变量,函数z也叫因变量.自变量 x与y的变化范围D称为函数z的定义域 区域的概念:由一条或几条光滑曲线所围成的具有连 通性(如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部 分平面的折线连结起来,这样的部分平面称为具有连通性) 的部分平面,这样的部分平面称为区域.围成区域的曲线 称为区域的边界,边界上的点称为边界点,包括边界在内 的区域称为闭域,不包括边界在内的区域称为开域
１．二元函数的定义 定义 1 (二元函数) 设有三个变量 x y, 和z, 如果 当变量 x y, 在它们的变化范围 D 中任意取定一对值时， 变量 z 按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们 对应，则称 z 为变量 x y, 的二元函数，记为z = f (x, y) ， 其中 x与 y 称为自变量，函数 z 也叫因变量．自变量 x与 y 的变化范围 D 称为函数 z 的定义域． 区域的概念：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连 通性(如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部 分平面的折线连结起来，这样的部分平面称为具有连通性) 的部分平面，这样的部分平面称为区域．围成区域的曲线 称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内 的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域．
如果一个区域D内任意两点之间的距离都不超过某 常数M,则称D为有界区域,否则称D为无界区域 常见区域有矩形域:a<x<b,c<y<d, 圆域:(x-x)2+(y-y0)2<6(6>0 圆域{x,y)|(x-x)2+(y-x)2<62)一般称为平面 上点B(x23y0)的δ邻域,而称不包含点P0的邻域为无 邻域 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域.二元函数定义域的求法与一元函 数类似,就是找使函数有意义的自变量的范围,其定义 域的图形一般由平面曲线围成
如果一个区域D 内任意两点之间的距离都不超过某 一常数M ，则称D 为有界区域，否则称D 为无界区域． 常见区域有矩形域：a x b,c y d , 圆域:( ) ( ) ( 0). 2 2 0 2 x − x0 + y − y 圆域 2 2 0 2 0 (x, y)| (x − x ) + ( y − y ) 一般称为平面 上点 ( , ) 0 0 0 P x y 的 邻域，而称不包含点 P0的邻域为无 心邻域． 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函 数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义 域的图形一般由平面曲线围成．