=多%心，s+d+2∑-ar (153) 因此，在两常表象中给出的G的对角矩阵子时完全一样的现 下面，般让我们来考察一下G的非对角矩阵子现大致有下面几常非零矩 阵子 (nk,nk影，nk,n)一(nk-1,nk-1,nk+1,nk+1), (154) (nk,nk+nk,na)一(nk-1,nk-1,nk+2,na）, (155) (nk:nk:nke:nk)-(nk-2.nk:ngs +2,nk) (156 (nk,nk,ne,n）一(nk,n%-1,n+1,n%） (157)） 这到，我们仅考察(mk,n,n,n)一(n,-1,m%-1,nk+1,n+1)的情况现 在波函数表象中，我们有： GN,nk-l,,考-l,nt1,一nthm1w） =八∫回回回回 2 N！ x Vns!(nk-1)n!(n -1)!V/mk(.+1)(+1)! ×∑∑P(P(q)小）g(g1,92)P(p%(…）. (158) {P 只有粒成1与在初态中处于单粒成态P%与%，而在末态中处于与 %时，矩阵子才可能非零现这样的项共有 (N-2! 1 nnm%-m%-可n…--n (159) 项，而每一项给出，同的贡献 dadg2 ()(g2)+p(2)i()g(n,2) ×P%,(g)P%,(92)+P%,(92p%,(q)】=2[kll）+(ll.(160) 代入非对角子的表达式后，我们有 G(nxn-1).(nki"-nx) 26
= X i=6 j nkinkj (gij,ij + gij,ji) + 1 2 X i nki (nki − 1)gii,ii. (153) ,i?}[LZ dy Gˆ ySbL8In1# y ~>5wsjW#~ Gˆ ySbL8oX1~C[b L8 (nki , nkj , nkk , nkl ) −→ (nki − 1, nkj − 1, nkk + 1, nkl + 1), (154) (nki , nkj , nkk , nkl ) −→ (nki − 1, nkj − 1, nkk + 2, nkl ), (155) (nki , nkj , nkk , nkl ) −→ (nki − 2, nkj , nkk + 2, nkl ), (156) (nki , nkj , nkk , nkl ) −→ (nki , nkj − 1, nkk + 1, nkl ). (157) Ivw\jW (nki , nkj , nkk , nkl ) −→ (nki − 1, nkj − 1, nkk + 1, nkl + 1) y)r ?Q,YLZw1 G(nkN ,···,nki−1,···,nkj −1,···,nkk +1,···,nkl +1,···,nk1 ),(nk1 ···nkN ) = N(N − 1) 2 Z dq1 · · · dqN nk1 ! · · · nki · · · nkj · · · nkk · · · nkl · · ·nkN ! N! × q nki !(nki − 1)!nkj !(nkj − 1)!q nkk !(nkk + 1)!nkl !(nkl + 1)! × X {Pˆ} X {Pˆ′} Pˆ ϕ ∗ k1 (q1)· · · · · · gˆ(q1, q2)Pˆ′ (ϕk1 (q1)· · · · · ·). (158) V1z` q1 6 q2 ? bZf4qz`b ϕki 6 ϕkj ?bZf4 ϕkk 6 ϕkl IbL8Ul I y"1 (N − 2)! nkk !nkl !(nki − 1)!(nkj − 1)! · 1 nk1 ! · · · nki · · · nkj · · · nkk · · · nkl · · · nkN ! (159) Æ# djy! Z dq1dq2 h ϕ ∗ kk (q1)ϕ ∗ kl (q2) + ϕ ∗ kk (q2)ϕ ∗ kl (q1) i g(q1, q2) × h ϕki (q1)ϕkj (q2) + ϕki (q2)ϕkj (q1) i = 2 [hkl|gˆ|iji + hkl|gˆ|jii] . (160) p;S8yLmN4w1 G(nkN ,···,nki−1,···,nkj −1,···,nkk +1,···,nkl +1,···,nk1 ),(nk1 ···nkN ) 26
=N-购圆…mw ×Vn,k-1n%,(n%,-1Vnln,+1)mn+1月 (N-2 nk.in(n,-n%-na…✉圆D一圆nk ×2(gL,+9u,》 Vnk,nk,(nke +1)(nk +1)(gxLij+9xiji) (161) 论积粒子数表象中，我们盒 (nkw,…,nk+1,·,nk+l,…,nk-l,…,nk-1,…,nklGInk1…nkw） =a(,购+1…，m%,+1…,%-1,%-山 …lawabagdal小…，n以，…，nk,…,nk,…,n, =9a6,m+1…%+1…,-1,-1 …lasan1,…,nk4-1,…,k-1,…,nk,…,n,） ×nknk(6a,ida+dadg) V面西wa低+i,侧 ×V(ne+1)(n+1)(⑥o18gk+da,kd, ++9)Vng,nk,(n+1)(m+1) Vnk,nk,(nks +1)(nk:+1)(gu.+geis) (162) 换句话说，加两常表象偶出先G的，湮的态间元 $1.4面米子单体和二体算符们表达式 积初论完玻在子算符的表示交然，我们是难研所面米子算符的表示。结论 之，单体取二体面米子算符归可被写作 F=∑JoaCIC,fas=∫da(am)j(a(gn (163) 27
= N(N − 1) 2 nk1 ! · · · nki · · · nkj · · · nkk · · · nkl · · · nkN ! N! × q nki !(nki − 1)!nkj !(nkj − 1)!q nkk !(nkk + 1)!nkl !(nkl + 1)! × (N − 2)! nkk !nkl !(nki − 1)!(nkj − 1)! 1 nk1 ! · · · nki · · · nkj · · · nkk · · · nkl · · · nkN ! × 2 (gkl,ij + gkl,ji) = q nkinkj (nkk + 1)(nkl + 1) (gkl,ij + gkl,ji). (161) ?z`YLZw1 hnkN , · · · , nkl + 1, · · · , nkk + 1, · · · , nkj − 1, · · · , nki − 1, · · · , nk1 |Gˆ|nk1 · · · nkN i = 1 2 X α′β′ X αβ gα′β′ ,αβh· · · , nkl + 1, · · · , nkk + 1, · · · , nkj − 1, · · · , nki − 1, · · · |aˆ † α′aˆ † β′aˆβaˆα| · · · , nki , · · · , nkj , · · · , nkk , · · · , nkl , · · ·i = 1 2 X α′β′ X αβ gα′β′ ,αβh· · · , nkl + 1, · · · , nkk + 1, · · · , nkj − 1, · · · , nki − 1, · · · |aˆ † α′aˆ † β′|nk1 , · · · , nki − 1, · · · , nkj − 1, · · · , nkk , · · · , nkl , · · ·i × √nkinkj (δα,iδβ,j + δα,jδβ,i) = 1 2 X αβ X α′β′ √nkinkj gα′β′ ,αβ(δα,iδβ,j + δα,jδβ,i) × q (nkk + 1)(nkl + 1)(δα′ ,lδβ′ ,k + δα′ ,kδβ′ ,l) = 1 2 (glk,ij + gkl,ij + glk,ji + gkl,ij ) q nkinkj (nkk + 1)(nkl + 1) = q nkinkj (nkk + 1)(nkl + 1) (gkl,ij + gkl,ji). (162) 9e7[I}[L d Gˆ yjybL8 $ 1.4 8Æ++) & ? nO?`_yLOR4wR ``_yLOX Rqg. g`_)lAÆh Fˆ = X α,β fαβCˆ† αCˆ β, fαβ = Z dq1 ψ ∗ α (q1) ˆf(q1)ψβ(q1), (163) 27
以及 wCCiCiC. (164) 其中， gos=dardqz va(g)v(q)g(gn,2)va(qn)va(q2). (165) 自于，这里的C和Ca粒算符应满讨反对易关系定 证明的方法同上面一样定我们需要分别考：算符F和G在两种是同间象 中的矩阵元定首先考：单体算符零这里我们只考：其非对角元的计算)定 由于户不一个单体算符，初总和末总是间最多差一个单粒子总，否则矩阵 元为零定这种矩阵元的一般形式为 (ly-nf0-一 =N(,f(g)地--） =--∫d ×户(…%，(g)…）f)P(…P()…. (166) 我们仅考：是为零的项定这样的项应有形式 dq…dqvP(ga)…p2,(q)Ppiw(qa)f(qm) ×9a(ga）小……pu（g）小…px(g】 =/davi,(n)f(a1)opm(a)=fjk. (167) 注意，在其余的因子 p(ga…9克-，(ga)pt(g）…p克-(gs)p克+(e)小…pkv(q) P(ga…Pk,-1(g阳)p%+1()…Pkt-i(9s)pkt+(e)小…Pkx(qA）(168) 中，各个单粒子总中的自由度不两两对应的定我们唯一需要决定的不符号 (-1)P(-1)P及这些非零项的个置定 为此，我们注意里(-1)户可以写作 (-1)产-(-1)P-1*% (169) 28
' Gˆ = 1 2 X α′ ,β′ X α,β gα′β′ ,αβCˆ† α′Cˆ† β′Cˆ βCˆ α. (164) "Z gα′β′ ,αβ ≡ Z dq1dq2 ψ ∗ α′(q1)ψ ∗ β′(q2)g(q1, q2)ψα(q1)ψβ(q2). (165) a4Ivy Cˆ† α . Cˆ β z_. Æ('| Py j# w Mj_ Fˆ . Gˆ ?}[RjL ZybL8Vjqg_IvwVj"S8yD_ 04 Fˆ R#qg_ b.bRLfX#qz`bAbL 8rI[bL8y#>Nr ψ···,1j ,···,0k,···, Fψˆ ···,0j ,···,1k,··· = N ψ···,1j ,···,0k,···, ˆf(q1)ψ···,0j ,···,1k,··· = N 1 N! X Pˆ X Pˆ′ (−1)Pˆ (−1)Pˆ′ Z dq1 · · · dqN × Pˆ · · ·ϕ ∗ kj (qj )· · · ˆf(q1)Pˆ′ (· · ·ϕkk (qk)· · ·). (166) w\jRryI y.1N Z dq1 · · · dqN ϕ ∗ k1 (qα)· · ·ϕ ∗ kj (q1)· · · ϕ ∗ kk · · ·ϕ ∗ kN (qλ) ˆf(q1) × ϕk1 (qα)· · · ϕkj · · ·ϕkk (q1)· · ·ϕkN (qλ) = Z dq1ϕ ∗ kj (q1) ˆf(q1)ϕkk (q1) ≡ fjk. (167) ^*?"5y,` ϕ ∗ k1 (qα)· · ·ϕ ∗ kj−1 (qβ)ϕ ∗ kj+1 (qγ)· · ·ϕ ∗ kk−1 (qδ)ϕ ∗ kk+1 (qǫ)· · ·ϕ ∗ kN (qλ) ϕk1 (qα)· · ·ϕkj−1 (qβ)ϕkj+1(qγ)· · ·ϕkk−1 (qδ)ϕkk+1(qǫ)· · ·ϕkN (qλ) (168) Z qz`bZya0R}}.ywq# fyR- (−1)Pˆ (−1)Pˆ′ I yY riw^*v (−1)Pˆ′ l'Æh (−1)Pˆ′ = (−1)Pˆ (−1) Pk−1 i=j+1 ni . (169) 28
这是由后P可关性置成下面的操作。首了，置换户证乘在 pi(gqn)…p元-(q-1p,(g)p克+(9+1)…P-1(q9k-1)Pi+1(（g)小…Pw(gN）(170) 关上 p%(g小…Pk,-(g-1Pk,1(g)…Pk4-1(9k-2P(9k-1)Pk+1(9)…Pkw(qN）(171) 中的自由，仅方排列为 P(gP…p元-，(gPU-)p%,(q)p克+1(qPU+ -(qp(-1))(qp())(qP(N)) (172) 关上 Pk(9P1)·Pk,-(9PU-1)Pk+(91）· k-1(qp(k-2))(qp(-1))(qp())(qP(N)). (173) 然于，我们再用系续度定对换户证要式(173)中自由，9h移至9-)的位 置.而每一次对换给出一个因子(-1)。由后我们必符对换∑1次，因此 我们得到 (-1)产=(-1)已+ (174) 显然，置换户是P和户的乘在。因此，我们决于得到 (-1)P=(-1)P(-1)产=(-1)P(-1 (175) 定积，我们计算一下不为零的对的个数。固。方和k于，其余的N-1个 自由，可关注费配对全排列。因此，这发对的个数为(N-1)！。故我们决于有 (--,f00-） =N(N-1川-1“=（←1” (176) 29
IR04 Pˆ′ l'Y`~yVhVY9 Pˆ Pa? ϕ ∗ k1 (q1)· · ·ϕ ∗ kj−1 (qj−1)ϕ ∗ kj (qj )ϕ ∗ kj+1 (qj+1)· · ·ϕ ∗ kk−1 (qk−1)ϕ ∗ kk+1 (qk)· · ·ϕ ∗ kN (qN ) (170) ' ϕk1 (q1)· · ·ϕkj−1 (qj−1)ϕkj+1(qj )· · ·ϕkk−1 (qk−2)ϕkk (qk−1)ϕkk+1(qk)· · ·ϕkN (qN ) (171) Zya0\ r ϕ ∗ k1 (qP(1))· · ·ϕ ∗ kj−1 (qP(j−1))ϕ ∗ kj (q1)ϕ ∗ kj+1 (qP(j+1))· · · ϕ ∗ kk−1 (qP(k−1))ϕ ∗ kk+1 (qP(k))· · ·ϕ ∗ kN (qP(N)) (172) ' ϕk1 (qP(1))· · ·ϕkj−1 (qP(j−1))ϕkj+1 (q1)· · · ϕkk−1 (qP(k−2))ϕkk (qP(k−1))ϕkk+1(qP(k))· · ·ϕkN (qP(N)). (173) 44w>/|9 ˆeP P N (173) Za0 q1 %W qP(k−1) yt Y Æ#j9 d#,` (−1) 04wD9 Pk−1 i=j+1 ni j,i wxv (−1) ˆ Pe = (−1) Pk−1 i=j+1 ni . (174) 4Y9 Pˆ′ R Pˆ . ˆeP ya?,iwf4xv (−1)Pˆ′ = (−1)Pˆ (−1) ˆ Pe = (−1)Pˆ (−1) Pk−1 i=j+1 ni . (175) ?wD_#~RryyY& j . k 4"5y N − 1 a0l'^ 1 ,iI yYr (N −1)! $wf41 ψ···,1j ,···,0k,···, Fψˆ ···,0j ,···,1k,··· = N 1 N! (N − 1)!(−1) Pk−1 i=j+1 ni fjk = (−1) Pk−1 i=j+1 ni fjk. (176) 29
另一方面，积等子数表象中，我们盒： (,nk=0,…,n5=1,…lF…,n=0,…,nk=1,〉 =∑fa…,me=0,…%=l…lcgC…西=0…nt= =∑f0(-1)m…,0g,,l,…C,n=0,4=0 =∑Foabaj6m(-1)(-1) fo6,6a(-1)(1 =(-1% (177) 第者给出的致态完全，同定 下面，我们考虑二体算符定先但考察G的项步元定我们盒 Gag0n1gr=(n1g,Gtng-） -0N2-(a9@,aje） 2 -NN-业∑∑-1)r(-1)P∫d4…dw 2N ×P(p2,(q1)…p克(qw)g(g,92)P(p(q）…Pw(gN). (178) 显然，非零的对或是 dq…dqNP元(ga)…pi(qm）…P2(g2)小…pw(g） ×g(qh1,92)Pk(g)…Pke(g1)…Pk.(92)…Pkw(q) (179 的非式，或是 dq…dgNP(9a)小…p(92)小P2,(91)小…Ptv(9) ×9(91,92)P1(9a)·P(g1)…k.(92)…Pkw(q) (180) 的非式定前者可关写成 dandgz pi ()pi ()g(m,q2)()pk.(q), (181) 30
#?z`YLZw1 h· · · , nk = 0, · · · , nj = 1, · · · |Fˆ| · · · , nj = 0, · · · , nk = 1, · · ·i = X αβ fαβh· · · , nk = 0, · · · , nj = 1, · · · |Cˆ† α Cˆ β| · · · , nj = 0, · · · , nk = 1 | {z } , · · ·i = X αβ fαβδβk(−1) Pk−1 i=1 ni h· · · , 0k, · · · , 1j , · · · | z }| { Cˆ† α | · · · , nj = 0, · · · , nk = 0, · · ·i = X αβ fαβδαjδβk(−1) Pk−1 i=1 ni (−1) Pj−1 i=1 ni = X αβ fαβδαjδβk(−1) Pk−1 i=1 ni (−1) Pj i=1 ni = fjk(−1) Pk−1 i=j+1 ni . (177) }H dyX*n1j ~wj g_sjW Gˆ yS8w1 G(nk1 ,nk2 ,···)(nk1 ,nk2 ,···) = ψnk1 ,nk2 ,···, Gψˆ nk1 ,nk2 ,··· = N(N − 1) 2 ψnk1 ,nk2 ,···, g(q1, q2)ψnk1 ,nk2 ,··· = N(N − 1) 2N! X Pˆ X Pˆ′ (−1)Pˆ (−1)Pˆ′ Z dq1 · · · dqN × Pˆ ϕ ∗ k1 (q1)· · ·ϕ ∗ kN (qN ) g(q1, q2) Pˆ′ (ϕk1 (q1)· · ·ϕkN (qN )). (178) 4y=R Z dq1 · · · dqN ϕ ∗ k1 (qα)· · ·ϕ ∗ kk (q1)· · ·ϕ ∗ ks (q2)· · ·ϕ ∗ kN (qλ) × g(q1, q2) ϕk1 (qα)· · ·ϕkk (q1)· · ·ϕks (q2)· · ·ϕkN (qλ) (179) yN=R Z dq1 · · · dqN ϕ ∗ k1 (qα)· · ·ϕ ∗ kk (q2)· · ·ϕ ∗ ks (q1)· · ·ϕ ∗ kN (qλ) × g(q1, q2) ϕk1 (qα)· · ·ϕkk (q1)· · ·ϕks (q2)· · ·ϕkN (qλ) (180) yN&Hl'Æ` gks,ks ≡ Z dq1dq2 ϕ ∗ kk (q1)ϕ ∗ ks (q2)g(q1, q2) ϕkk (q1)ϕks (q2), (181) 30