aT2Z(qj=2Taq,j=1其中：欧拉齐次函数定理2aTZ(a)oj=lavaT.=0=0aqjaqj则式③为：2T2+Ti-（T2+T+To-V）=常量即：T2-T,+V=常量，为广义能量积分对定常系统，T,=To=O，T-T2，则T,+V=常量，为能量积分
其中： 2 1 2 ( ) 2T q T q k j j j = = 1 1 1 ( ) T q T q k j j j = = 欧拉齐次函数定理 0 0 qj T 0 qj V 则式③为：2T2+T1 -（T2+T1+T0 -V）=常量 即：T2 -T0+V=常量，为广义能量积分 对定常系统，T1 =T0=0，T=T2，则T2+V=常量，为能量积分
例12半径为R的匀质空心圆柱内壁足够粗糙，可绕中心水平轴O转动，绕其转动惯量为Jo，另一半径为r、质量为m的匀质圆球C沿其内壁作纯滚动。试写出系统的运动微分方程。mv2+T解：2222mrVc =(R-r)p零势位O50以球与圆柱的接触点为基点研究球心，有D(R-r)p = R+ormg(R-r)p-OR得：0=r217m(R-r)Rpo= T,52 55
例12 半径为R的匀质空心圆柱内壁足够粗糙，可绕中心水 平轴O转动，绕其转动惯量为JO，另一半径为r、质量为m 的匀质圆球C沿其内壁作纯滚动。试写出系统的运动微分 方程。 O C q j mg 解： 2 5 2 J mr v (R r)j C = C = − R r R r − j = q + O ( ) 2 2 2 2 ( ) 5 2 ( ) 5 7 2 1 ) 5 2 ( 2 1 T = JO + m R q + m R − r j − m R − r Rjq = T 2 2 2 2 1 2 1 2 1 O C C O T = J q + mv + J 以球与圆柱的接触点为基点研究球心，有 r R r R O j q − − = ( ) 得： 零势位
V =-mg(R-r)cos@因为L=T-V = L(@,@,0)循环坐标，有aL22C+m(R-r)Rp=Cma035又L中不显含时间t，且T=T2，存在能量积分，由T,+V=C2保守系统21 7m(R-r)o即:(Jo +=mR22 5252m(R-r)Rpo-mg(R-r)cos@= 0-5积分常数C、C,由系统运动的初始状态决定
V = −mg(R − r) cosj T2 +V =C2 (j,j,q) 因为 L = T −V = L 1 2 ( ) 5 2 ) 3 2 (J m r m R r R C L = + − − = q j q q为循环坐标，有 又L中不显含时间t，且T=T2，存在能量积分，由 即： 2 2 2 ( ) 5 7 2 1 ) 5 2 ( 2 1 q j J mR m R r O + + − ( ) ( ) cos 0 5 2 − m R − r Rjq − m g R − r j = 积分常数C1、C2由系统运动的初始状态决定。 保守系统
b例13一离心调速器。设小零势面球A、B的质量为m1，大小不0计，套筒C的质量为m2，杆重力不计、长如图示。试求C1212转动的角速度の与张角β的关AB系。migmigm2g1102解：T：.2+=m2Vc-m,v22v =(b+ sin p)o? +(lp)Vc =-2l2psin p点的运动学T = m[(b+l, sin p) 2 +(l,)"]+=m2(2l2psin p) = T, +T2V = -2(ml +m2l2)g cosp
例13 一离心调速器。设小 球A、B的质量为m1，大小不 计，套筒C的质量为m2，杆 重力不计、长如图示。试求 转动的角速度与张角j的关 系。 A B C O b j l2 l2 m1g m2g m1g 2 1 2 2 1 2 v (b l sin j) (l j ) A = + + 2 2 2 0 2 1 2 2 1 1 (2 sin ) 2 1 T = m [(b + l sin j) + (l j) ]+ m l j j = T +T 2 2 2 1 2 1 2 2 1 A C T = m v + m v vC = −2l 2 j sin j 点的运动学 V = −2(m1 l 1 +m2 l 2 )g cosj 解： 零势面
得：L=T-V=T,+To-V，为非定常系统，不显含t 的，则：T2-To+V=C(ml2 +2ml2 sin p)p2 -m(b+l, sin p)*o2 -2(ml + m2l2)g cosp= C上式对时间求导，得2(ml? + 2m2l2 sin * p)pp+ 4m,l2g3 sin pcos-2m(b+l, sin p)o*pcosp+2(ml +m2l2)gpsin p = 0整理后为[2(ml? +2m,l2 sin p)p +2m,2g° sin 2p-2m(b+l sin )l,o~ cos+2(ml +mzl2)g sin plp = 0
得：L=T-V=T2+T0 -V，为非定常系统，不显含t 的，则： T2 -T0+V=C (m l + 2m l sin j)j −m (b +l sin j) − 2(m1 l 1 + m2 l 2 )g cosj = C 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 上式对时间t求导，得 整理后为 2( 2 sin j)jj 4 j sin j cosj 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 m l + m l + m l 2 ( sin ) cos 2( 1 1 2 2 ) sin 0 2 − m1 b +l 1 j l 1 j j + m l + m l gj j = [2( 2 sin j)j 2 j sin 2j 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 m l + m l + m l 2 ( sin ) cos 2( 1 1 2 2 ) sin ] 0 2 − m1 b +l 1 j l 1 j + m l + m l g j j =