由于 fx2(x)=/(x 显然,当x<0时,f2(x,y)=0,从而fx2(x)=0 2le 0≤ 当x≥0时,f2(x,y)= y≤x, 0 其他. 故 2(x)=2l2+=22-e7 ],x≥0, 4 0. 其他 由于 f2()=_f(x 显然,当y(0时,f2(x,y)=0,故f2(y) f(,y) x≥y 0 其他 M2(x)=2le -i-4ydr 综上 y≥0 f2(y) 其他 (3)当y≥0时 fxix(xy) f(r,y) x≥0 f1()10 x<0 当y(0时 fx(x1y)=0.,x∈(-O,+∞) 当x≥0时 f(x,y)_ 0 当ⅹ(0时 f1(yx)=0 y∈(-0,+
由于 2 2 ( ) ( , ) X f x f x y dy + − = . 显然，当 x 0 时， f x y 2 ( , ) =0，从而 f x X 2 ( ) =0； 当 x 0 时， ( ) 3 4 2 21 , 0 , , 0, x y e y x f x y − − = 其他. 故 ( ) 3 4 2 0 21 x x y X f x e dy − − = 21 3 7 [ ] 4 x x e e − − = − 综上 ( ) 2 21 3 7 [ ], 0, 4 0, x x X e e x f x − − − = 其他. 由于 2 2 ( ) ( , ) Y f y f x y dx + − = . 显然，当 y〈0 时， 2 f x y ( , ) =0，故 f y Y 2 ( ) =0； 当 y 0 时， ( ) 3 4 2 21 , , , 0, x y e x y f x y − − = 其他. 故 ( ) 3 4 7 2 21 7 x y y Y y f y e dx e + − − − = = 综上 ( ) 2 7 7 , 0, 0, Y Y e y f y − = 其他. （3）当 y 0 时， ( ) 1 1 3 1 1 ( , ) 3 , 0, ( ) 0, 0; x X Y Y f x y e x f x y f y x − = = 当 y〈0 时， 1 1 ( ) 0, X Y f x y = x − + ( , ). 当 x 0 时， ( ) 1 1 4 1 1 ( , ) 4 , 0, ( ) 0, 0; y Y X X f x y e y f y x f x y − = = 当 x〈0 时， 1 1 ( ) 0, ( , ). Y X f y x y = − +
当y≥0时, 的(x)=5(x=2-,x≥y f2(y)(0 f(xy)=0.,x∈(-∞,+∞) 当x≥0时, f2(x,y) 0<y≤x 32(x) 其他; f2(Oyx)=0,y∈(0,+O) 例5已知X和Y的分布函数F(x),F(y)分别为 0 Fr(x) 0≤x≤2, F(y)={y-1,1sy≤2 >2 且X与Y相互独立 (1)求(X,Y)的分布函数F(x,y) (2)令E=X2,n=y2,求(GE,m)的分布函数G(x,y) (3)求PX<1,y> 分析本题主要由边缘分布及独立性来确定联合分布函数F(x,y),继而由于X2与 Y2也独立,从而如能确定X2的分布函数和y2的分布函数,便也可由独立性确定(E,n)的 分布函数 解(1)由于X与Y独立,故有 F(x,y)=Fr(xFy() 首先,只要Fx(x),F(y)有一个为0,则有F(x,y) 于是 x<0或y<1时,F(x,y)=0
当 y 0 时， ( ) 2 2 2 3 3 2 ( , ) 3 , , ( ) 0, ; x y X Y Y f x y e x y f x y f y x y − + = = 当 y〈0 时， 2 2 ( ) 0, X Y f x y = x − + ( , ). 当 x 0 时， ( ) 2 2 2 4 2 4 4 ( , ) , 0 , ( ) 1 0, ; y x Y X X e f x y y x f y x e f x − − = = − 其他 当 x〈0 时， 2 2 ( ) 0, Y X f y x = y − + ( , ). 例 5 已知 X 和 Y 的分布函数 F（X x）， F（Y y） 分别为 0, 0, ( ) , 0 2, 2 1, 2; X x x F x x x = 0, 1, ( ) 1, 1 2, 1, 2. Y y F y y y y = − 且 X 与 Y 相互独立. （1） 求（X，Y）的分布函数 F x y ( , ) ； （2） 令 2 = X ， 2 = Y ，求 ( , ) 的分布函数 G x y ( , ) ； （3） 求 3 1, 2 P X Y . 分析 本题主要由边缘分布及独立性来确定联合分布函数 F x y ( , ) ，继而由于 2 X 与 2 Y 也独立，从而如能确定 2 X 的分布函数和 2 Y 的分布函数，便也可由独立性确定 ( , ) 的 分布函数. 解 （1）由于 X 与 Y 独立，故有 ( , ) ( ) ( ) F x y F x F y = X Y . 首先，只要 ( ) F x X ， ( ) F y Y 有一个为 0，则有 F x y ( , ) =0. 于是，当 x 0 或 y 1 时， F x y ( , ) = 0
其次,当0≤x≤2时,Fx(x)=,当1≤y≤2时,F(jy)=y 那么,当0≤x≤2且1≤y≤2时,F(x.x(y-1) 同理当0≤x≤2且y>2时,F(x,y)= 当x≥2且1≤y≤2时,F(x,y)=y-1 当x≥2且y>2时,F(x,y)=1 (2)由于F()=P{x2≤x 当x<0时,显然F(x)=0 当x0时,P{x=P(X5=F()-F1(√) =F3(√x) 0≤√x≤2, 2 0≤x≤4, X> 综上 x<0, F(x)={~,0≤x≤4 1, 4 同理 F,()=P(rsy 当y<0时,FnOy)=0 当y≥0时,F()=P{V5Ys列=F(√)-F(V F(√y)
其次，当 0 2 x 时， ( ) 2 X x F x = ，当 1 2 y 时， ( ) 1 F y y Y = − . 那么，当 0 2 x 且 1 2 y 时， ( , ) ( 1) 2 x F x y y = − . 同理当 0 2 x 且 y 2 时， ( , ) 2 x F x y = ； 当 x 2 且 1 2 y 时， F x y y ( , ) 1 = − ； 当 x 2 且 y 2 时， F x y ( , ) 1 = . （2）由于 2 F x P X x ( ) = ， 当 x 0 时，显然 F x( ) = 0 ； 当 x 0 时， 2 ( ) ( ) P X x P x X x F x F x = − = − − X X ( ) = F x X , 0 2, 2 1, 2 x x x = , 0 4, 2 1, 4. x x x = 综上 0, 0, ( ) , 0 4, 2 1, 4. x x F x x x = 同理 2 F y P Y y ( ) = ， 当 y 0 时， F y( ) = 0 ； 当 y 0 时， F y P y Y y F y F y ( ) ( ) ( ) = − = − − Y Y ( ) = F y Y
0, 1,1≤≤2 0. 0<y<1, √y-11≤y≤4 1, y 于是由于X与Y独立,必有X2与Y2独立,从而 G(x,y)=F(xF() x<0或y<1 √x√ 0≤x≤4且l≤y≤4 0≤x≤4且y>4 2 x>4且1≤y≤4 (3)由于X与Y独立,有 =P(X< FrOYo 22 三、求区域上的概率 例8设x1,x2均服从阳0,4上的均匀分布,且P(x1≤3x153}=9, P{X1>3X2>3 分析由于X,X2的分布已知,因而P{X1>3},P{X2>3}等事件的概率是已知 的,于是为计算P{X1>3X2>3}的概率,关键要利用这些事件之间的关系及概率的计算 公式 解注意到 P{X1>3X2>3}=P{X1>3+P{X2>3}-P{X1>3yU{X2>3y
0, 1, 1, 1 2, 1, 2 y y y y = − 0, 0 1, 1, 1 4, 1, 4. y y y y = − 于是由于 X 与 Y 独立，必有 2 X 与 2 Y 独立，从而 G x y F x F y ( , ) ( ) ( ) = 0, 0 1, 1 , 0 4 1 4 2 , 0 4 2 1, 4 1 4, 1, 4 4. x y y x y x x y x y x y − = − 或 （x ） 且 ， 且y>4, 且 且 （3）由于 X 与 Y 独立，有 3 1, 2 P X Y 3 1 2 P X P Y = 3 (1) ( ) 2 = F F X Y = 1 3( 1) 2 2 − 1 4 = . 三、求区域上的概率 例 8 设 X1 ， X2 均 服从 [0， 4] 上的 均匀 分布 ， 且 1 2 9 3, 3 16 P X X = ， P X X 1 2 3, 3 分析 由于 X1 ， X2 的分布已知，因而 P X 1 3， P X 2 3 等事件的概率是已知 的，于是为计算 P X X 1 2 3, 3 的概率，关键要利用这些事件之间的关系及概率的计算 公式. 解 注意到 P X X P X P X 1 2 1 2 = + 3, 3 3 3 − P X X 1 2 3 3