拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
第七讲 拉普拉斯变换的应用
第七讲 拉普拉斯变换的应用
1拉普拉斯变换的应用 1、基本公式： I.x(t)函数 设x(s)=C[x(t)],则有[x'(t)]=sX(S)-x(0) C[x"(t)]=s2X(s)-sx(0)-x'(0). C[x"(t)]=s3X(s)-s2x(0)-sx'(0)-x"(0)
1.拉普拉斯变换的应用 1、基本公式： Ⅰ. 𝒙 𝒕 函数 设𝑿(𝒔)=𝓛 𝒙 𝒕 ，则有 𝓛 𝒙′ 𝒕 =𝐬𝑿 𝐬 − 𝒙 𝟎 . 𝓛 𝒙′′ 𝒕 =𝐬 𝟐𝑿 𝐬 − 𝒔𝒙 𝟎 − 𝒙′(𝟎). 𝓛 𝒙′′′ 𝒕 =𝐬 𝟑𝑿 𝐬 − 𝐬 𝟐𝒙 𝟎 − 𝐬𝒙 ′ 𝟎 − 𝒙′′(𝟎)
Ⅱ.y(t)函数 设Y(s)=C[y(t)],则有c[y(t)]=sY(s)-y(O) Cy'(t)]=s2Y(s)-Sy(0)-y(0): cy"'(t)]=s3Y(s)-s2y(0)-sy'(0)-y"(0) Cy4)(t)]=s4y(s)-s3y(0)-s2y(0)-sy"(0)-y"'(0)
Ⅱ. 𝒚 𝒕 函数 设𝒀(𝒔)=𝓛 𝒚 𝒕 ，则有 𝓛 𝒚′ 𝒕 =𝐬𝒀 𝐬 − 𝒚 𝟎 . 𝓛 𝒚′′ 𝒕 =𝐬 𝟐𝒀 𝐬 − 𝒔𝒚 𝟎 − 𝒚′(𝟎). 𝓛 𝒚′′′ 𝒕 =𝐬 𝟑𝒀 𝐬 − 𝐬 𝟐𝒚 𝟎 − 𝐬𝒚 ′ 𝟎 − 𝒚′′(𝟎). 𝓛 𝒚 (𝟒) 𝒕 =𝐬 𝟒𝒀 𝐬 − 𝐬 𝟑𝒚 𝟎 − 𝒔 𝟐𝒚 ′ 𝟎 − 𝒔𝒚 ′′ 𝟎 − 𝒚′′′(𝟎)
举例 例1.求解常微分方程 x"(t)-2x'(t)+2x(t)=2etcost x'(0)=x(0)=0 解： 令X(s)=C[x(t)],方程两边同时取拉氏变换： C[x'(t)]=sX(s)-x(0)=sX(s) C[x"(t)]=s2X(s-Sx(0)-x'(0)=s2X(s 方程变为52X-25Xs)+2x()=26品 -1 X(s)2 5-1 原方程的解为x(t)=te'sint
举例 例1. 求解常微分方程 𝒙 ′′ 𝒕 − 𝟐𝒙 ′ 𝒕 + 𝟐𝒙 𝒕 = 𝟐𝒆 𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒙 ′ 𝟎 = 𝒙 𝟎 = 𝟎 解: 令𝑿 𝐬 = 𝓛 𝒙 𝒕 ,方程两边同时取拉氏变换: 𝓛 𝒙′′ 𝐭 = 𝒔 𝟐𝑿 𝐬 − 𝒔𝒙 𝟎 − 𝒙 ′ 𝟎 = 𝒔 𝟐𝑿 𝐬 𝓛 𝒙′ 𝒕 = 𝒔𝑿 𝐬 − 𝒙 𝟎 =𝒔𝑿 𝐬 𝒔 𝟐𝑿 𝐬 -𝟐 𝒔𝑿 𝐬 +2𝑿 𝐬 = 𝟐 𝒔−𝟏 (𝒔−𝟏) 𝟐+𝟏 𝑿 𝐬 = 𝟐 𝒔−𝟏 [(𝒔−𝟏) 𝟐+𝟏] 𝟐 ， 原方程的解为𝒙 𝒕 = 𝒕𝒆 𝒕𝒔𝒊𝒏𝒕. 方程变为