2。自由度的分解 1、总变异的自由度：dfT=nk-1 2、处理间的自由度：dft=k-1 3、整个资料处理内（即误差项）自由度为： dfe=dfl+df2+.+dfk=k(n-l) 由上述分析可知，整个资料的变异来源可分为：处理间和处理内两个部分。 因此，总平方和=处理间平方和+处理内平方和 SST SSt+SSe 总自由度=处理间自由度+处理内自由度 dfT dft dfe 于是， 处理间均方6一受 变开均方：饭受 处理内均方：心-齐 教 注意：MS,≠MS+MS。 或+++听或=+防++) 学 表6.2表6.1资料的方差分析 变异来源 55 MS 处理间 k-1 SSt MSt MSt/MSe 处理内 k(n-1) SSe MSe 程 总变异 kn-1 SST 三、F分布与F测验 1、F测验的基本原理 由前面的分析可知，表6.1中k个观察值的大小不尽相同，它们之间的变异 构成了整个数据的总变异，其总变异又可分为处理间变异和处理内变异。 处理内变异：同一处理内的各个观察值不完全相同，这是因为它们都会受到 偶然性因素的影响，影响的大小是随机效应，这些随机效应即为随机变异。各个 处理内的随机变异之和就构成了整个资料的误差项变异。 处理间变异：从上述分析可知，各处理平均数之间有不同程度的差异，引起差异 的原因有二：其一是处理的不同；其二是不同处理受偶然因素影响的程度不同。 由第二种原因引起的变异，其性质与处理内变异（即误差变异）性质相同，而且 在一般情况下，可以认为其效应相等。 因此：处理间变异=处理间真实差异+处理内变异 当处理间真实差异=0时，处理间变异=处理内变异 当处理间真实差异>0时，处理间变异>处理内变异
6 教 学 过 程 2. 自由度的分解 1、总变异的自由度：dfT=nk-1 2、处理间的自由度：dft=k-1 3、整个资料处理内（即误差项）自由度为： dfe=df1+df2+.+dfk=k(n-1) 由上述分析可知，整个资料的变异来源可分为：处理间和处理内两个部分。 因此， 总平方和=处理间平方和+处理内平方和 SST = SSt+ SSe 总自由度=处理间自由度+处理内自由度 dfT = dft + dfe 于是， 处理间均方： t t t t df SS MS = S = 2 总变异均方： e e e e df SS MS = S = 2 处理内均方： T T T T df SS MS = S = 2 注意： MST MS MSe t + 2 2 2 2 1 2 e k s s + s ++ s ( ) 1 2 2 2 2 1 2 e k s s s k s = + ++ 表 6.2 表 6.1 资料的方差分析 变异来源 DF SS MS F 处理间 k-1 SSt MSt MSt/MSe 处理内 k(n-1) SSe MSe 总变异 kn-1 SST 三、F 分布与 F 测验 1、F 测验的基本原理 由前面的分析可知，表 6.1 中 nk 个观察值的大小不尽相同，它们之间的变异 构成了整个数据的总变异，其总变异又可分为处理间变异和处理内变异。 处理内变异：同一处理内的各个观察值不完全相同，这是因为它们都会受到 偶然性因素的影响，影响的大小是随机效应，这些随机效应即为随机变异。各个 处理内的随机变异之和就构成了整个资料的误差项变异。 处理间变异：从上述分析可知，各处理平均数之间有不同程度的差异，引起差异 的原因有二：其一是处理的不同；其二是不同处理受偶然因素影响的程度不同。 由第二种原因引起的变异，其性质与处理内变异（即误差变异）性质相同，而且 在一般情况下，可以认为其效应相等。 因此:处理间变异=处理间真实差异+处理内变异 当处理间真实差异=0 时，处理间变异=处理内变异 当处理间真实差异＞0 时，处理间变异＞处理内变异
F=处理间方差 处理内方差 如果F与“1”相差不多，表明各处理效应在本质上相同，即处理间差异不显著 如果F比“1”大得多，超出了通常偶然因素所能解释的范围，那就说明各 处理效应有本质差异。 关于F值的大小，如何判断是否超过了用误差解释的范围？必须借助F测验， 2、F分布与F测验 F分布：在给定的样本容量l和n2下，从该总体进行一系列的抽样，则可 获得一系列F值，各个F值所具有的概率构成一种分布，这一分布称为F分布。 ,F分布的取值范围为(0，∞) F= 故F分布只有一尾概率（即右尾概率），进行的F测验仅为一尾测验。 F分布是随自由度df1和df2的改变而改变的一组偏态曲线，只有当df1和df 都趋向于∞时，F分布趋于对称分布。因此，F分布某一特定曲线的形状取决于 参数df1和df2。 学 F分布下一定区间的概率可以从己制成的统计表（附表5）中查出。 例如，当df1=4(nl=5)，df2=5(n2=6)时，从附表5查得F0.05=5.19, F0.01=11.39,这就表明如以nl=5,n2=6在一正态总体中进行连续抽样，则所 过 得F值大于5.19的仅有5%，大于11.39的仅有1%。 F测验：测验某项变异因素的效应是否真实存在。 程 若各处理的均数相等或者差异不显著，可以推断处理间不存在真实差异： 若各处理的均数不等且差异显著，可以推断处理间有真实差异。 四、多重比较 F值显著或极显著，否定了无效假设O，表明试验的总变异主要来源于处 理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两 个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显 著或极显著差异，哪些差异不显著。 因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间 的差异显著性。 统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multipl comparisons),。 多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法 (LSR法)，现分别介绍如下。 (I)最小显著差数法(LSD法，least significant difference) 具体方法： >
7 教 学 过 程 2 2 e t s s F = = 处理内方差 处理间方差 如果 F 与“1”相差不多，表明各处理效应在本质上相同，即处理间差异不显著。 如果 F 比“1”大得多，超出了通常偶然因素所能解释的范围，那就说明各 处理效应有本质差异。 关于 F 值的大小，如何判断是否超过了用误差解释的范围？必须借助 F 测验。 2、F 分布与 F 测验 F 分布：在给定的 样本容量 n1 和 n2 下，从该总体进行一系列的抽样，则可 获得一系列 F 值，各个 F 值所具有的概率构成一种分布，这一分布称为 F 分布。 2 2 2 1 s s F = ,F 分布的取值范围为〔0，∞〕 故 F 分布只有一尾概率（即右尾概率），进行的 F 测验仅为一尾测验。 F 分布是随自由度 df1 和 df2 的改变而改变的一组偏态曲线，只有当 df1 和 df2 都趋向于∞时，F 分布趋于对称分布。因此， F 分布某一特定曲线的形状取决于 参数 df1 和 df2。 F 分布下一定区间的概率可以从已制成的统计表（附表 5）中查出。 例如，当 df1=4(n1=5) , df2=5(n2=6)时，从附表 5 查得 F0.05=5.19, F0.01=11.39, 这就表明如以 n1=5, n2=6 在一正态总体中进行连续抽样，则所 得 F 值大于 5.19 的仅有 5%，大于 11.39 的仅有 1%。 F 测验： 测验某项变异因素的效应是否真实存在。 若各处理的均数相等或者差异不显著，可以推断处理间不存在真实差异； 若各处理的均数不等且差异显著，可以推断处理间有真实差异。 四、 多重比较 F 值显著或极显著，否定了无效假设 HO ，表明试验的总变异主要来源于处 理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两 个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显 著或极显著差异，哪些差异不显著。 因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间 的差异显著性。 统 计 上 把 多 个 平 均 数 两 两 间 的 相 互 比 较 称 为 多 重 比 较 (multiple comparisons)。 多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法 (LSR 法)，现分别介绍如下。 （1）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference) 具体方法：
1.计算均数差异标准误：S2=√2S。/m 其中MS为F检验中的误差均方 2.计算最小显著差数： LSD。=tad或Sa 在F检验显著的前提下，算出LSDa 若民-x>LSDa时，则元与元，在a水平上差异显著：反之。 关于LSD法的应用说明： LSD法实质上就是t检验法。 ->LSD=tS 但是，由于LSD法是利用F检验中的误差自由df。查t.值，利用误差均方 MSe计算均数差异标准误S,因而法又不同于每次利用两组数据进行多个平均 数两两比较的检验法。它解决了本章开头指出的t检验法检验过程烦琐，无统 的试验误差且估计误差的精确性和检验的灵敏性低这两个问题。但并未解决推 教断的可靠性降低、犯I型错误的概率变大的问题。其最适宜的比较形式是：在进 行试验设计时就确定各处理只是固定的两个两个相比，每个处理平均数在比较中 只出较一次。 (2)最小显著极差法(LSR法，Least significant ranges) 不同平均数间的比较采用不同的显著尺度 过 LSR法的特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包 含的处理数（称为秩次距）k的不同而采用不同的检验尺度，以克服LSD法的不足 程 这些在显著水平ā上依秩次距k的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极 差LSR LSR法克服了LSD法的不足，但检验的工作量有所增加。常用的LSR法有g 检验法和新复极差法两种。 1.新复极差法(SSR) 此法是由邓肯(Duncan）于1955年提出，故又称Duncan法，此法还称SS 法(shortest significant ranges)。 计算平均数的标准误s 根据df。,k查SSR表，计算最小显若极差值LSR，LSRs=gu,S 2.q测验法 计算平均数的标准误一西 根据df。,k查q表，计算最小显著极差值LSR
8 教 学 过 程 1.计算均数差异标准误： S MSe n d = 2 / 其中 MSe为 F 检验中的误差均方 2.计算最小显著差数: a a df d LSD t S e = ( ) 在 F 检验显著的前提下，算出 LSDα 若 ＞LSDα时，则 i. x 与 j. x 在α水平上差异显著；反之。 关于 LSD 法的应用说明： LSD 法实质上就是 t 检验法。 Sd x x t 1 − 2 = -> Sd LSD = t 但是，由于 LSD 法是利用 F 检验中的误差自由 dfe 查 tα值，利用误差均方 MSe 计算均数差异标准误 d S ， 因而法又不同于每次利用两组数据进行多个平均 数两两比较的检验法 。它解决了本章开头指出的 t 检验法检验过程烦琐，无统 一的试验误差且估计误差的精确性和检验的灵敏性低这两个问题。但并未解决推 断的可靠性降低、犯 I 型错误的概率变大的问题。其最适宜的比较形式是：在进 行试验设计时就确定各处理只是固定的两个两个相比，每个处理平均数在比较中 只比较一次。 （2）最小显著极差法（LSR 法 ,Least significant ranges) 不同平均数间的比较采用不同的显著尺度 LSR 法的特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包 含的处理数(称为秩次距)k 的不同而采用不同的检验尺度，以克服 LSD 法的不足。 这些在显著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极 差 LSR。 LSR 法克服了 LSD 法的不足 ，但检验的工作量有所增加。常用的 LSR 法有 q 检验法和新复极差法两种。 1.新复极差法（SSR） 此法是由邓肯 (Duncan) 于 1955 年提出，故又称 Duncan 法，此法还称 SSR 法(shortest significant ranges)。 计算平均数的标准误 n MS s e x = 根据 dfe , k 查 SSR 表，计算最小显著极差值 LSR , LSR k q df k Sx e , = ( , ) 2.q 测验法 计算平均数的标准误 n MS s e x = 根据 dfe , k 查 q 表，计算最小显著极差值 LSR i. j. x − x