由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法 方法步骤 ①写出特征方程r2+pr+q=0 ⑨求出特征根r,r ③按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解 特征根 齐通解 t2() Y=Ce+c)e Y=(C+c,x)el 1,2-a+ jB Y=e(c, cos Bx+C2 sin Bx)
由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 方法步骤 ①写出特征方程 0 2 r + pr + q = ②求出特征根 1 2 r ,r ③按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解 特征根 齐通解 ( ) r1 r2 实 r x r x Y c e c e 1 2 1 2 = + 1 2 r = r r x Y c c x e 1 ( ) = 1 + 2 r1,2 = j ( cos sin ) Y e c1 x c2 x x = +
例1求通解y-2y-3y=0 解特征方程为r2-2r-3=0 特征根为 3 齐通解为Y=c1ex+c2e3x 例2求方程y"+4y'+4y=0的通解 解特征方程为r2+4r+4=0, 解得r1=z2=-2, 故所求通解为y=(C1+C2x)e2x
例1 求通解 y − 2y − 3y = 0 解 特征方程为 2 3 0 2 r − r − = 特征根为 r1 = −1,r2 = 3 齐通解为 x x Y c e c e 3 = 1 + 2 − 例2 求方程 y + 4 y + 4 y = 0的通解. 解 特征方程为 4 4 0 , 2 r + r + = 解得 2 , r1 = r2 = − 故所求通解为 ( ) . 2 1 2 x y C C x e − = +