5.3管网环方程组水力分析和计算5. 3. 1管网环校正流量方程组（1）基本环能量方程图5.3中，两个基本环的带有回路方向的管段集合为：H,(7)H[L, =[2,-5,6,-8](8)Q1tnqih.[4]n-QL, =[3,-6,7,-9g.(2]E33(2)(3)(1)HeAqa,heqahsH0.Q,0.tutbsu'b"u'"b环能量方程组（以管段流量为变量）：[6][7][5][8][9](5)(4)(6)S2q2 - Ssqs +S -Ssq =0H.qs,hsHsq9,h,HQ..QS -S +s -S =0图5.3给水管网示意图初始分配一组管段流量q0)，若不满足上述环方程组，则环中分别存在管段水头损失闭合差△h,，为环的编号，[=1，2。环方程组成为：(0)n(00n0r0nS292S:q:95.96(OOn0)n0)nVhS-S393S.99696797
5.3 管网环方程组水力分析和计算 5.3.1 管网环校正流量方程组 （1）基本环能量方程 图5.3中，两个基本环的带有回路方向的管段集合为： { } { } 1 2 2, 5, 6, 8 3, 6, 7, 9 L L ⎧⎪ = − − ⎨⎪ = − − ⎩ 环能量方程组（以管段流量为变量）： 22 55 66 88 33 66 77 99 0 0 nnnn nnnn sq sq sq sq sq sq sq sq ⎧ −+−= ⎨⎩ −+−= 初始分配一组管段流量qi(0)，若不满足上述环方程组，则环中分别存在管段水头 损失闭合差⊿hl，为环的编号，l=1，2。环方程组成为： (0) (0) (0) (0) 0 22 55 66 88 1 (0) (0) (0) (0) 0 33 66 77 99 2 nnnn nnnn sq sq sq sq h sq sq sq sq h ⎧ − + − =Δ ⎨⎩ − + − =Δ （ ） （ ） 图5.3 给水管网示意图
CZ5. 3. 1管网环校正流量方程组（续1）[43Q1对每个环施加一个校正流量4qk，如图12)[3](2)(3)Iqa,heqs,hHo.Os5.4所示，以消除闭合差△h,(0)，2h,(0)。环"y"bsu'sbub42Agi[5167能量芳程组成为以环校正流量4q,和4q22[9][83(4)(5)(6)为未知变量的的数方程组：qs,h.Hsqs,hsH.o.DF(q1,q2)=(2)+q,)"-,()-q)"+(q)+q-q2)"-g(0)-q)"= 0F2(1,q2)=(30)+2)"-()-q2+)"+(q)+)"()-q)"= 0(5.8)用泰勒公式展开，得aF,aF,△q21 +F(△g1,△q2) = F(0, 0) +Aqi-2α?Fa"F1an1Fa~F△q,l= 0AqAq,Aq→+-anq2ng"2n!aF2aF2△q21+F2(△q1,△q2) = F2(0, 0)Aqi+12a"F20"F2a"F2a"F,1q21= 0Ao+十2aq2aqaagaqin!
5.3.1 管网环校正流量方程组（续1） 对每个环施加一个校正流量⊿ q k，如图 5.4所示，以消除闭合差⊿ h 1(0), ⊿ h 2(0)。环 能量方程组成为以环校正流量⊿ q 1和⊿ q 2 为未知变量的的数方程组： (0) (0) (0) (0) 1 1 2 22 1 55 1 66 1 2 88 1 (0) (0) (0) (0) 2 1 2 33 2 66 2 1 77 2 99 2 (, ) ( ) ( ) ( ) ( )0 (, ) ( ) ( ) ( ) ( )0 nn nn n nnn F q q sq q sq q sq q q sq q F q q sq q sq q q sq q sq q ⎧ Δ Δ = +Δ − −Δ + +Δ −Δ − −Δ = ⎨ ⎩ Δ Δ = +Δ − −Δ +Δ + +Δ − −Δ = 用泰勒公式展开，得 1 1 11 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 212 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( , ) (0, 0) [ ] 1 1 [ ][ ] 0 2 ! ( , ) (0, 0) [ ] 1 1 [ ][ 2 ! n n n n n F F Fqq F q q q q FF FF qq qq q q nq q F F Fqq F q q q q FF F q q q q nq ∂ ∂ Δ Δ = + Δ+ Δ + ∂Δ ∂Δ ∂∂ ∂∂ + Δ+ Δ + + Δ+ Δ = ∂Δ ∂Δ ∂Δ ∂Δ ∂ ∂ Δ Δ = + Δ+ Δ + ∂Δ ∂Δ ∂∂ ∂ + Δ+ Δ + + ∂Δ ∂Δ ∂Δ "" "" 2 1 2 2 ] 0 n n n F q q q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ Δ + Δ= ⎪ ⎩ ∂Δ (5.8)
N.5. 3. 1管网环校正流量方程组1（续2）-4[431123[3](2)(1)(3)HHqa,haqs,h0O.o,*y"bsu'sbtybg1(51[6r7忽略展开式中的高次项，可以得到关于O(4)(5)△g,和△g,的线性方程组：H.H.qe,hsHsqsh,O0.O.aFaFq2 = -F(0, 0) = -△h(0)Aqiq2aq(5.11)aF20F2△q2 = -F2(0, 0) = -△h(0)Aqaq2qi改写成矩阵方程如下：aFaF-h(0)anqaq2△qi(5.12)[-△h(0)aF2aF2△q2qiaq2对式（5.8）求一阶偏微分，得
5.3.1 管网环校正流量方程组（续2） 忽略展开式中的高次项，可以得到关于 ⊿ q 1和⊿ q 2的线性方程组： 改写成矩阵方程如下： 1 1 (0) 1 21 1 1 2 2 2 (0) 1 22 2 1 2 (0, 0) (0, 0) F F q qF h q q F F q qF h q q ⎧ ∂ ∂ Δ + Δ = − = −Δ ⎪ ⎪ ∂Δ ∂Δ ⎨ ∂ ∂ ⎪ Δ + Δ = − = −Δ ⎪⎩ ∂Δ ∂Δ (5.11) 1 1 (0) 1 2 1 1 (0) 2 2 2 2 1 2 F F q q q h F F q h q q ⎡ ⎤ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ∂Δ ∂Δ ⎡ ⎤ Δ ⎡−Δ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦ Δ ⎣−Δ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∂Δ ∂Δ (5.12) 对式（5.8）求一阶偏微分，得
=n()+()+(+s()()gieROF =-ns(q0)y-1q2OF, = -ns,(q)--angaF2= ns;(g)"- + ns (q)-I + ns (q)"- + ns,(q)-1 = nE(s,q(0)n-1)q2ieR2(5.14)方程（5.12）可以改写为：nZ(s,q(0)"-l)-ns (q)-1-h(0)AqiieR(5.15)Aq2/-h(0)-ns (q()"-1nZ(s,q(0)n-l)ieR28)求解(5.15），可以得到4q,和49z，并得新管段流量[3)[2)2Iqa,heqa,hD.g(k+1) = q(k) ± Aq(k)U241(50o(83[9]42(5)(6即可以消除环中水头损失闭合差△h,和4h，H.qs,h.qs,h
方程（5.12）可以改写为： (5.14) 求解(5.15) ，可以得到⊿ q1和⊿ q 2 ，并得新管段流量 1 1 (0) 1 (0) 1 (0) 1 (0) 1 (0) 1 22 55 66 88 1 1 (0) 1 6 6 2 2 (0) 1 6 6 1 2 (0) 1 (0) 1 (0) 1 (0) 1 (0) 33 66 77 99 2 () () () () ( ) ( ) ( ) () () () () ( nnnn n i i i R n n nnnn n i i F ns q ns q ns q ns q n s q q F ns q q F ns q q F ns q ns q ns q ns q n s q q −−−− − ∈ − − −−−− ∂ =+++= ∂Δ ∂ = − ∂Δ ∂ = − ∂Δ ∂ =+++= ∂Δ ∑ 2 1 ) i R − ∈ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∑ 1 2 (0) 1 (0) 1 6 6 (0) 1 1 (0) 1 (0) 1 (0) 6 6 2 2 ( ) () () ( ) n n i i i R n n i i i R n s q ns q q h ns q n s q q h − − ∈ − − ∈ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎡ ⎤ Δ ⎡−Δ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ Δ ⎣−Δ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ (5.15) 即可以消除环中水头损失闭合差⊿ h1和⊿ h 2 。 ( 1) ( ) ( ) k kk iil qqq + = ±Δ