第五节行列式性质 线性代教
第五节 行列式性质
行列式的性质 记 l12 41T D 0h2 021 D 4m2 m 行列式D'称为行列式D的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等
一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a 22 11 n n a a a 2 12 1 1 2 21 n n a a a D = 2 21 1 n n a a a n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a 22 11
证明 记D=det(a,的转置行列式 bu b12 b22 bn2 .bnn 即b=a(,j=1,2,n,按定义 DT=∑(1ヅhnb,.bm,=∑(1an14p2.apn 又因为行列式D可表示为 D=∑(1yap,14ph2.pn
证明 记 D = det(aij)的转置行列式, 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n T b b b b b b b b b D = b a (i, j 1,2, ,n), 即 ij = ij = 按定义 ( 1) ( 1) . = − 1 1 2 2 = − p11 p2 2 p n t p p np T t n n D b b b a a a 又因为行列式D可表示为 ( 1) . = − p11 p2 2 p n t n D a a a
故」 D=D". 证毕 说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立， 性质2】 互换行列式的两行（列），行列式变号， 第行（列)与第j行（列）交换记为分r(c:分c) 证明 设行列式 bu D1= b22 b20 bn2 是由行列式D=det(a:)变换i,j两行得到的
故 . T D = D 证毕 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 , 1 2 21 22 2 11 12 1 1 n n nn n n b b b b b b b b b D = 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 是由行列式 D = det(aij) 变换 两行得到的, i, j 第i行（列）与第j行（列）交换记为 ( ) i j i j r r c c
即当k≠i,j时，bp=kp；当k=i,j时， bp=ap’bp=ap, 于是 D,=∑(-lbn.bp,bpbp. =∑(1an.,.0p,.m. =∑(1ya.0p,aim0p.’， 其中1.i.j.n为自然排列 为排列p.P,.p.pn的逆序数 设排列p1.Pp:.p.pn的逆序数为，则有
于是 ( ) i j npn p ip jp t D b b b b 1 1 1 = − 1 ( ) i j npn p ip jp t a a a a 1 1 = − 1 ( 1) , 1 1 j i npn p ip jp t = − a a a a 其中1i jn为自然排列, . t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数 , 1 1 p p p p t 设排列 i j n 的逆序数为 则有 即当 时, k i, j ; bkp = akp 当 k i j 时, = , , , bip = ajp bjp = aip