要 第七章单因子试验方差分析 课时 10 &7.1方差分析的必要性与作用&7.2方差分析的条件与数据转换 &7.3方差分析及基本原理 &7.4方差分析的类型与分析步骤 &7.5完全随机设计 &7.6随机区组设计 &7.7拉丁方设计 教学 (1)了解方差分析的基本原理和步骤：(2)掌握统计学两类错误：(3)了 目的 解方差分析的基本假定和数据转换方法。(4)学握完全随机设计、随机区 组设计、拉丁方设计等单因子试验资料的方差分析。 1.方差分析的基本原理和步骤 教学 2. 统计学两类错误 3.方差分析的条件和数据转换方法。 重点 4.完全随机设计的方差分析与随机区组设计的方差分析。 1.方差分析的基本原理 2.常用的数据代换的适用范围理解 3.各种试验资料分析方法的判断及分析时异同。 突破方法： 教学 举例与多媒体图形展示讲解。先温习各种设计的特点，使从试验设计 难点 过程中掌握各种设计误差的不同。重点讲透完全随机设计的总平方和的分 解，区组设计只多了项区组平方和等，学生很快就会自己写出拉丁方设计 资料的分析公式。此外，通过再做课堂练习，学生掌握了再往下讲。效果 较好。 相关素材（参考资料、指导学生阅读材料等）： 1. 《试验统计方法》，盖钧镫主编，中国农业出版社，2000。 2. 《试验设计与统计分析》，金益主编，中国农业出版社，2007。 3. 《SAS统计分析教程》，唐燕琼主编，中国农业出版社，2006。 4 《试验统计引论》，韩汉鹏主编，中国林业出版社，2006。 5. 《热带作物的试验设计与统计分析》，林德光著，华南热带农业大学，1985 6. 《生物统计的数学原理》，林德光，辽宁人民出版社，1982。 7. 《试验设计与统计分析学习指导》，黄亚群主编，中国农业出版社，2008， 8. 《果树试验设计与统计》，刘权主编，中国农业出版社，1997。 9.《肥料试验及统计分析》，陶勤南主编，中国农业出版社，1997。 10.《食品试验设计与统计分析》，王钦德主编，中国农业出版社，2002 11.《试验设计与分析》，袁志发主编，高等教育出版社，2000
1 章 第七章 单因子试验方差分析 课时 10 节 ＆7.1 方差分析的必要性与作用 ＆7.2 方差分析的条件与数据转换 ＆7.3 方差分析及基本原理 ＆7.4 方差分析的类型与分析步骤 ＆7.5 完全随机设计 ＆7.6 随机区组设计 ＆7.7 拉丁方设计 教学 目的 (1)了解方差分析的基本原理和步骤；(2)掌握统计学两类错误；(3)了 解方差分析的基本假定和数据转换方法。（4）掌握完全随机设计、随机区 组设计、拉丁方设计等单因子试验资料的方差分析。 教学 重点 1. 方差分析的基本原理和步骤 2. 统计学两类错误 3. 方差分析的条件和数据转换方法。 4. 完全随机设计的方差分析与随机区组设计的方差分析。 教学 难点 1. 方差分析的基本原理 2. 常用的数据代换的适用范围理解 3. 各种试验资料分析方法的判断及分析时异同。 突破方法： 举例与多媒体图形展示讲解。先温习各种设计的特点，使从试验设计 过程中掌握各种设计误差的不同。重点讲透完全随机设计的总平方和的分 解，区组设计只多了项区组平方和等，学生很快就会自己写出拉丁方设计 资料的分析公式。此外，通过再做课堂练习，学生掌握了再往下讲。效果 较好。 相关素材（参考资料、指导学生阅读材料等）： 1. 《试验统计方法》，盖钧镒主编，中国农业出版社，2000。 2. 《试验设计与统计分析》，金益主编，中国农业出版社，2007。 3. 《SAS 统计分析教程》，唐燕琼主编，中国农业出版社，2006。 4. 《试验统计引论》，韩汉鹏主编，中国林业出版社，2006。 5. 《热带作物的试验设计与统计分析》，林德光著，华南热带农业大学，1985。 6. 《生物统计的数学原理》，林德光，辽宁人民出版社,1982。 7. 《试验设计与统计分析学习指导》，黄亚群主编，中国农业出版社，2008。 8. 《果树试验设计与统计》，刘权主编，中国农业出版社，1997。 9. 《肥料试验及统计分析》，陶勤南主编，中国农业出版社，1997。 10. 《食品试验设计与统计分析》，王钦德主编，中国农业出版社，2002。 11. 《试验设计与分析》，袁志发主编，高等教育出版社，2000
教师授课思路、设问及讲解要点 一、引言 前面学习的均数差异显著性测验，用于比较两个试验处理的优劣，而科研实 践往往需进行多个处理平均数间差异显著性测验。例如比较5种药剂的抑菌效果 的差异显著性测验。4个菌种在3种不同培养基的生长效果比较试验。这就要用 本章将学的方差分析法，它是解决多个处理效果差异显著性测验的统计方法。 二、教学内容正文（含讲课内容、提问设计、课堂练习等） &7.1方差分析的必要性与作用 一、方差分析的必要性 前面学习了两个样本平均数的假设测验，该法只适用于比较两个试验处理 的优劣。用于多个平均数间差异显著性测验，就会表现出如下一些问题： 1.多个处理用t测验计算麻烦 前面讲过的t测验，卡平方测验多数只限于2个处理进行比较，而对多个处 教理进行比较，就麻烦，又不能利用资料的全部信息，精确度也不高。例如：有10 个样本，就要测验：u=2,u=u,共C=45个假设，很麻烦。 学 2.推断的可靠性降低，犯α错误的概率增大 两个样本平均数比较采用t测验，a=0.05时犯第一类错误的概率为0.05 过 推断的可靠性为1-a=0.95。 若对5个处理采用t测验进行比较，ā=0.05，需进行10次两两比较，每次 比较的可靠性为1-α=0.95，要求10次都正确的概率为(1-a)10 0.9510=0.5987,因此推断的可靠性由0.95降到0.5987，犯第一类错误的概率则由 0.05上升到(1-0.5987)=0.4013. 3.误差估计的精确性和检验的灵敏性降低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。 采用t测验法，每次只能利用两组观察值估计试验误差，与利用全部观察值估计 的试验误差相比，精确性低，误差的自由度也低，从而使检验的灵敏度也降低， 容易掩盖差异的显著性，增大犯第二类错误的可能。 譬如，有5个处理，每个处理重复6次，共有观察值30个，若进行t测验每 次只利用12个观察值，误差的自由度为2(6-1)=10，若利用30个观察值估计 试验误差，误差自由度为5(6-1)=25。自由度越小，标准差越大，灵敏度低： 自由度越大，标准差越小，灵敏度高。 因此对多个处理平均数进行差异显著性测验，不宜采用t测验，而需采用 种新的统计方法一一方差分析法
2 教 学 过 程 教师授课思路、设问及讲解要点 一、引言 前面学习的均数差异显著性测验，用于比较两个试验处理的优劣，而科研实 践往往需进行多个处理平均数间差异显著性测验。例如比较 5 种药剂的抑菌效果 的差异显著性测验。4 个菌种在 3 种不同培养基的生长效果比较试验。这就要用 本章将学的方差分析法，它是解决多个处理效果差异显著性测验的统计方法。 二、教学内容正文（含讲课内容、提问设计、课堂练习等） ＆7.1 方差分析的必要性与作用 一、方差分析的必要性 前面学习了两个样本平均数的假设测验，该法只适用于比较两个试验处理 的优劣。用于多个平均数间差异显著性测验，就会表现出如下一些问题： 1．多个处理用 t 测验计算麻烦 前面讲过的 t 测验，卡平方测验多数只限于２个处理进行比较， 而对多个处 理进行比较，就麻烦，又不能利用资料的全部信息，精确度也不高。例如：有 10 个样本，就要测验：u1=u2， u1=u3 .，共 2 C10＝45 个假设，很麻烦。 2.推断的可靠性降低 ，犯α错误的概率增大 两个样本平均数比较采用 t 测验，α=0.05 时犯第一类错误的概率为 0.05, 推断的可靠性为 1-α=0.95。 若对 5 个处理采用 t 测验进行比较，α=0.05, 需进行 10 次两两比较，每次 比 较 的 可 靠 性 为 1-α=0.95 , 要 求 10 次 都 正 确 的 概 率 为 (1-α)10 = 0.9510=0.5987,因此推断的可靠性由 0.95 降到 0.5987,犯第一类错误的概率则由 0.05 上升到（1-0.5987)=0.4013. 3.误差估计的精确性和检验的灵敏性降低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。 采用 t 测验法，每次只能利用两组观察值估计试验误差，与利用全部观察值估计 的试验误差相比，精确性低，误差的自由度也低，从而使检验的灵敏度也降低， 容易掩盖差异的显著性，增大犯第二类错误的可能。 譬如，有 5 个处理，每个处理重复 6 次，共有观察值 30 个，若进行 t 测验每 次只利用 12 个观察值，误差的自由度为 2（6-1）=10，若利用 30 个观察值估计 试验误差，误差自由度为 5（6-1）=25。自由度越小，标准差越大，灵敏度低； 自由度越大，标准差越小，灵敏度高。 因此对多个处理平均数进行差异显著性测验，不宜采用 t 测验，而需采用一 种新的统计方法——方差分析法
&7.2方差分析的条件与数据转换 、方差分析的基本假定（条件）p143 1.正态性：指所有试验误差都是随机的、彼此独立的，且服从正态分布 N(0,σ2)，一般量测性资料都满足正态性 2.可加性（独立性）：处理效应与环境效应等应该具有可加性。各样本间相 互独立的。 3.方差齐性（同质性）：所有处理的误差方差都是同质的。可用卡平方测验 窥测。 对于测量性资料，一般都满足这四条，尽可放心使用方差分析，计数性资料 往往不能满足4点要求，常要进行统计代换，用代换后的数据作方差分析。 二.计数性资料的统计代换 (一)、平方根代换 1.公式：x=√ x=x+1 (x中含0) 教 2适用范围：各组方差与其平均数有某种比例关系的资料。 服从潘松分布的资料，这类资料一般不用百分率来表示，而用计数表示， 学 如每小区的虫数、杂草数、放射性物质在单位时间内的放射次数等，调查总数很 大，但昆虫出现头数极少或某性状出现的次数很少，通常)50。 3,方法：查平方根表或计算器 过 (二)、对数代换 1.公式：x’=1gx(不含0) x’=1g(x+1)(有含0) 程 2,适用范围：数据表现的效应为非可加性，而成倍加性或可乘性，同时平 均数与其极差或s成比例或艰CV接近一常数时。 服从核心分布或负二项分布（嵌纹分布）的资料 核心分布：呈一小群一小群的相对集中的分布，而群与群之间的位置又是随 机的。 嵌纹分布：又负二项分布，即是边缘变化的分布，有的地方很多，而有的地 方又很少，其间断过渡的。 火 资料特点各处理的标准差、极差与其平均数成比例的趋势或变异系数 接近一个常数时。如倍数表现为倍加性或可乘性，对数代换比平方根 更有效。 (三)、反正弦代换 1.公式：用角度表示：x=sn1其中：x为百分率x'为角度值 用弧度表示：0如 2.适用范围：资料系成数或百分数
3 教 学 过 程 ＆7.2 方差分析的条件与数据转换 一、方差分析的基本假定（条件）p143 1．正态性：指所有试验误差都是随机的、彼此独立的，且服从正态分布 (0, ) 2 N ，一般量测性资料都满足正态性。 2．可加性（独立性）：处理效应与环境效应等应该具有可加性。各样本间相 互独立的。 3．方差齐性(同质性)：所有处理的误差方差都是同质的。可用卡平方测验 窥测。 对于测量性资料，一般都满足这四条，尽可放心使用方差分析，计数性资料， 往往不能满足４点要求，常要进行统计代换，用代换后的数据作方差分析。 二．计数性资料的统计代换 （一）、 平方根代换 １．公式： x = x x = x +1 (x中含 0) ２．适用范围：各组方差与其平均数有某种比例关系的资料。 服从潘松分布的资料，这类资料一般不用百分率来表示，而用计数表示， 如每小区的虫数、杂草数、放射性物质在单位时间内的放射次数等，调查总数很 大，但昆虫出现头数极少或某性状出现的次数很少，通常 n〉50。 ３．方法：查平方根表或计算器 （二）、对数代换 １．公式：x’=lgx(不含 0) x’=lg(x+1)(有含 0) ２．适用范围：数据表现的效应为非可加性，而成倍加性或可乘性，同时平 均数与其极差或 s 成比例或艰 CV 接近一常数时。 服从核心分布或负二项分布（嵌纹分布）的资料。 核心分布：呈一小群一小群的相对集中的分布，而群与群之间的位置又是随 机的。 嵌纹分布：又负二项分布，即是边缘变化的分布，有的地方很多，而有的地 方又很少，其间断过渡的。 ＊ 资料特点各处理的标准差、极差与其平均数成比例的趋势或变异系数 接近一个常数时。如倍数表现为倍加性或可乘性，对数代换比平方根 更有效。 （三）、反正弦代换 １．公式：用角度表示： x x 1 sin − = 其中：x 为百分率 x’为角度值 用弧度表示： x x 1 sin 180 − = ２．适用范围：资料系成数或百分数
原则上当原始资料的可数百分率大部分都在30%至70%之间时可以不用进行 代换（近似服从正态分布），但多在大于70%或小于30%时，必须进行代换。 *用代换后的数据统计分析，但说明统计结论时，要注意原数据的意义。 3.方法：a.查反正弦代换表例：34%-35.67 b.用计算器 (四)采用几个观察值的平均数作方差分析 因均数比单个值更易做成正态分布， (五)倒数转换 1,公式：x=I 2.适用范围：各组数据的s与F成比例的资料。 常用于以出现质反应时间为指标的数据资料，数据两端波动较大的资料， &7.3方差分析及其基本原理 1.方差分析的概念 将试验数据的总变异分解为不同来源的变异，从而评定不同变异来源的相为 教 重要性的一种统计方法。 或k≥3样本平均数的假设测验方法即方差分析。 2.方差分析基本原理 将k个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自 过 由度和平方和分解为度量不同变异来源的自由度与平方和，进而获得不同来源的 总体方差的估计值：通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，并测验假设 程 H0:μ1=μ2==μk 就能检验各样本所属总体平均数是否相等。（将在单因子试验分析中细讲） ·、数据结构与变异来源的分解 设有k个处理，每个处理有n个观察值，则共有k个观察值，其数据结构和符 号如表6.1。 处理3 合计，平均.⊙ 1 x2.2. A: x4. Xz? 合计和中 . 表中x表示第i个处理的第j个观测值(i=l,2,.,k:jl,2,.,n): x=立x,表示第i个处理n个规测值的秘=立，1m=X,1n衣示第1个处的平药藏
4 教 学 过 程 原则上当原始资料的可数百分率大部分都在30%至70%之间时可以不用进行 代换（近似服从正态分布），但多在大于 70%或小于 30%时，必须进行代换。 * 用代换后的数据统计分析，但说明统计结论时，要注意原数据的意义。 ３．方法：a． 查反正弦代换表 例：34%-35.67 b． 用计算器 （四）采用几个观察值的平均数作方差分析 因均数比单个值更易做成正态分布。 （五）倒数转换 １．公式： x x 1 = ２．适用范围：各组数据的 s与x 2成比例的资料。 常用于以出现质反应时间为指标的数据资料，数据两端波动较大的资料。 ＆7.3 方差分析及其基本原理 1．方差分析的概念 将试验数据的总变异分解为不同来源的变异，从而评定不同变异来源的相对 重要性的一种统计方法。 或 k 3 样本平均数的假设测验方法即方差分析。 2．方差分析基本原理 将 k 个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自 由度和平方和分解为度量不同变异来源的自由度与平方和，进而获得不同来源的 总体方差的估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，并测验假设 H0:μ1= μ2=.= μk 就能检验各样本所属总体平均数是否相等。（将在单因子试验分析中细讲） 一、数据结构与变异来源的分解 设有 k 个处理，每个处理有 n 个观察值，则共有 nk 个观察值，其数据结构和符 号如表 6.1。 表中 ij x 表示第 i 个处理的第 j 个观测值（i=1,2,.,k；j=1,2,.,n）； = = n j i ij x x 1 . 表示第i个处理n个观测值的和； x x n xi n n j i ij . / ./ 1 = = = 表示第i个处理的平均数；
女一身表示第个处理个观测值的和： 上一字护宫表标全都观测做的和 黑一空以=年加表示第1个处理的平均数 玉一空艺ax加表标全部观测值的总平约数， 处理间变异ti=(μi-μ) 处理内变异eij=(xijμi) x,=元+1，+e,样本符号 μ表示全试验观测值总体的平均数 由此可推知：k个观察值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两 部分。 二、自由度与平方和的分解 教 1、总平方和分解 由表7.1可以看出，k个观察值的变异构成了整个资料的总变异，总变异的 学 平方和即： s-X4-8-君 过 x,-=际-)+6，- 程 =2年-户+2民-X-)+(6-月 =吃属-广+2[属-)，-月+22，- 其中2x,-)=0 所吃2-=空低-+224，- 总平方和=处理间平方和+处理内平方和 记为：SST=SSt+SSe 处理间平方和乃各处理的平均数的变异 馬=心低-驴区列- 处理内（误差）平方和乃各组的个观察值与其相应平均数的离差平方和，即 2k-矿=2号买
5 教 学 过 程 = = n j i ij x x 1 . 表示第 i 个处理 n 个观测值的和； = = = = = k i i k i n j ij x x x 1 1 1 . . 表示全部观测值的总和； x x n xi n n j i ij . / ./ 1 = = = 表示第 i 个处理的平均数 x x kn x kn k i n j ij . / ./ 1 1 = = = = 表示全部观测值的总平均数； 处理间变异τi=(μi- μ) 处理内变异εij=( xij- μi) ij i ij x = x + t + e 样本符号 μ表示全试验观测值总体的平均数 由此可推知: nk 个观察值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两 部分。 二、自由度与平方和的分解 1、总平方和分解 由表 7.1 可以看出，nk 个观察值的变异构成了整个资料的总变异，总变异的 平方和即： nk T ss x x x T ij ij 2 2 2 =( − ) = − = − + − − + − = − + − − + − − = − + − = = = = = = = = = = = k i n j i j i n j i j i k i k i i i k i n j i i i j i i j i k i n j k i n j i j i i j i n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( . .) 2 [( . .) ( .)] ( .) ( . .) 2( . .)( .) ( .) ( .) ( . .) ( .) = − = n j ij i x x 1 其中 ( . ) 0 = = = = = − = − + − k i n j k i k i n j ij i ij i x x n x x x x 1 1 1 1 1 2 . 2 . . 2 . 所以 ( ) ( ) ( ) 总平方和=处理间平方和+处理内平方和 记为：SST = SSt+ SSe 处理间平方和乃各处理的平均数的变异， = − = − nk T T n ss n x x t i i 2 2 2 ( ) 1 ( ) 处理内（误差）平方和乃各组的 n 个观察值与其相应平均数的离差平方和，即 n T ss x x x i nk ij k n e ij i = − = − 2 1 2 2 1 1 ( )