（4）将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为（hk1。图2.11中待标定的晶面abα相应的截距为，,,其倒数为2,3,3.3，化为简单整数为4，22336，3，故晶面abα的晶面指数为（463）。如果所求晶面在晶轴上的截距为负数，则在相应的指数上方加一负号，如（110），（112）等。图2.12为正交点阵中一些晶面的晶面指数。同样，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。另外，在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族,以(hk1})表示，它代表由对称性相联系的若干组等效[001]4(110)(210)晶面的总和。例如，在立方晶系中：(210)品带轴(110)(110)+(101) + (011) +(110)+ (101)(100)(100)+(011)+(110) +(101)+ (011)+(110+ (101) +(011)这里前六个晶面与后六个晶面两两相互平行，共同构成一个十二面体。所以，晶面族110又称为十二面体的面。(111)(111) +(111)+ (111)+(111) + (111)+(111)+(111) +(111)这里前四个晶面和后四个晶面两两平行，共同构成一个八面体。因此，晶面族111又称八面体的面。图2.12正交点阵中一些晶面的晶面指数此外，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是互相垂直的。例如[110]垂直于（110),[111]垂直于（111),等等。3.六方晶系指数六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用上述方法标定，这时取a，α，c为晶轴，而a轴与轴的夹角为120°，c轴与a，a轴相垂直，如图2.13所示。但按这种方法标定的晶面指数和晶向指数，不能显示六方晶系的对称性，同类型的晶面和晶向，其指数却不相类同，往往看不出它们之间的等同关系。例如，晶胞的六个柱面是等同的，但其晶面指数却分别为(100),(010),(110)，（100),(010)和(110)。为了克(0001)服这一缺点，通常采用另一专用于六方晶系的指数。根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a，(1120)(1100)a，a及c四个晶轴，a，a，a之间的夹角均为120°(1010)这样，其晶面指数就以（hkil)四个指数来表示。根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过3个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i=-（h+k)。晶面指数的具体标定方法同2前面一样，在图213中列举了六方晶系的一些晶面的指数。采用这种标定方法，等同的晶面可以从指数上图2.13六方晶系一些晶面的指数— 21 —
(4 ) 将三倒数化为互质的整数比, 并加上圆括号, 即表示该晶 面的指数, 记为 ( h k l )。 图 2 .11中待标定的晶面 a1 b1 c1 相应的截距为 1 2 , 1 3 , 2 3 , 其倒数为 2, 3, 3 2 , 化为简单整数为 4, 6, 3, 故晶面 a1 b1 c1 的晶面指数为( 463 ) 。如果所求晶面在晶轴上的截距为负数, 则在相应的 指数上方加一负号,如( 1 - 10 ) , (112 - )等。图 2 .12 为正交点阵中一些晶面的晶面指数。 同样,晶面指数所代表的不仅是某一晶面, 而是代表着一组相互平行的晶面。另外, 在晶 体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同,只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面 图 2 .12 正交点阵中一些晶面的晶面指数 族,以{ h k l}表示, 它代表由对称性相联系的若干组等效 晶面的总和。例如,在立方晶系中: {110} (110 ) + ( 101) + (011 ) + ( 1 - 10) + ( 1 - 01 ) + (01 - 1 ) + ( 1 - 1 - 0) + ( 1 - 01 - ) + (01 - 1 - ) + ( 11 - 0 ) + (101 - ) + ( 011 - ) 这里前六个晶面与后六个晶面两两相互平行,共同构成一 个十二面体。所以,晶面族{110}又称为十二面体的面。 图 2 .13 六方晶系一些晶面的指数 {111} ( 111) + ( 1 - 11) + (11 - 1 ) + ( 111 - ) + ( 1 - 1 - 1 - ) + ( 11 - 1 - ) + ( 1 - 11 - ) + ( 1 - 1 - 1) 这里前四个晶面和后四个晶面两两平行,共同构成一个 八面体。因此,晶面族{111}又称八面体的面。 此外,在立方晶系中, 具有相同指数的晶向和晶面 必定是互相垂直的。例如[110 ]垂直于( 110) , [ 111] 垂直于(111 ) , 等等。 3 . 六方晶系指数 六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用上述方法标定, 这时取 a1 , a2 , c 为晶轴, 而 a1 轴与 a2 轴的夹角为 120°, c 轴与 a1 , a2 轴相垂直,如图 2 .13 所示。但按这种方法标定的晶 面指数和晶向指数,不能显示六方晶系的对称性, 同类型的晶面和晶向,其指数却不相类同, 往 往看不出它们之间的等同关系。例如, 晶胞的六个柱面是等同的, 但其晶面指数却 分别为 (100 ) , (010 ) , ( 1 - 10 ) , ( 1 - 00 ) , ( 01 - 0 ) 和 ( 11 - 0 )。为了克 服这一缺点,通常采用另一专用于六方晶系的指数。 根据六方晶系的对称特点, 对六方晶系采用 a1 , a2 , a3 及 c 四个晶轴, a1 , a2 , a3 之间的夹角均为 120°, 这样,其晶面指数就以 ( h k i l) 四个指数来表示。根 据几何学可知, 三维空间独立的坐标轴最多不超过 3 个。前三个指数中只有两个是独立的, 它们之间存在 以下关系: i = - ( h + k)。晶面指数的具体标定方法同 前面一样,在图 2 .13 中列举了六方晶系的一些晶面的 指数。采用这种标定方法, 等同的晶面可以从指数上 — 21 —
反映出来。例如，上述六个柱面的指数分别为（1010），（0110），（1100），（1010），（0110)和（1100），这六个晶面[0001可归并为1010晶面族。[001]W采用四轴坐标时，晶向指数的确定+a2 [i210]=[010]原则仍同前述（见图2.14），晶向指数2/可用【uvtw]来表示，这里要求u+v=-t,以能保持唯一性。六方晶系按两种晶轴系所得的晶面指数和晶向指数可相互转换如下：对晶面指数而言，从（hkil）转换成4(1010][1120][2i10]（hk1）只要去掉i即可；反之，则加上[110]=[210]=[100]i=-（h+k)。对晶向指数而言，则图2.14六方晶系晶向指数的表示方法（c轴与图面垂直）[UVW】与【uvtw】之间的互换关系为：U=u-t,V=v-t,W=w,+(2U - V),v- +(2V- U),t=- (u+ v),w = W。u=(2 2)34.晶带所有平行或相交于某一晶向直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为共带面。晶带轴【uvw]与该晶带的晶面（hkI）之间存在以下关系hu+ky+lw=0。(2 .3)凡满足此关系的晶面都属于以「uvw】为晶带轴的晶带，故此关系式也称作晶带定律。根据这个基本公式，若已知有两个不平行的晶面（hkl）和（hkb），则其晶带轴的晶向指数A1hhki...【uvw】可以从下式求得：u：y:khI kLbhVwuhh1或写作如下形式：(2 4)bJLhke同样，已知二晶向【uw］和【uw】由此二晶向所决定的晶面指数（hkl）则为1wuuWIu...h: k: 1=12W2W2L1b12hkIuVw或写作如下形式：(2 5)14W而已知三个晶轴【uw]，【w2］和[uw],若22
图 2 .14 六方晶系晶向指数的表示方法( c 轴与 图面垂 直) 反映出来。例如, 上述六 个柱面的 指 数分 别 为 ( 101 - 0 ) , ( 01 - 10 ) , ( 1 - 100 ) , ( 1 - 010 ) , (01 - 10)和 ( 11 - 00) , 这六个晶面 可归并为{101 - 0}晶面族。 采用四轴坐标时,晶向指数的确定 原则仍同前述 ( 见图 2 .14 ) , 晶向指数 可用 [ u v t w ] 来 表 示, 这 里 要 求 u + v= - t, 以能保持唯一性。 六方晶系按两种晶轴系所得的晶 面指数和晶向指数可相互转换如下:对 晶面 指 数而 言, 从 ( h k i l) 转 换 成 ( h k l) 只要去掉 i 即可; 反之, 则加上 i = - ( h + k) 。对晶 向 指数 而 言, 则 [ U V W] 与 [ u v t w ] 之间的互换关 系为: U = u - t, V = v - t, W = w; u = 1 3 ( 2U - V ) , v = 1 3 (2 V - U) , t = - ( u + v) , w = W。 ( 2 .2) 4 . 晶带 所有平行或相交于某一晶向直线的晶面构成一个晶带, 此直线称为晶带轴。属此晶带的 晶面称为共带面。 晶带轴 [ u v w] 与该晶带的晶面 ( h k l) 之间存在以下关系: hu + kv + lw = 0。 ( 2 .3) 凡满足此关系的晶面都属于以 [ u v w] 为晶带轴的晶带,故此关系式也称作晶带定律。根据 这个基本公式, 若已知有两个不平行的晶面 ( h1 k1 l1 ) 和 ( h2 k2 l2 ) , 则其晶带轴的晶 向指数 [ u v w] 可以从下式求得: u∶ v∶ w = k1 l1 k2 l2 ∶ l1 h1 l2 h2 ∶ h1 k1 h2 k2 , 或写作如下形式: u v w h1 k1 l1 h2 k2 l2 。 ( 2 .4) 同样,已知二晶向 [ u1 v1 w1 ] 和 [ u2 v2 w2 ] ,由此二晶向所决定的晶面指数 ( hkl) 则为 h∶ k∶ l = v1 w1 v2 w2 ∶ w1 u1 w2 u2 ∶ u1 v1 u2 v2 , 或写作如下形式: h k l u1 v1 w1 u2 v2 w2 。 ( 2 .5) 而已知三个晶轴[ u1 v1 w1 ] , [ u2 v2 w2 ] 和[ u3 v3 w3 ] ,若 — 22 —
uWViu12一0，则三个晶轴同在一个晶面上。W216WsV3已知三个晶面（hh),（hkb）和（hkb）,若hki1Ak60，则此三个晶面同属一个晶带。hsk65.晶面间距晶面指数不同的晶面之间的区别主要在于晶面的位向和晶面间距不同。晶面指数一经确定，晶面的位向和面间距就确定了。晶面的位向可用晶面法线的位向来表示，而空间任一直线的位向则用它的方向余弦表示。对立方晶系而言，已知某晶面的晶面指数为h，k，l.则该晶面的位向则从以下关系求得h: k : I = cosa : cosB: cos,(2 .6)cos a + cos β+ cos = l.由晶面指数还可求出面间距dil。通常，低指数的面间距较大，而高指数的晶面间距则较小。图215所示的简单立方点阵不同晶面的面间距的平面图，其中（100）面的面间距最大，而（320）面的间距最小。此外晶面间距愈大，则该晶面上原子排列愈密集，晶面间距愈小则排列愈稀疏。(120)3c4·(100)-N(110)(320)b1(010)图2.15晶面间距图2.16晶面间距公式的推导晶面间距dl与晶面指数（hk1）的关系式可根据图216的几何关系求出。设ABC为距原点O最近的晶面其法线N与a，b.c的夹角为α,β.则得dal = cosa = bccosβ = cos,hkd[] +[] +[]] = cos'a+ cos β+ cos' 。(2 .7)因此，只要算出cosα+cosβ+cos之值就可求得dhkl。对直角坐标系cosa+cosβ+cos=1，所以，正交晶系的晶面间距计算公式为：-23
u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 = 0,则三个晶轴同在一个晶面上。 已知三个晶面( h1 k1 l1 ) , ( h2 k2 l2 ) 和( h3 k3 l3 ) , 若 h1 k1 l1 h2 k2 l2 h3 k3 l3 = 0 ,则此三个晶面同属一个晶带。 5 . 晶面间距 晶面指数不同的晶面之间的区别主要在于晶面的位向和晶面间距不同。晶面指数一经确 定,晶面的位向和面间距就确定了。晶面的位向可用晶面法线的位向来表示, 而空间任一直线 的位向则用它的方向余弦表示。对立方晶系而言, 已知某晶面的晶面指数为 h, k, l, 则该晶面 的位向则从以下关系求得: h∶ k∶ l = cosα∶cosβ∶cosγ, cos 2 α+ cos 2β+ cos 2 γ= 1。 ( 2 .6) 由晶面指数还可求出面间距 dhk l。通常, 低指数的面间距较大,而高指数的晶面间距则较小。 图 2 .15 所示的简单立方点阵不同晶面的面间距的平面图, 其中{100}面的面间距最大,而{320} 面的间距最小。此外晶面间距愈大, 则该晶面上原子排列愈密集,晶面间距愈小则排列愈稀疏。 图 2 .15 晶面间距 图 2 .16 晶面间距公式的推导 晶面间距 dhkl 与晶面指数 ( h k l) 的关系式可根据图 2 .16 的几何关系求出。设 A BC 为距 原点 O 最近的晶面,其法线 N 与 a, b, c 的夹角为α,β,γ, 则得 dhk l = a h cosα= b k cosβ= c l cosγ, d 2 hkl h a 2 + k b 2 + l c 2 = cos 2 α+ cos 2β+ cos 2 γ。 ( 2 .7) 因此,只要 算出 cos 2 α+ cos 2β+ cos 2 γ之值就可 求得 dhkl 。对直角坐 标系 cos 2 α+ cos 2β+ cos 2 γ= 1 ,所以, 正交晶系的晶面间距计算公式为: — 23 —
1dhkl(2 .8)[ +[ +[]对立方晶系，由于a=b=c,故上式可简化为adak =(2 .9)Jh+k+?对六方晶系，其晶面间距的计算公式为1dk1 =(2 .10)4(h+hk+k)+J3a值得注意，上述晶面间距计算公式仅适用于简单晶胞。对复杂晶胞，由于中心型原子的存在而使晶面层数增加，故其d的计算较为复杂，应按各种不同情况对上述公式进行修正。例如，①体心立方：当h+k+1=奇数时：②面心立方：当h，k.1不全为奇数或不全为偶数时：③密排六方：h+2k=3n（n=1,2,3），1为奇数时，均有附加面，故实际的晶面间距须修正。2.13晶体的对称性对称性是晶体的基本性质之一。自然界的许多晶体如天然金刚石、水晶、雪花晶体等往往具有规则的几何外形。晶体外形的宏观对称性是其内部晶体结构微观对称性的表现。晶体的某些物理参数如热膨胀、弹性模量和光学常数等也与晶体的对称性密切相关。因此，分析探讨晶体的对称性，对研究晶体结构及其性能具有重要意义。1.对称元素如同某些几何图形一样，自然界的某些物体和晶体中往往存在着或可分割成若干个相同部分，若将这些相同部分借助某些辅助性的、假想的几何要素（点、线、面）变换一下，它们能自身重合复原或者能有规律地重复出现，就像未发生一样，这种性质称为对称性。具有对称性质的图形称为对称图形，而这些假想的几何要素称为对称元素，“变换”或“重复”动作称为对称操作。每一种对称操作必有一对称元素与之相对应。晶体的对称元素可分为宏观和微观两类。宏观对称元素反映出晶体外形和其宏观性质的对称性，而微观对称元素与宏观对称元素配合运用就能反映出晶体中原子排列的对称性。a宏观对称元素（1）回转对称轴。当晶体绕某一轴回转而能完全复原时，此轴即为回转对称轴。注意：该轴线定要通过晶格单元的几何中心，且位于该几何中心与角顶或棱边的中心或面心的连线上。在回转一周的过程中，晶体能复原n次，就称为n次对称轴。晶体中实际可能存在的对称轴有1,2,3，4和6次五种，并用国际符号1,2,3,4，和6来表示，如图2.17所示。关于晶体中的旋图2.17对称轴转轴次可通过晶格单元在空间密排和晶体—24—
dhkl = 1 h a 2 + k b 2 + l c 2 。 ( 2 .8) 对立方晶系,由于 a = b= c,故上式可简化为 dhkl = a h 2 + k 2 + l 2 。 ( 2 .9) 对六方晶系,其晶面间距的计算公式为 dhk l = 1 4 3 ( h 2 + hk + k 2 ) a 2 + l c 2 。 (2 .10) 值得注意,上述晶面间距计算公式仅适用于简单晶胞。对复杂晶胞, 由于中心型原子的存 在而使晶面层数增加,故其 dhkl 的计算较为复杂,应按各种不同情况对上述公式进行修正。例 如,①体心立方: 当 h + k + l = 奇数时; ②面心立方:当 h, k, l 不全为奇数或不全为偶数时;③密 排六方: h + 2 k= 3 n( n = 1, 2, 3. ) , l 为奇数时, 均有附加面,故实际的晶面间距须修正。 图 2 .17 对称轴 2 .1 .3 晶体的对称性 对称性是晶体的基本性质之一。自然界的许多晶体如天然金刚石、水晶、雪花晶体等往往 具有规则的几何外形。晶体外形的宏观对称性是其内部晶体结构微观对称性的表现。晶体的 某些物理参数如热膨胀、弹性模量和光学常数等也与晶体的对称性密切相关。因此, 分析探讨 晶体的对称性,对研究晶体结构及其性能具有重要意义。 1 . 对称元素 如同某些几何图形一样,自然界的某些物体和晶体中往往存在着或可分割成若干个相同 部分,若将这些相同部分借助某些辅助性的、假想的几何要素 (点、线、面 )变换一下,它们能自 身重合复原或者能有规律地重复出现,就像未发生一样, 这种性质称为对称性。具有对称性质 的图形称为对称图形,而这些假想的几何要素称为对称元素“, 变换”或“重复”动作称为对称操 作。每一种对称操作必有一对称元素与之相对应。 晶体的对称元素可分为宏观和微观两类。宏观对称元素反映出晶体外形和其宏观性质的 对称性,而微观对称元素与宏观对称元素配合运用就能反映出晶体中原子排列的对称性。 a . 宏观对称元素 (1 ) 回转对称轴。当晶体绕某一轴回 转而能完全复原时,此轴即为回转对称轴。 注意: 该轴线定要通过晶格单元的几何中 心, 且位于该几何中心与角顶或棱边的中 心或面心的 连线 上。在 回转 一周的 过程 中,晶体能复原 n 次, 就称为 n 次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有 1, 2, 3 , 4 和 6 次五种, 并用国际符号 1, 2 , 3, 4, 和 6 来表示,如图 2 .17 所示。关于晶体中的旋 转轴次可通过晶格单元在空间密排和晶体 — 24 —
的对称性定律加以验证。（2）对称面。晶体通过某一平面作镜像反映而能复原，则该平面称为对称面或镜面（见图218中BBBB面），用符号m表示。对称面通常是晶棱或晶面的垂直平分面或者为多面角的平分面，且必定通过晶体几何中心。（3）对称中心。若晶体中所有的点在经过某一点反演后能复原，则该点就称为对称中心（见图2.19中0点），用符号i表示。对称中心必然位于晶体中的几何中心处。LDB2A.oB'图2.18对称面图2.19对称中心图220回转-反演轴(4）回转-反演轴。若晶体绕某一轴回转一定角度（360%n)，再以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此轴称为回转-反演轴。图220中，P点绕BB'轴回转180°与P点重合，再经O点反演而与P'重合，则称BB'为2次回转-反演轴。从图中可以看出，回转-反演轴也可有1,2,3,4和6次五种，分别以符号1,2,3,4,6来表示。事实上，1与对称中心等效；2与对称面m等效：3与3次旋转轴加上对称中心i等效：6则与3次旋转轴加上一个与它垂直的对称面等效。为便于比较，将晶体的宏观对称元素及对称操作列表如下。表23晶体的宏观对称元素和对称操作对称轴回转-反演轴对称元素对称中心对称面1次2次3次4次6次3 次4次16次点直线平面直线和直线上的定点辅助几何要素绕直线旋转绕线旋转+对点反演对称操作对点反演对面反映90360180120906012060基转角q（)6234m34国际符号i623+13+m等效对称元素1b，微观对称元素在分析晶体结构的对称性时，除了上面所述的宏观对称元素外，还需增加包含有平移动作的两种对称元素，这就是滑动面和螺旋轴。（1）滑动面。它是由一个对称面加上沿着此面的平移所组成，晶体结构可借此面的反映并沿此面平移一定距离而复原。例如，图221（a的结构，点2是点1的反映，BB面是对称面：但图221（b）所示的结构就不同，单是反映不能得到复原，点1经BB面反映后再平移d2距离才能与点2重合，这时BB面是滑动面。滑动面的表示符号如下：如平移为d2,B2或±2时，写作a,b或c;如沿对角线平移12距离，则写作n如沿着面对角线平移1/4距离，则写作d。-25
的对称性定律加以验证。 (2 ) 对称面。晶体通过某一平面作镜像反映而能复原, 则该平面称为对称面或镜面 ( 见 图 2 .18中 B1 B2 B3 B4 面) , 用符号 m 表示。对称面通常是晶棱或晶面的垂直平分面或者为多 面角的平分面,且必定通过晶体几何中心。 (3 ) 对称中心。若晶体中所有的点在经过某一点反演后能复原, 则该点就称为对称中心 (见图 2 .19 中 O 点) , 用符号 i 表示。对称中心必然位于晶体中的几何中心处。 图 2 .18 对称面 图 2 .19 对称中心 图 2 .20 回转-反演轴 (4 ) 回转-反演轴。若晶体绕某一轴回转一定角度 ( 360°/ n) , 再以轴上的一个中心点作反 演之后能得到复原时,此轴称为回转 - 反演轴。图 2 .20 中, P 点绕 BB′轴回转 180°与 P3 点重 合,再经 O 点反演而与 P′重合,则称 B B′为 2 次回转-反演轴。从图中可以看出,回转-反演轴 也可有 1 ,2 ,3 ,4 和 6 次五种,分别以符号 1 - , 2 - , 3 - , 4 - , 6 - 来表示。事实上, 1 - 与对称中心 i 等效; 2 - 与对称面 m 等效; 3 - 与 3 次旋转轴加上对称中心 i 等效; 6 - 则与 3 次旋转轴加上一个与它垂直 的对称面等效。为便于比较,将晶体的宏观对称元素及对称操作列表如下。 表 2 .3 晶体的宏观对称元素和对称操作 对称元素 对 称 轴 1 次 2 次 3 次 4 次 6 次 对称中心 对称面 回转-反演轴 3 次 4 次 6 次 辅助几何要素 直 线 点 平面 直线和直线上的定点 对称操作 绕直线旋转 对点反演 对面反映 绕线旋转 + 对点反演 基转角α/ (°) 360 180 120 90 60 120 90 60 Hxv¤a•¦ 国际符号 1 2 3 4 6 i m 3xaJ• 3 - 4 - 6 - 等效对称元素 1 - 2 - 3 + i 3 + m b . 微观对称元素 在分析晶体结构的对称性时, 除了上面所述的宏观对称元素外, 还需 增加包含有平移动作的两种对称元素,这就是滑动面和螺旋轴。 (1 ) 滑动面。它是由一个对称面加上沿着此面的平移所组成, 晶体结构可借此面的反映 并沿此面平移一定距离而复原。例如, 图 2 .21 ( a )的结构, 点 2 是点 1 的反映, B B′面是对称 面;但图 2 .21( b )所示的结构就不同, 单是反映不能得到复原,点 1 经 B B′面反映后再平移 a/ 2 距离才能与点 2 重合,这时 B B′面是滑动面。 滑动面的表示符号如下:如平移为 a/ 2, b/ 2 或 c/ 2 时, 写作 a, b 或 c; 如沿对角线平移1/ 2 距离,则写作 n;如沿着面对角线平移 1/ 4 距离, 则写作 d。 — 25 —