算交为非律角元.这之由于,在第一种情况下,(n1aw,f)心n1e) 可以表示为∫dq1,(q)f(q)pk(g)与两两样律的色分∫dg,(q)pk,(g)=1的 它色。而在第满种情况中,矩阵元(,t一1,F可 改写为色分∫d4(g)fq9()与这样一些样律色分的它色。它们可研非 零。其它的矩阵元,例如 (n12--2,fgn)14 (131) 都只研恒为零。 这里,我们仅同虑第满种情况的计算。有关第一内色分的计算可以在教统 书130页上找到,从定义出发,我们有 (a%t-l,f(g)a1g) =V-+现-产 N! nk1 n:+1 1 ×∑∑d…dqw9p,(gp)p元(gro…pi(gp (P)(P) (132) n 显于,只有满据下面两内作件的对,才可研非零。 (1)1同这出现在9吃中取P中; (②)其余的坐实必须同这出现在相应的各组粒子波求数中,例如,若2出 现在中,即它必须也出现在P,中。 这样,我们可以把上式简化为 圆:购…)Vm5+n%m-n ×∑dg1p(q)fq)pk(gm)d…dgN (P) nk nk nkk-1 + ,(gr0)p元(gro…pi(qP
_RrS8IR04?}#[)r~ ψnk1 ,nk2 ,···,nkN , ˆf(q1)ψnk1 ,nk2 ,···,nkN l'LOr R dq1 ϕ ∗ kk (q1) ˆf(q1)ϕkk (q1) 6}}y? R dqi ϕ ∗ ks (qi)ϕks (qi) = 1 y a? ?}[)rZbL8 ψnk1 ,···,nki +1,···,nkk −1,···, Fψˆ nk1 ,nk2 ,···,nki ···,nkk ··· l Ær? R dq1 ϕ ∗ ki (q1) ˆf(q1)ϕkk (q1) 6I#?ya?al "aybL8x: ψnk1 ,···,nki+2,···,nkk −2,···, ˆf(q1)ψnk1 ,nk2 ,···,nki ···,nkk ··· (131) V3r Ivw\j}[)ryD_1'}#?yD_l'?Tk X 130 "Fvk+dw1 ψnk1 ,···,nki+1,···,nkk −1,···, ˆf(q1)ψnk1 ,nk2 ,···,nki ···,nkk ··· = s nk1 ! · · ·(nki + 1)! · · ·(nkk − 1)! · · · N! s nk1 ! · · · nki ! · · · nkk ! · · · N! × X {Pˆ} X {Pˆ′} Z dq1 · · · dqN nk1 z }| { ϕ ∗ k1 (qP′(1))· · · · · · nki+1 z }| { ϕ ∗ ki (qP′(i))· · · · · · nkk −1 z }| { ϕ ∗ kk (qP′(k))· · · · · · × ˆf(q1) ϕk1 (qP(1))· · · | {z } nk1 · · ·ϕki (qP(i))· · · | {z } nki · · ·ϕkk (qP(k))· · · | {z } nkk · · · . (132) 4V1 ~}hOyUl (1) q1 jId? ϕ ∗ ki Z. ϕkk Z (2) "5yiKDjId?.yez`Q,YZx:< q2 d ? ϕ ∗ k1 ZAaD!d? ϕk1 Z Iwl'=NM6r nk1 ! · · · nki · · · nkk · · · nkN ! N! ! q (nki + 1)!nki !(nkk − 1)!nkk ! × X {Pˆ} Z dq1 ϕ ∗ ki (q1) ˆf(q1)ϕkk (q1) Z dq2 · · · dqN × nk1 z }| { ϕ ∗ k1 (qP(1))· · · · · · nki z }| { ϕ ∗ ki (qP(i))· · · · · · nkk −1 z }| { ϕ ∗ kk (qP(k))· · · 21
(133) 时更,自色将了剩让的单等究波因解存以两两更项,式给出形零的在分值。 究有满据时些条正的数换的全体个解为 (N-1) nk…nk,…(nk-1!…nkx (134) 函此,利们最于得问 回,四v+-ma (N-1! 文…m一--TVo+na (135) 而单等究算符F在波因解表象中的总阵元存稍最于写开 (na,thna-FVom,) =V(n-5t1-l,jg)4agna- =N,下√mk+nfa=Vm%+Im, (136) 利们定在将符,在等究解表象中,道何上费现过的单等究算符,存以得问 考更的结意。也自是说,利们有 ←…n。-1,…,nk,+1,…间…,nk,n,…) -(m-1,%+1遮副些,匹) =多ayos+n=fao+1n (137) 究得的结意是完全构更的 1.3.2二义算符 当据而等究交表的相互开何是,利们按遇问究谓两体算符 G=∑a,) (138) 22
× nk1 z }| { ϕk1 (qP(1))· · · · · · nki z }| { ϕki (qP(i))· · · · · · nkk −1 z }| { ϕkk (qP(k))· · · . (133) Ia?PH5yqz`Q,Yl'}}Ndy?T `1 IhOyY9y1gYr (N − 1)! nk1 ! · · ·nki ! · · ·(nkk − 1)! · · ·nkN ! (134) ,iwf4xv nk1 ! · · · nki · · · nkk · · ·nkN ! N! ! q (nki + 1)!nki !(nkk − 1)!nkk ! fik × (N − 1)! nk1 ! · · ·nki ! · · ·(nkk − 1)! · · ·nkN ! = 1 N q (nki + 1)nkk fik. (135) qz`_ Fˆ ?Q,YLZybL8lAf4Æh ψnk1 ,···,nki +1,···,nkk −1,···, Fψˆ nk1 ,nk2 ,···,nki ···,nkk ··· = N ψnk1 ,···,nki+1,···,nkk −1,···, ˆf(q1)ψnk1 ,nk2 ,···,nki ···,nkk ··· = N · 1 N q (nki + 1)nkk fik = q (nki + 1)nkk fik. (136) w?P?z`YLZw/+yqz`_l'xv jyX*!aR[w1 h· · ·nkk − 1, · · · , nki + 1, · · · |Fˆ| · · · , nki , · · · , nkk , · · ·i = * · · · nkk − 1, · · · , nki + 1, · · · X α,β fαβaˆ † α aˆβ · · · , nki · · · , nkk , · · ·+ = X α,β fαβq (nki + 1)nkk δα,ki δβ,kk = fikq (nki + 1)nkk . (137) `xyX*Rn1#y 1.3.2 +) t z`RLy5h/Rw;7v`u}g_ Gˆ = X a<b gˆ(a, b) (138) 22
例如,电子不间的,让作用势 e2 w-名司站司 e2 (139) 即是这样一种两体算明。下面,我们要证明,在粒子数表象中,两体算明总 可以写成如下的形整 6-guaw成i或ai (140) 这里 9ow8=daid ((q2)i(q,)pa()pp(g2). (141) 在教科书里,分别讨论了几种情为。这里,由于这间子限,我们将仅仅讨论 两种情为,即对适元取一种特殊非对适元的计算。 只先计算对适元。由于波函数的是换对称性,我们有 (w,G0x)=∑(o,g)) =C保(nk,nw,g(q1,92)4n,nx) (142) 再我用波函数的定义,我们有 -a=(色产) 2 2 ×∑∑dada,gra).…p%w9p (P)(P) N ×gg,92)P(gPr0)949pm (143) 注意,9取2在两个置换中,既可能以 pt(q)P元(2)g(q,92)Pk(q)pk,(92),P元(qh)p元,(2)(qh,2)pk,(2)Pk(), P元(92)P,(9m)(91,92)Pk(91)P%,(92),P元(92)p,(91)(9h1,92)pk(92)Pk,(m)(144 的形整出。,也可能以 Pt,(q)pt(92)g(q1,2)p(9h)pk(2) (145) 23
x:`RLy5h/Q V (q1, q2, · · · , qN ) = X i<j e 2 |ri − rj | = 1 2 X i, j e 2 |ri − rj | . (139) ARI#[}g_~w P?z`YLZ}g_b l'Æ`:~yN Gˆ = 1 2 X α′β′ X αβ gα′β′ ,αβaˆ † α′aˆ † β′aˆβaˆα. (140) Iv gα′β′ ,αβ = Z dq1dq2 ϕ ∗ α′(q1)ϕ ∗ β′(q2)ˆg(q1, q2)ϕα(q1)ϕβ(q2). (141) ?TkXvM C[)rIv04IL`wP\\ }[)rAS8.#[dWS8yD_ VD_S804Q,YyR9_w1 ψnk1 ···nkN , Gψˆ nk1 ···nkN = X i<j ψnk1 ···nkN , gˆ(qi , qj )ψnk1 ···nkN = C 2 N ψnk1 ···nkN , gˆ(q1, q2)ψnk1 ···nkN . (142) >w/Q,Yy+w1 N(N − 1) 2 ψnk1 ···nkN , gˆ(q1, q2)ψnk1 ···nkN = N(N − 1) 2 nk1 ! · · · nkN ! N! ! × X {Pˆ′} X {Pˆ} Z dq1 · · · dqN nk1 z }| { ϕ ∗ k1 (qP′(1))· · · · · · nkN z }| { · · ·ϕ ∗ kN (qP′(N)) × gˆ(q1, q2) nk1 z }| { ϕk1 (qP(1))· · · · · · nkN z }| { · · ·ϕkN (qP(N)). (143) ^* q1 . q2 ?}Y9ZFl' ϕ ∗ ki (q1)ϕ ∗ kj (q2)ˆg(q1, q2)ϕki (q1)ϕkj (q2), ϕ∗ ki (q1)ϕ ∗ kj (q2)ˆg(q1, q2)ϕki (q2)ϕkj (q1), ϕ ∗ ki (q2)ϕ ∗ kj (q1)ˆg(q1, q2)ϕki (q1)ϕkj (q2), ϕ∗ ki (q2)ϕ ∗ kj (q1)ˆg(q1, q2)ϕki (q2)ϕkj (q1) (144) yNd!l' ϕ ∗ ki (q1)ϕ ∗ ki (q2)ˆg(q1, q2)ϕki (q1)ϕki (q2) (145) 23
的非式出定,其余的坐标色色分教之为零的公求下,站明次这出定色剩余的 k教相次的单等究波同数到。时祥,我们公求P(0=P(;然1=3,4,…子 的。色第一说情为下,我们全 a=(产)m-测w (N-2)! ×d4d(pt,(q1)p(2)(,92)pk,(9m)pe,(92) +P2(9)p元,(92)9,92)p%,(q)p,(92) +P元(2)p克,(qm)q1,92)pk,(gm)p5,(2)+p元.(92)p,(q1)(q1,92)p%,(q)pk(92) =写u,O+小 (146) 时到, 9.=dg1dq2P(g1)P元,(92)gqh,92)p%(qh)p%,(92) (147) 算为角接色分,而 gsi=dadg2 p ()pi,()(q,92)(q)k.(q2) (148) 则算为是换色分。次理,当和出定色相次的波同数中这,我们全虑 a="()∑ (N-2)! =∑,-10a (149) 时到, 9i=ddep(9mp2.(92)gm,92)p,(mp%,(2) (150) 求此,G算函的;角元可关最然写子 G)=G+Ga =买66++2ms-1 (151) 定色,让我们同察算函 6-w (152) 24
yNd"5yiK??TRry ,~DjId?H5y k Tjyqz`Q,YvIw , P ′ (l) = P(l) 4 l = 3, 4, · · · ` y?}#[)r~w1 G1 = X i=6 j N(N − 1) 2 nk1 ! · · · nkN ! N! ! (N − 2)! nk1 ! · · ·(nki − 1)! · · ·(nkj − 1)! · · ·nkN ! × Z dq1dq2 ϕ ∗ ki (q1)ϕ ∗ kj (q2)ˆg(q1, q2)ϕki (q1)ϕkj (q2) + ϕ ∗ ki (q1)ϕ ∗ kj (q2)ˆg(q1, q2)ϕkj (q1)ϕki (q2) + ϕ ∗ ki (q2)ϕ ∗ kj (q1)ˆg(q1, q2)ϕki (q1)ϕkj (q2) + ϕ ∗ ki (q2)ϕ ∗ kj (q1)ˆg(q1, q2)ϕkj (q1)ϕki (q2) = X i=6 j nkinkj (gij,ij + gij,ji). (146) Iv gij,ij = Z dq1dq2 ϕ ∗ ki (q1)ϕ ∗ kj (q2)ˆg(q1, q2)ϕki (q1)ϕkj (q2) (147) _rSV? gij,ji = Z dq1dq2 ϕ ∗ ki (q1)ϕ ∗ kj (q2)ˆg(q1, q2)ϕkj (q1)ϕki (q2) (148) A_rR9?jut q1 . q2 d?jyQ,YZIw1 G2 = N(N − 1) 2 nk1 ! · · ·nkN ! N! !X i (N − 2)! nk1 ! · · ·(nki − 2)! · · · nkN ! gii,ii = 1 2 X i nki (nki − 1)gii,ii. (149) Iv gii,ii = Z dq1dq2 ϕ ∗ ki (q1)ϕ ∗ ki (q2)ˆg(q1, q2)ϕki (q1)ϕki (q2). (150) ,i Gˆ _yS8l'f4Æ` ψnk1 ···nkN , Gψˆ nk1 ···nkN = G1 + G2 = X i=6 j nkinkj (gij,ij + gij,ji) + 1 2 X i nki (nki − 1)gii,ii. (151) ?5wjW_ Gˆ = 1 2 X α′β′ X αβ gα′β′ ,αβaˆ † α′aˆ † β′aˆβaˆα. (152) 24
乘在等子数间象中立对角态阵元为 (mkw,·,nk IGlng,…,nkw》 =安买a0w…m成型…些…些e +拐名新风如 + 专∑ammw…,m威d或am西…m =买多av际 ×(mkw,…,nklan aglnk,…,k-l…,nk2-上,…nkw) +买wav西 ×(x,…,nkln,…,-上…,%-l…nkw) ×k,…,,n%-1,…,n%,-l,…mk) +伊aivm西 ×(,,nkla达agm,,n%-1…,n-lnx) +子ami侧-oul已小 = am西V西 +买av西西 +招av西西西 Z若aw可 bb rbvn(m1)vm(n -1) 25
a?z`YLZySbL8r hnkN , · · · , nk1 |Gˆ|nk1 , · · · , nkN i = 1 2 X α′β′ X α6=β X i=6 j gα′β′ ,αβhnkN , · · · , nk1 |aˆ † α′aˆ † β′aˆβ aˆα|nk1 · · · , nki · · · , nkj , · · · nkN i + 1 2 X α′β′ X α6=β X i=6 j gα′β′ ,αβhnkN , · · · , nk1 |aˆ † α′aˆ † β′ aˆβ z }| { aˆα|nk1 , · · · , nki , · · · , nkj | {z } , · · · nkN i + 1 2 X α′β′ X α=β X i gα′β′ ,ααhnkN , · · · , nk1 |aˆ † α′aˆ † β′ aˆα z }| { aˆα|nk1 , · · · , nki | {z } , · · · nkN i = 1 2 X α′β′ X α6=β X i=6 j gα′β′ ,αβδαjδβi√nkinkj × hnkN , · · · , nk1 |aˆ † α′ aˆ † β′|nk1 , · · · , nki − 1, · · · , nkj − 1, · · · nkN i + 1 2 X α′β′ X α6=β X i=6 j gα′β′ ,αβδαiδβj√nkinkj × hnkN , · · · , nk1 |aˆ † α′ aˆ † β′|nk1 , · · · , nki − 1, · · · , nkj − 1, · · · nkN i + 1 2 X α′β′ X α6=β X i=6 j gα′β′ ,αβδαjδβi√nkinkj × hnkN , · · · , nk1 | ˆa † α′ z }| { aˆ † β′|nk1 , · · · , nki − 1, · · · , nkj − 1 | {z } , · · · nkN i + 1 2 X α′β′ X α6=β X i=6 j gα′β′ ,αβδαiδβj√nkinkj × hnkN , · · · , nk1 | ˆa † α′ z }| { aˆ † β′|nk1 , · · · , nki − 1, · · · , nkj − 1 | {z } , · · · nkN i + 1 2 X α′β′ X i gα′β′ ,ααδαiq nki (nki − 1)hnkN , · · · , nk1 | aˆ † α′ z }| { aˆ † β′| · · · , nki − 2 | {z } , · · ·i = 1 2 X α′β′ X α6=β X i=6 j gα′β′ ,αβδα,jδβ,iδα′ ,iδβ′ ,j√nkinkj · √nkinkj + 1 2 X α′β′ X α6=β X i=6 j gα′β′ ,αβδα,iδβ,jδα′ ,iδβ′ ,j√nkinkj · √nkinkj + 1 2 X α′β′ X α6=β X i=6 j gα′β′ ,αβδα,jδβ,iδα′ ,jδβ′ ,i√nkinkj · √nkinkj + 1 2 X α′β′ X α6=β X i=6 j gα′β′ ,αβδα,iδβ,jδα′ ,jδβ′ ,i√nkinkj · √nkinkj + 1 2 X α′β′ X i gα′β′ ,ααδα,iδα′ ,β′δα′ ,iq nki (nki − 1) · q nki (nki − 1) 25