速度势函数的特性 1势函数的方向导数等王速度在该方向上的 2存在势函数的流动一定是无旋流动 3等势面与流线正交 4不可压缩流体中势函数是调和函数
速度势函数的特性 1 势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影 2 存在势函数的流动一定是无旋流动 3 等势面与流线正交 4 不可压缩流体中势函数是调和函数
特性1 空间曲线上任取一点M(x,,),M点处流体质点速度分 量为、V、V2,取速度势函数的方向导数 as ax ds ay ds az ds 其中:a acp 而 cos(s, x) cos(s, y) ds ac 则a=".0.x)+",o0s,y)+".,3)= 速度的分量v、vv分别在曲线s的切线上的投影之和 等于速度矢量本身的投影vs 速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速 度分量
特性1 空间曲线s上任取一点M(x,y,z)，M点处流体质点速度分 量为vx、vy、vz，取速度势函数的方向导数 其中： ， ， 而 ， ， 则 速度的分量vx、vy、vz分别在曲线s的切线上的投影之和 等于速度矢量本身的投影vs。 速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速 度分量。 ds dz ds z dy ds y dx s x + + = x v x = vy y = z v z = cos(s, x) ds dx = cos(s, y) ds dy = cos(s,z) ds dz = x y z s v s x v s y v s z v s = + + = cos( , ) cos( , ) cos( , )
特性2 设对某一流动,存在势函数Φ(xyzt),流动的角 速度分量 ac a ag 类似的推出 0 可见,流场存在速度势函数则流动无旋,因此流动无旋 的充分必要条件势流场有速度势函数存在
特性2 设对某一流动，存在势函数Φ(x,y,z,t)，流动的角 速度分量 类似的推出 可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋 的充分必要条件势流场有速度势函数存在。 [ ( ) ( )] 0 2 1 ( ) 2 1 = − = − = z y z z y v y vz y x y =z = 0
特性3 等势面:在任意瞬时t,速度势函数取同一值的点构 成流动空间一个连续曲面,Φ(x2y,zt0=常数。 在等势面上取一点O,并在该面上过0任取一微元矢 量dL=di+d+dk,求与点O处速度的标量积。 vdL=(vr i+vr j+v, k).(dxi+dyj+dzk) adp =v d+v dy+v, dz d r_ agp dy+-dz =dg 因为Φ(x,y,zt0=C,所以d=0 得到vdi 这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的 又因为速度矢量与流线方向一致,推出流线与等势面垂 直
特性3 等势面：在任意瞬时t0，速度势函数取同一值的点构 成流动空间一个连续曲面，Φ(x,y,z,t0)=常数。 在等势面上取一点O，并在该面上过O任取一微元矢 量 ，求 与点O处速度 的标量积。 因为Φ(x,y,z,t0)=C ，所以 dΦ=0 得到 这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的， 又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂 直。dL = dxi +dy j+dzk d L v = + + = + + = = + + + + d dz z dy y dx x v dx v dy v dz v d L ( v i v j v k ) ( dxi dy j dzk ) x y z x y z v d L = 0
特性4 不可压缩流体的连续性方程为 对于有势流动∞=,,A=,,= a2①a①a2① 即v=0,满足 Laplace方程。而满足 Laplace方程的函数 就叫做调和函数
特性4 不可压缩流体的连续性方程为 对于有势流动 ， ， 即 ，满足Laplace方程。而满足Laplace方程的函数 就叫做调和函数 = 0 + + z v y v x vx y z x v x = y v y = z v z = 0 2 2 2 2 2 2 = + + x y z 0 2 =