第十五讲分离变量法(二 §15.1两端固定弦的自由振动(续) 定解问题考虑长为l、两端固定的弦的自由振动,方程及定解条件为 02a202 2 0<x<l,t>0, t>0. =0=a, ot|=0 u(x),0≤ 步:分离变量 ★目标分离变量形式的非零解u(x,t)=X(x)T(t) ★结果函数X(x)满足的常微分方程和边界条件以及T()满足的常微分方程 条件偏微分方程和边界条件都是齐次的 现在出现的函数K(x)的常微分方程定解问题,特点是:微分方程中含有待定常数λ, 定解条件是一对齐次边界条件,这样的定解问题不同于常微分方程的初值问题 并非对于任何λ值,都有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零解 只有当λ取某些特定值时,才有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零 解X(x) λ的这些特定值称为本征值 相应的非零解称为本征函数 函数X(x)的常微分方程定解问题,称为本征值问题 第二步:求解本征值问题 本征值 n=1,2,3, 本征函数Xn(x) 这样求得的本征值有无穷多个,它们可以用正整数n标记,因此,在上面的结果中,把本征值和 相应的本征函数都记为An和Xn(x)
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟ (✠) §15.1 ✡☛☞✌✍✎ ✏✑✒✓ (✔) ✕✖✗✘ ✙✚✛✜ l ✢✣✤ ✥✦✧★✧ ✩✪✫✬✭✮✯✰✦✱✲✳✜ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l. ✴✵✶✷ ✸✹✺✻ F ✼✽ ✾✿❀❁❂❃✧❄❅✱ u(x, t) = X(x)T (t) F ❆❇ ❈❉ X(x) ❊❋✧●❍✾✮✯■❏❑✲✳▲✰ T (t) ❊❋✧●❍✾✮✯ F ▼◆ ❖❍✾✮✯■❏❑✲✳P◗❘❙✧ ❚❯ ❱❚❲❳❨ X(x) ❲❩❬❭❪❫❴❵ ❛❜✭ ❝❞❡✷❬❭❪❫ ❢❣❤✐❴❩❨ λ ✭ ❴❵❥❦❡❧♠♥♦♣q❥❦rst❲❴❵ ❛❜✉ ✈✇❩❬❭❪❫❲①② ❛❜r ③ ④♠✇⑤⑥ λ ② ✭⑦❤⑧⑨⑩♥♦❩❬❭❪❫✢❶⑨⑩♥♦♣q❥❦❲ ④❷❵r ❸❤ ❹ λ ❺ ❻❼❝❴②❽✭❾❤⑧⑨⑩♥♦❩❬❭❪❫✢❶⑨⑩♥♦♣q❥❦❲ ④❷ ❵ X(x) r λ ❲s❼ ❝❴②❿➀ ➁➂➃ ✭ ➄➅❲ ④❷❵❿➀ ➁➂➆➇ r ❳❨ X(x) ❲❩❬❭❪❫❴❵ ❛❜✭❿➀ ➁➂➃✗✘ r ✴➈✶✷ ➉✖➁➂➃✗✘ ➊➋➌ λn = nπ l 2 , n = 1, 2, 3, · · · ➊➋❈❉ Xn(x) = sin nπ l x. ➍➎➏➐✧ ➊➋➌➑➒➓➔→✭➣↔↕▲➙➛➜❉ n ➝➞✭➟➠✭➡➢➤✧➥➦ ➧✭➨➊➋➌■ ➩➫✧ ➊➋❈❉P➞✜ λn ■ Xn(x) r
§15.1两端固定弦的自由振动(续) 第三步:求特解,并叠加出一般解 在求解了本征值问题后,对于每一个本征值A,由方程 可以求出相应的Tn(t) Tn(t)=Cn sin at+ Dn cos at 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解 un (z, t)=(cn sin "Tat+D, cos Tat )sin Tr (n=1, 2, 3,) 这样的特解有无穷多个 ★每一个特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件 ★一般说来,单独任何一个特解不可能也恰好满足定解问题中的初始条件,即一般无法找到常 数Cn和Dn,满足 Dn sin Tz=o(z), Cn =v(a) ★偏微分方程和边界条件都是齐次的,把它们的(任意有限个)特解叠加起来,仍然是满足齐次 方程和齐次边界条件的解.是否可能满足初始条件? ★把全部无穷多个特解叠加起来 n(x)=∑(cn at +D,costA 只要级数具有足够好的收敛性(例如,可以逐项求二阶偏微商),那么,这样得到的u(x,t)也仍然 是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解, 这种形式的解称为一般解.它不同于偏微分方程的通解,因为 般解不只是满足偏微分方程,而且满足齐次边界条件 如何选择一般解中的叠加糸数Cn和Dn? nTT v(r 第四步:利用本征函数的正交性定叠加系数 理论依据本征函数的正交性 Xn(x)Xm(x)dx=0,n≠m
Wu Chong-shi §15.1 ➭➯➲➳➵➸ ➺➻➼➽ (➾) ➚ 2 ➪ ✴➶✶✷ ➉➹✖ ✭➘ ➴➷➬➮➱✖ ➡ ➏ ✱✃➊➋➌❐❒❮✭❰ÏÐ✵→➊➋➌ λn ✭✪✮✯ T 00(t) + λa2T (t) = 0 ↕▲➏Ñ➩➫✧ Tn(t) ✭ Tn(t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at. ➟➠✭ÒÓ➐Ô✃ ❊❋❖❍✾✮✯■❏❑✲✳✧Õ✱ un(x, t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x (n = 1, 2, 3, · · ·). F ➍➎✧Õ✱➑➒➓➔→ F Ð ✵→Õ✱P❊❋❘❙❖❍✾✮✯■❘❙❏❑✲✳ F ✵Ö×Ø✭ ÙÚÛÜ✵→Õ✱Ý↕ÞÒßà❊❋✦✱❐❒ ➧✧áâ✲✳✭ã✵Ö➒äåÔ● ❉ Cn ■ Dn ✭❊❋ Dn sin nπ l x = φ(x), Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x). F ❖❍✾✮✯■❏❑✲✳P◗❘❙✧✭➨➣↔✧ (æçèéê) Õ✱ëìíØ ✭ îï◗❊❋❘❙ ✮✯■❘❙❏❑✲✳✧✱r ◗ð↕Þ❊❋áâ✲✳ ñ F ➨òó➒➓➔→Õ✱ëìíØ u(x, t) = X∞ n=1 Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x, ôõö❉÷➑ ❋øà✧ùúû (üý✭↕▲þÿ➏➈ ❖❍✁) ✭✂✄✭ ➍➎➐Ô✧ u(x, t) Ò îï ◗❘❙❖❍✾✮✯➡❘❙❏❑✲✳☎✧✱r ➍✆ ❂❃✧✱✝ ✜ ➮➱✖ r ➣Ý✞Ï❖❍✾✮✯✧✟✱✭➟✜ ✵Ö✱Ýô ◗❊❋❖❍✾✮✯✭✠✡❊❋❘❙❏❑✲✳ ☛⑥☞✌❧✍❵ ❢❲ ✎✏ ✑❨ Cn ✒ Dn ñ X∞ n=1 Dn sin nπ l x = φ(x), (z) X∞ n=1 Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x) (>) ✴✓✶✷ ✔✕➁➂➆➇✖✗✘✙✕ ➴➷✚➇ ✛✜✢✣ ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m
第十五讲分离变量法 第3页 在()式两端同乘以 sIn -T,逐项积分,就得到 mTT Dn SIn-L D 所以 同样,由(米)式,可以得到 v(a) 这样就求得了整个定解问题的解, ★本征函数正交性的证明 设Xx()=如和xm()=smx是分别对应于本征值入和入m的两个本征函数 λn≠Mmn(即n≠m),它们分别满足 Xn(r)+An Xn(a)=0, 和xm(x)+mXm(x)=0, Xn(0)=0,Xn(l)=0, 用Xm(x)乘以Xn(x)的方程,用Xn(x)乘以Xm(x)的方程,相减, (Xm(a)Xn(a)-Xn(r)Xm(r))+(An-Am)Xm(a)Xn(a)=0, 在区间[0.上积分,即得 (n-Mn)/xn(x)Xn(a)dx=/[xn(x)Xm(x)-xm(x)Xn(x)]dz [Xn(=)X m()-Xm(a)X'(a)IL=0 上面用到了Xn(x)和Xm(x)满足的边界条件,考虑到An≠Mm,就证得本征函数的正交性 0,n≠m.口 △在上面的证明中只用到了: 1.本征函数满足的微分方程2.本征函数满足的边界条件 没有用到本征函数的具体函数形式 △因此,只要本征函数满足的微分方程为 X"(x)+X(x)=0 则结果 )/Xn(x)Xm(x)dr=[Xn(x)Xmn(x)-Xm(x)Xn(x) 仍然成立
Wu Chong-shi ✤✥✦✧ ★✩✪✫✬ (✭) ➚ 3 ➪ ➡ (z) ❃✣✤✞✮▲ sin mπ l x ✭þÿ✯✾✭Ó➐Ô Z l 0 φ(x) sin mπ l xdx = Z l 0 X∞ n=1 Dn sin nπ l x sin mπ l xdx = X∞ n=1 Dn Z l 0 sin nπ l x sin mπ l xdx = Dm · l 2 . ✰ ▲ Dn = 2 l Z l 0 φ(x) sin nπ l xdx. ✞ ➎ ✭✪ (>) ❃✭↕▲➐Ô Cn = 2 nπa Z l 0 ψ(x) sin nπ l xdx. ➍➎Ó ➏➐✃➜→ ✦✱❐❒✧✱r F ➁➂➆➇✗✘✙✖✱✲ ✳ Xn(x) = sin nπ l x ■ Xm(x) = sin mπ l x ◗✾✴❰ ➫ Ï ➊➋➌ λn ■ λm ✧✣→➊➋❈❉✭ λn 6= λm(ã n 6= m) r ➣↔✾✴❊❋ X00 n (x) + λnXn(x) = 0, Xn(0) = 0, Xn(l) = 0, ■ X00 m(x) + λmXm(x) = 0, Xm(0) = 0, Xm(l) = 0. ➙ Xm(x) ✮▲ Xn(x) ✧✮✯✭➙ Xn(x) ✮▲ Xm(x) ✧✮✯✭➩✵ ✭ (Xm(x)X00 n (x) − Xn(x)X00 m(x)) + (λn − λm) Xm(x)Xn(x) = 0, ➡✶✷ [0, l] ➢✯✾✭ã➐ (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = Z l 0 [Xn(x)X 00 m(x) − Xm(x)X 00 n(x)] dx = [Xn(x)X0 m(x) − Xm(x)X0 n(x)] l 0 = 0. ➢➤➙Ô ✃ Xn(x) ■ Xm(x) ❊❋✧❏❑✲✳r✙✚Ô λn 6= λm ✭Ó✸ ➐ ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m. 4 ➡➢➤✧✸ ✹➧ ô ➙ Ô ✃ ✷ 1. ➊➋❈❉❊❋✧❍✾✮✯ 2. ➊➋❈❉❊❋✧❏❑✲✳ ✺➑ ➙ Ô➊➋❈❉✧÷✻❈❉❂❃ 4 ➟➠✭ ✼✽➁➂➆➇✾✿✖❀✸❁❂❃ X 00(x) + λX(x) = 0, ❄ ➥➦ (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = [Xn(x)X 0 m(x) − Xm(x)X 0 n(x)] l 0 îï❅❆r
§151两端固定弦的自由振动(续 第4页 △如果将本征函数满足的边界条件改为 X(0)+1X'(0)=0, a2X()+B2X()=0, 其中a1和月1、a2和均不同时为0,则有 a1Xn(0)+A1Xn(0)=0,和a2Xn()+2Xn()=0, a1Xm(0)+1Xm(0)=0 a2Xm()+2Xm()=0 因为a1和1不同时为0,所以 Xn(0)Xn(0) Xm(0)Xm(0) 又因为a2和2不同时为0,所以又有 ★结论:对于本征值问题 X"(x)+X(x)=0 a1X(0)+1X(0)=0 a2X()+A2X()=0 本征函数的正交性 仍然成立 △上面的边界条件涵盖了 类三种类型的边界条件 ★本征函数模方 Ix nll=/x2()d ①‖Xn‖的倒数常称为本征函数的归一因子,这是因为 T x n F Xr(z)dx=1 即本征函数Xn(x)/YXn‖的模为1,另外,还可以合并写成 Xn(r)Xm(ar)dz ==dnt 称为本征函数的正交归一性
Wu Chong-shi §15.1 ➭➯➲➳➵➸ ➺➻➼➽ (➾) ➚ 4 ➪ 4 ý➦❇ ➊➋❈❉❊❋✧❏❑✲✳❈ ✜ α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X0 (l) = 0, ❉ ➧ α1 ■ β1 ✢ α2 ■ β2 ❊Ý✞❋✜ 0 ✭ ❄➑ α1Xn(0) + β1X0 n (0) = 0, α1Xm(0) + β1X0 m(0) = 0 ■ α2Xn(l) + β2X0 n (l) = 0, α2Xm(l) + β2X0 m(l) = 0. ➟ ✜ α1 ■ β1 Ý✞❋✜ 0 ✭ ✰ ▲ Xn(0) X0 n (0) Xm(0) X0 m(0) = 0. ● ➟ ✜ α2 ■ β2 Ý✞❋✜ 0 ✭ ✰ ▲ ●➑ Xn(l) X0 n(l) Xm(l) X0 m(l) = 0. F ➥❍ ✷ ■❏➁➂➃✗✘ X00(x) + λX(x) = 0, α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X0 (l) = 0 ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m ❑▲▼◆r 4 ➢➤✧❏❑✲✳❖P✃ ✵ ✢ ➈ ✢ ➶◗➶✆◗❘✧❏❑✲✳r F ➁➂➆➇❙❁❚ kXnk 2 ≡ Z l 0 X2 n (x)dx = l 2 . ❚ kXnk ❯❱❲❳❨❩ ❬❭❪❫❴❵❛❜❝ ❞❡❢❣❩ 1 kXnk 2 Z l 0 X2 n(x) dx = 1 ❤✐❥❦❲ Xn(x)/kXnk ❯❧❩ 1 ❞♠♥♦♣qrst✉✈ Z l 0 Xn(x)Xm(x) dx = l 2 δnm. ❨❩ ❬❭❪❫❴✇①❵❛② ❞
第十五讲分离变量法 第5页 ★波动在两端固定弦上的传播过程 为了简单起见,仍以单纯由初位移引起的波动为例 当t>0时,初位移也像在无界弦上分别向左右传播,不同之处是到达端点x=0或x=l 时,必须反射回来,并伴有额外的相位损失(即在端点x=0和x=7必须作奇延拓,这是由两端 固定这样的边界条件决定的).就弦上任意一点在任意一个时刻的位移而言,它就是初位移在两个 端点间多次反复反射而叠加出的结果.对于初速度激发的波动,当然也可以类似地讨论 ★弦的总能量 在任一时刻t,弦的动能和位能分别是 总能量为 E()=2 将解式代入,利用本征函数的正交归一性,就容易求得 E()=-2∑m[c1+Dn3 等式右端显然是常数,与t无关,即弦的总能量守恒① ★解的唯一性 如果此定解问题有两个解,u1(x,t)和u2(x,t),那么,(x,t)≡u1(x,t)-m2(x,t)就一定满足 定解问题 a2u=0 0<x<l,t>0 x=0 u==0.t≥0 ot I 0≤x≤l 只要能够证明v(x,t)=0即可,从物理上可以判断,这肯定是正确的,从能量守恒的要求来看,当 t=0时弦的总能量为0,因此以后的任一时刻t,E(t)均为0.这意味着一定有 du 即υ(x,t)为常数,由初始条件或边界条件,都能定出此常数为0 ①更严格的办法是仿照136节的作法,直接推出dE/dt=0,而不依赖于具体的求解方法(例如,分离变量法)
Wu Chong-shi ✤✥✦✧ ★✩✪✫✬ (✭) ➚ 5 ➪ F ③④⑤⑥⑦⑧✕⑨⑩✖❶❷❸❂ ✜ ✃❹ Ù í❺✭ î ▲ Ù❻ ✪á❼❽❾í✧❿✬ ✜ ür ➀ t > 0 ❋✭á❼❽Ò➁➡ ➒ ❑★➢✾✴ ➂➃➄➅➆✭Ý✞➇➈◗ Ô➉ ✤➊ x = 0 ➋ x = l ❋✭ ➌➍➎➏ ➐Ø ✭➘➑ ➑➒➓✧ ➩ ❼➔→ π(ã ➡✤➊ x = 0 ■ x = l ➌➍➣↔↕➙✭ ➍ ◗ ✪✣✤ ✥✦➍➎✧❏❑✲✳➛✦✧) r Ó★➢Û➜✵ ➊➡ Û➜✵→❋➝✧❼❽✠➞✭➣Ó◗á❼❽➡✣→ ✤➊✷➔ ❙ ➎➟➎➏✠ëìÑ ✧➥➦r ❰Ïá➠➡➢➤✧❿✬✭➀ï Ò↕▲◗➥➦➧❍r F ⑨✖➨➩✻ ➡ Û✵❋➝ t ✭★✧✬Þ■❼Þ✾✴◗ 1 2 Z l 0 ρ ∂u ∂t 2 dx ■ 1 2 Z l 0 T ∂u ∂x2 dx, ➫ Þ❁✜ E(t) = 1 2 Z l 0 ρ ∂u ∂t 2 dx + 1 2 Z l 0 T ∂u ∂x2 dx. ❇✱❃➭➯✭➲➙ ➊➋❈❉✧➛➳➵✵ û✭Ó➸➺➏➐ E(t) = mπ 2a 2 4l 2 X∞ n=1 n 2 |Cn| 2 + |Dn| 2 . ➻ ❃➄✤➼ ï ◗●❉✭➽ t ➒➾ ✭ ã ★✧➫ Þ❁➚➪ ❚ r F ✖✖➶➮✙ ý➦➠✦✱❐❒➑✣ → ✱✭ u1(x, t) ■ u2(x, t) ✭✂✄✭ v(x, t) ≡ u1(x, t) − u2(x, t) Ó ✵ ✦❊❋ ✦✱❐❒ ∂ 2 v ∂t2 − a 2 ∂ 2 v ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0, v x=0 = 0, v x=l = 0, t ≥ 0, v t=0 = 0, ∂v ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ôõÞø✸ ✹ v(x, t) = 0 ã ↕r➹➘➴➢↕▲➷➬✭ ➍➮ ✦◗➛➱✧r➹ Þ❁➚➪✧ õ➏Ø✃ ✭ ➀ t = 0 ❋★✧➫ Þ❁✜ 0 ✭➟➠▲❮ ✧ Û✵❋➝ t ✭ E(t) ❊ ✜ 0 r➍➜❐❒✵ ✦ ➑ ∂v ∂x = 0, ∂v ∂t = 0, ã v(x, t) ✜ ●❉r ✪áâ✲✳➋❏❑✲✳✭PÞ✦Ñ ➠●❉✜ 0 r ❚ ❮❰Ï❯ÐÑ❢ÒÓ 13.6 Ô❯ÕÑ♦Ö×ØÙ dE/dt = 0 ♦ÚÛÜÝÞßà❯áâãÑ (äå♦æçèéÑ) ❞