[注](关于禁忌概率) 与离散时间的 Markov链类似地,对于有限状态的连续时间的 Markov链,记 P()=P(r4>1,5=j5=D,(,jA 再记Q在状态集A上的限制为QA,即QA=(qn),A,P(1)在状态集A上的限制为PA(1), 即:PA(t)=(P2(1),A,那么可以证明,对于vi,gA有 P()=e°. 5.3.对称的与可逆的连续时间的 Markov链 定义6.24转移速率矩阵Q称为配称的,如果存在非负数列向量 μ=(12…,H12…)满足 Riqi =a, q H称为Q的配称列.易见,μ称为Q的配称列等价于(H191,…,414q1,)为嵌入链的转移 矩阵P的配称列,即:对于任意i≠j,恒有4q1P=Hq,P·连续时间的 Markov链 的转移矩阵P()称为对称的,如果存在非负数列向量=(μ12…,1,…),对任意t满足 u Pi (o=u,p(n (也称此连续时间的 Markov链是对称的)而μ称为P(t)的配称列;P(t)称为可逆的,如 果它有一个配称列丌为概率分布向量,这时丌称为可逆分布(也称此连续时间的 Markov链 是可逆的).可逆分布必是不变分布 命题6.25在(6.18)条件下,连续时间的 Markov链的转移矩阵P(t)为对称的, 且以兀为其可逆分布,当且仅当,它的转移速率矩阵Q以丌为配称列. 在处理一些实际问题中,下面的一个定理相当好用 定理6.26若(6.18)满足,且Q以概率分布向量丌为其配称列,且其转移速率 矩阵Q一互通,则 P() I 定理6.27( Kolmogorov对称性准则) Q互通的的连续时间的 Markov链为对称的充要条件为:对于任意的一个状态环路 R:i1→i2→…→>im→>i1成立下面的(K)条件: qR=q 其中qκ是沿环路R的转移概率速率的积,即
152 [注] (关于禁忌概率) 与离散时间的 Markov 链类似地, 对于有限状态的连续时间的 Markov 链, 记 ( ) ( , | ),( , ) A pij t = P A > t t = j 0 = i i j Ï A D t x x , 再记 Q 在状态集 A 上的限制为 Q A , 即: Q A ij i j A q = , Î ( ) , P (t) 在状态集 A 上的限制为 P A (t) , 即: P A (t) ij i j A p t = , Î ( ( )) . 那么可以证明, 对于"i, j Ï A 有 P A (t) = e t Q A . 5. 3． 对称的与可逆的连续时间的 Markov 链 定 义 ６ ． ２ ４ 转移速率矩阵 Q 称 为 配称的 , 如果存在非负数列向量 m ( , , , ) = m1 L mi L 满足 i ij j ji m q = m q . (6. 19) m 称为Q 的配称列. 易见, m 称为Q 的配称列等价于 ( , , , ) m1q1 L mi qi L 为嵌入链的转移 矩阵 ~ P的配称列, 即：对于任意i ¹ j ，恒有 ~ ~ miqi pij = m j qj pji . 连续时间的 Markov 链 的转移矩阵 P (t) 称为对称的, 如果存在非负数列向量m ( , , , ) = m1 L mi L ，对任意t 满足 p (t) p (t) mi ij = m j ji , (6. 20) （也称此连续时间的 Markov 链是对称的）而m 称为 P (t) 的配称列; P (t) 称为可逆的, 如 果它有一个配称列p 为概率分布向量, 这时p 称为可逆分布（也称此连续时间的 Markov 链 是可逆的）. 可逆分布必是不变分布. 命题６．２５ 在（6．18）条件下，连续时间的 Markov 链的转移矩阵P (t) 为对称的, 且以p 为其可逆分布，当且仅当, 它的转移速率矩阵Q 以p 为配称列. 在处理一些实际问题中， 下面的一个定理相当好用： 定理 6.２６ 若（6．18）满足，且Q 以概率分布向量p 为其配称列, 且其转移速率 矩阵Q －互通, 则 P (t) ¾t®¾¥® p T = 1 . 定理 6.２７ (Kolmogorov 对称性准则) Q 互通的的连续时间的 Markov 链为对称的充要条件为： 对于任意的一个状态环路 1 2 1 R : i i i i ® ®L ® m ® 成立下面的 (K) 条件： (K) = - R R q q , 其中 qK 是沿环路 R 的转移概率速率的积, 即
qR=qia"qim-i qi 而Rˉ则是环路R的反向环路 在(K)条件满足时,配称列μ=(H1…H12…)可以求得如下:固定某个状态l0,对于任 意状态1,任取一条从i到的通路i0)l1→…>ln→>imn=i令 定义 (≠) Vk k却 在{q}非有界时,条件(6。18)不成立,此时下面引述的定理对Q过程的存在性给出 了一种可能性 定理6.28若转移速率阵Q是保守的(即行和为1),又假定它有配称列μ,满足 ∑ p1<,∑q1μ 那么此时P(t)由Q唯一地确定,P()可以通过求解 Kolmogorov向前方程 P()=P(1)Q,P(0)=I;或 Kolmogorov向后方程:P(t)=QP(t),P(0)=I 得到,而且P()以兀 为可逆分布 (此定理见之于作者之一的工作<平稳马氏链的可逆性>,北京大学学报,第4期,1-9页, 978) 6.1连续时间分支过程 假定一个粒子的各次分裂时间组成一个强度为λ的指数流,各个粒子的分裂是相互独 立的.每个粒子每次分裂时自己消失并产生子代,各个粒子各次分裂后产生的子代的粒子数 都是独立同分布的随机变量,其分布为 k f0f1…fk 令x为时刻t的粒子数,我们来说明它是 Markov链.记
153 1 2 1 1 qR qi i qim im qimi - D = L , 而 - R 则是环路 R 的反向环路. 在 (K) 条件满足时, 配称列m ( , , , ) = m1 L mi L 可以求得如下： 固定某个状态 0 i , 对于任 意状态i , 任取一条从 0 i 到的通路 i i i i i 0 ® 1 ®L ® m ® m+1 = .令 0 0 1 1 =Õ > = D + + m k i i i i i k k k k q q v . 定义 ï ï ï î ï ï ï í ì = + ¹ + = å å ¹ ¹ ( ) 1 1 ( ) 1 0 0 0 0 i i v i i v v k i k k i k i mi . 在{ } qi 非有界时，条件（6。18）不成立，此时下面引述的定理对 Q 过程的存在性给出 了一种可能性 定理 6.２８ 若转移速率阵Q 是保守的 (即行和为 1), 又假定它有配称列 m , 满足: å < ¥ i mi , å < ¥ i qimi . 那 么 此 时 P (t) 由 Q 唯一地确定 , P (t) 可以通过求解 Kolmogorov 向前方程 : P ’(t) = P (t) Q , P (0) = I ; 或 Kolmogorov 向后方程: P ’(t) =Q P (t) , P (0) = I 得到, 而且P (t) 以p å = i mi 1 m 为可逆分布. (此定理见之于作者之一的工作 <平稳马氏链的可逆性>, 北京大学学报, 第 4 期, 1-9 页, 1978). 6. 例 6. 1 连续时间分支过程 假定一个粒子的各次分裂时间组成一个强度为 l 的指数流, 各个粒子的分裂是相互独 立的．每个粒子每次分裂时自己消失并产生子代, 各个粒子各次分裂后产生的子代的粒子数 都是独立同分布的随机变量, 其分布为 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ L L L L k f f f k 0 1 0 1 . 令 Xt 为时刻t 的粒子数, 我们来说明它是 Markov 链. 记