第?章信号的时频表示与小波变换 72小波变换 721小波变换的定义 设函数g()的傅里叶变换为φiΩ2),若它满足 ΦD(/D)P ag2<+ 式中,R*表示(-0,0)∪(0,+∞),则称0(1)为基本小波函数。式(7 12)常称为小波函数的容许性条件。实际上,式(7-12)等价于 o(tdt=0
第7章 信号的时频表示与小波变换 7.2 小 波 变 换 7.2.1 小波变换的定义 设函数φ(t)的傅里叶变换为Φ(jΩ)，若它满足 + = d j C R * | | | ( ) | 2 (7-12) 式中，R*表示(-∞, 0)∪(0, +∞)，则称φ(t)为基本小波函数。式(7- 12)常称为小波函数的容许性条件。实际上，式(7 - 12)等价于 = R (t)dt 0 (7-13)
第?章信号的时频表示与小波变换 这就是说,0(0)与整个横轴所围面积的代数和为0,也意咏冒 其图形应围绕横轴上下波动且定义域有限。同时,它还给出了 另外一个信息,即jΩ2)=0=0。 引入尺度因子a和平移因子b,设ab∈R,a≠0,0(1)在a,b作用 下得到连续小波函数 t-b 0n6(t) 7-14) 于是可以定义信号f)∈L2(R)的连续小波变换(CWT)为 (W/ab)=f(9A()=m()0(Mt t-6 f(t) t (7-15
第7章 信号的时频表示与小波变换 这就是说, φ(t)与整个横轴所围面积的代数和为0，也意味着 其图形应围绕横轴上下波动且定义域有限。 同时，它还给出了 另外一个信息， 即Φ(jΩ)|Ω=0 =0。 引入尺度因子a和平移因子b，设a,b∈R, a≠0, φ(t)在a, b作用 下得到连续小波函数 − = a t b a t a b | | 1 ( ) , (7-14) 于是可以定义信号f(t)∈L 2 (R)的连续小波变换(CWT)为 dt a t b f t a W f a b f t t f t t dt a b R a b − = = = + − ( ) | | 1 ( )( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) , , (7-15)
第?章信号的时频表示与小波变换 利用 Fourier变换的 Parseval恒等式,易证得连续小波变换的 逆变换(ICWT)为 f()=小wn/ab)ab b p RxR nc上 t-b da d6 (W0)a,b)
第7章 信号的时频表示与小波变换 2 , 2 ( )( , ) | | 1 ( )( , ) ( ) 1 ( ) a da db a t b W f a b a C a da db W f a b t C f t a b R R − = = + − + − 利用Fourier变换的Parseval恒等式，易证得连续小波变换的 逆变换(ICWT)为 (7-16)
第?章信号的时频表示与小波变换 722连续小波变换的性质 1.线性 设信号O)=m1(0+m(),且它们对应的小波变换分别为 (W)an,b)和(Wab),则存在 (W)a,b)=m(W01)(a,b)+n(W2)a,b) 2.时移性 若信号八()的小波变换为(W(anb),则+6)的小波变换为 (WD/)(a,b-10)
第7章 信号的时频表示与小波变换 7.2.2 1. 线性 设信号f(t)=mf1 (t)+nf2 (t)，且它们对应的小波变换分别为 (Wφ f1 )(a, b)和（Wφ f2 )(a, b)， (Wφ f)(a, b)=m(Wφ f1 )(a, b)+n(Wφ f2 )(a, b) 2. 时移性 若信号f(t)的小波变换为(Wφ f)(a, b)，则f(t-t0 )的小波变换为 (Wφ f)(a, b-t0 )
第?章信号的时频表示与小波变换 3.尺度特性 若信号的小波变换为(W八a,b),则(c)的小波变换为 (o(ca, cb) 4.微分运算 on"f a (ab)=(-1)f() at (7-18)
第7章 信号的时频表示与小波变换 3. 尺度特性 若信号f(t)的小波变换为(Wφ f)(a, b)，则f(ct)的小波变换为 。 4. 微分运算 ( )( , ) 1 W f ca cb C t dt t a b f t t f W m a b m m m m ( , ) ( 1) ( ) ( ) , = − + − (7-18)