在此定义点，记号 C nk,nk,…,nkw〉 (96) 成代表的态，可由“若车到站”，自客按顺序点车的原理依次计算现 接点来，让我们研究一点正色子算明成应波足的律易关系现同费米子的情 况一样，我们可以验证 ak,a=l,[ak,a=0,a话，at=0,mk,nw〉=m,nk).(97) 单一不同于费米子体系的地们是，由于一内波色单粒子能级可以则超过一内 以上的粒子占据，因此，()”一殷不为零现实际上，我们有 (ak)"10)=dn Inx=n). (98) 这是由于，将作用到这内态上然，我们有 i脉(a)10=a诚ae(a)0). (99) 为了计算这一表达式，我们先我用恒等式 AB BA+[A,B (100) 将它写子 k(a)）10)-(a)”k10)+[n,(a)"门10)-k,(a)）"门10.(101) 然然，我们再我用恒等式 [A,C…川=[A,间C…M+[A,C…i+c.…[A,M,(102) 将式中的律易子写作 nk,(a)四=，(@)m-1+…+(@)m-1nk,a=n(a)”.(103) 将之代按公式(101)然，我们得到 (a)1o=n(a）”1o. (104) 16
?i+~ECˆ† k |nk1 , nk2 , · · · , nkN i (96) `pLybl0 “<^vD” an;Z~^y9u$jD_ V~s5w `#~O?`_`. y('|j`y) r# wl' P h aˆk, aˆ † k i = 1, [ˆak, aˆk ′] = 0, h aˆ † k , aˆ † k ′ i = 0, |nk, nk ′i = |nk ′, nki. (97) q#Rj4`g|y|R04#Q?qz` Bl'A℄+# 'yz`C ,i aˆ † k n #>RrKGw1 aˆ † k n |0i = dn |nk = ni. (98) IR04P nˆk h/vIb4w1 nˆk aˆ † k n |0i = ˆa † kaˆk aˆ † k n |0i. (99) rD_I#LmNww/3zN AˆBˆ = BˆAˆ + h A, ˆ Bˆ i , (100) PaÆ` nˆk aˆ † k n |0i = aˆ † k n nˆk |0i + h nˆk, aˆ † k n i |0i = h nˆk, aˆ † k n i |0i. (101) 44w>w/3zN h A, ˆ BˆCˆ · · ·Mˆ i = h A, ˆ Bˆ i Cˆ · · ·Mˆ + Bˆ h A, ˆ Cˆ i · · ·Mˆ + BˆCˆ · · · h A, ˆ Mˆ i , (102) PNZy(`Æh h nˆk, (ˆa † k ) n i = h nˆk, aˆ † k i (ˆa † k ) n−1 + · · · + (ˆa † k ) n−1 h nˆk, aˆ † k i = n(ˆa † k ) n . (103) PRp; N (101) 4wxv nˆk aˆ † k n |0i = n aˆ † k n |0i. (104) 16
也就是说，这样定义的态的确是粒子数算符的本征态，关本征值为n。 下面我们要确定归一化常数d山。由定义出发，我们有 1n=(o(ak)(at)o〉=(0(as)m-aat(at)m-o〉 =〈0(ae)"-(1+诚a脉)(@t)-0〉=In-1+(0(ae)-1(a诚ax)(a)m-0） =-1+(n-1)0(a)m-1(a)”-o〉 =nln-1=n…(m-1)Lm-2=…=n…(n-1)…2.1…1o. (105) 而1o=00)=1。因此，In=n!. 这样，若我们度 :=川=友ro (106) 则它是归一化的。利用这一归一化条件，我们可以进一步得到 或-时=六网-哥*切=vT:-a+,m V(n+1) 以及 a=)=aaar0=a(ara)m+aa,四 =六，威r网=方0 1 修身 (108) 在这一可导过态中，我们再一同利用了恒等式(100)和恒等式(102). 引入了这些记号之后，我们可以将一个多体玻色粒子态写作 1 ee)=nn…优，0.四 练习一：度 s.=5(C40+Cc,,=元(C40-CtC）,8=2a,-),(110)
!aR[I +yby2Rz`Y_ nˆk yBMb'BMTr n ~w 2)#6[Y dn 0+d w1 In ≡ D 0 (ˆak) n (ˆa † k ) n 0 E = D 0 (ˆak) n−1 aˆkaˆ † k (ˆa † k ) n−1 0 E = D 0 (ˆak) n−1 (1 + ˆa † kaˆk)(ˆa † k ) n−1 0 E = In−1 + D 0 (ˆak) n−1 (ˆa † kaˆk)(ˆa † k ) n−1 0 E = In−1 + (n − 1) D 0 (ˆak) n−1 (ˆa † k ) n−1 0 E = nIn−1 = n · (n − 1)In−2 = · · · = n · (n − 1)· · · 2 · 1 · I0. (105) I0 = h0|0i = 1 ,i In = n! I <w |nk = ni = 1 √ n! (ˆa † k ) n |0i, (106) AaR)#6yw/I#)#6hOwl'^#Sxv aˆ † k |nk = ni = 1 √ n! (ˆa † k ) n+1 |0i = √ n + 1 q (n + 1)! (ˆa † k ) n+1 |0i = √ n + 1 |nk = n + 1i, (107) ' aˆk |nk = ni = 1 √ n! aˆk(ˆa + k ) n |0i = 1 √ n! (ˆa † k ) n aˆk |0i + 1 √ n! h aˆk, (ˆa † k ) n i |0i = 1 √ n! h aˆk, (ˆa † k ) n i |0i = 1 √ n! n(ˆa † k ) n−1 |0i = √ n 1 q (n − 1)! (ˆa † k ) n−1 |0i = √ n |nk = n − 1i. (108) ?I#lu+bZw>#jw/3zN (100) .3zN (102) -;I E-R4wl'P#gO?z`bÆh |nk1 , nk2 , · · · , nkN i = 1 q nk1 ! nk2 ! · · · nkN ! (ˆa † k1 ) nk1 · · ·(ˆa † kN ) nkN |0i. (109) -3 Sˆ x = 1 2 Cˆ† ↑Cˆ ↓ + Cˆ† ↓Cˆ ↑ , Sˆ y = 1 2i Cˆ† ↑Cˆ ↓ − Cˆ† ↓Cˆ ↑ , Sˆ z = 1 2 (ˆn↑ − nˆ↓), (110) 17
或者 (afa+aa)5=(afa-aa),5=(-).() 验证自方另满足律易且系整 [Sa:S3]=icaoS (112) $1.3论色子每体和非体情符们表没前 1.3.1每体情符 积一内多做下成做系中令许多力个下可以即写成下费的形整 () (113) 得如令做系的总零下算符可以即写开 -空-（品+层+品）- (114) 这到令：只开用积与看标：有且的单等成波求置P()造定律后这些算符令 我方有等整 (n1kw,Fy1-m'N）=V(n1nkw,f（g)4r1rN） (115) 成的定 例14余我方以波求置，2k,(m,2,g)上k(,,9)为得定按。义令 我方有 (vk2ka f())=dandqadgs vi2k f(=DiD dadqadqs ×p%,(qm)p%(q2)pi(gs)+p元，(q2)pt(9s)pi(q）+,(qs)p2(q)pi,(g2) xf(g)× ×【P(g)P1(92)p(9s)+Pk1(2)p(93)p(q)+P%(s)p%,(q)p(q2】.(116) 若我方元应一对令比如 dadqadgs pi ()pi(2)i ()f()()k(q2)k2(93) =（i(n)j(（a)(d i(())(d4(1) 18
=H Sˆ x = 1 2 aˆ † ↑aˆ↓ + ˆa † ↓aˆ↑ , Sˆ x = 1 2i aˆ † ↑aˆ↓ − aˆ † ↓aˆ↑ , Sˆ z = 1 2 (ˆn↑ − nˆ↓). (111) Pa ('|N h Sˆ α, Sˆ β i = iεαβγSˆ γ. (112) $ 1.3 %8Æ++) & 1.3.1 Æ+) ?#g~`g|Z{~l'AÆ`~yN Fˆ = X N i=1 ˆf(qi). (113) x:g|yb~_l'AÆh Pˆ = X N i=1 pˆi = X N i=1 h¯ i i ∂ ∂xi + j ∂ ∂yi + k ∂ ∂zi ! = X N i=1 h¯ i ∇ˆ i . (114) Iv∇ˆ i Vh/?6iK ri 1'yqz`Q,Y ϕk(ri) 4I _ w1zN hψnk1 ···nkN , Fψˆ n′ k1 ···n′ kN i = Nhψnk1 ···nkN , ˆf(q1)ψn′ k1 ···n′ kN i (115) `y 1.4: 5w'Q,Y ψk1,2k2 (q1, q2, q3) ψ2k1,k2 (q1, q2, q3) rx;+ w1 (ψk1,2k2 , ˆf(q1)ψ2k1,k2 ) = Z dq1dq2dq3 ψ ∗ k1,2k2 ˆf(q1)ψ2k1,k2 = Df∗ 2Df1 Z dq1dq2dq3 × h ϕ ∗ k1 (q1)ϕ ∗ k2 (q2)ϕ ∗ k2 (q3) + ϕ ∗ k1 (q2)ϕ ∗ k2 (q3)ϕ ∗ k2 (q1) + ϕ ∗ k1 (q3)ϕ ∗ k2 (q1)ϕ ∗ k2 (q2) i × ˆf(q1) × × [ϕk1 (q1)ϕk1 (q2)ϕk2 (q3) + ϕk1 (q2)ϕk1 (q3)ϕk2 (q1) + ϕk1 (q3)ϕk1 (q1)ϕk2 (q2)] . (116) <w8.#C: Z dq1dq2dq3 ϕ ∗ k1 (q1)ϕ ∗ k2 (q2)ϕ ∗ k2 (q3) ˆf(q1)ϕk1 (q1)ϕk1 (q2)ϕk2 (q3) = Z dq1 ϕ ∗ k1 (q1) ˆf(q1)ϕk1 (q1) Z dq2 ϕ ∗ k2 (q2)ϕk1 (q2) Z dq3 ϕ ∗ k2 (q3)ϕk2 (q3) (117) . 18
由于第二个因子为零，故整个积分为零。实际上，不为零的项只有 daidgzdgs pi (2)i(s)pi()f()()(2() (118) dadqdgs pi (s)i()i (2)f()()()(2) (119) 两项。我们计算第一项。 dadqdas pi (2)i(s)i()f(()p(2)(s) =（d4pa(am)flqn)pag)）（dpi(zpgz）(（dgpa(sp%(s） =da pi(n)f(n)ok(n)=fa. (120) 同理，计算第二项后，我们发现它也等于1。因此，我们有 （9k1.2k2,f(q)2k1ka）=2DD1f21 (121) 按照同样的方法，我们可以得到： （k1.2k2,f(92)2k1k）=2D5D1f1=（k1,22,f9g3)21k）. (122) 因此，我们有 (k1,2,f(q)+fq2)+f(gs)21,）=3(1,2,f(q)21).(123) 这一等式是普适的，其证明如下。 为了确定起见，让我们以费米子体系为例.任取一对自由度和。我 们考虑 M三(g6…l[f(g)-fg】) -∫…d六图-1A(em…pam%@%w ×i)-fa六E-l严a(aam)…%a…%a)%.p 10
04} ,`r$N?rKGRryV1 Z dq1dq2dq3 ϕ ∗ k1 (q2)ϕ ∗ k2 (q3)ϕ ∗ k2 (q1) ˆf(q1)ϕk1 (q1)ϕk1 (q2)ϕk2 (q3) (118) . Z dq1dq2dq3 ϕ ∗ k1 (q3)ϕ ∗ k2 (q1)ϕ ∗ k2 (q2) ˆf(q1)ϕk1 (q3)ϕk1 (q1)ϕk2 (q2) (119) }wD_}# Z dq1dq2dq3 ϕ ∗ k1 (q2)ϕ ∗ k2 (q3)ϕ ∗ k2 (q1) ˆf(q1)ϕk1 (q1)ϕk1 (q2)ϕk2 (q3) = Z dq1 ϕ ∗ k2 (q1) ˆf(q1)ϕk1 (q1) Z dq2 ϕ ∗ k1 (q2)ϕk1 (q2) Z dq3 ϕ ∗ k2 (q3)ϕk2 (q3) = Z dq1 ϕ ∗ k2 (q1) ˆf(q1)ϕk1 (q1) ≡ f21. (120) juD_} 4w a!z4 f21 ,iw1 ψk1,2k2 , ˆf(q1)ψ2k1,k2 = 2Df∗ 2Df1f21. (121) ;Gj y wl'xv ψk1,2k2 , ˆf(q2)ψ2k1,k2 = 2Df∗ 2Df1f21 = ψk1,2k2 , ˆf(q3)ψ2k1,k2 . (122) ,iw1 ψk1,2k2 , h ˆf(q1) + ˆf(q2) + ˆf(q3) i ψ2k1,k2 = 3(ψk1,2k2 , f(q1)ψ2k1,k2 ). (123) I#zNR Sy"P:~ r2$N5w'`g|rx8.#a0 qi . qj w j M ≡ hψk ′ 1 ,k′ 2 ,······,k′ N | h ˆf(qi) − ˆf(qj ) i |ψk1,k2,······,kN i = Z dq1 · · · dqN 1 √ N! X Pˆ1 (−1)P1Pˆ 1 ϕ ∗ k ′ 1 (q1)· · ·ϕ ∗ k ′ i (qi)· · ·ϕ ∗ k ′ j (qj )· · ·ϕ ∗ k ′ N (qN ) × h ˆf(qi) − ˆf(qj ) i 1 √ N! X Pˆ2 (−1)P2Pˆ 2 ϕk1 (q1)· · ·ϕki (qi)· · ·ϕkj (qj )· · ·ϕkN (qN ) (124) . 19
积上并中显换乘由相应（即，=，=，然于般，写=，=）， 被我们例里 M≡g5从l[g)-fgl） =六∫…-a6(2）2…p%%) ×）-f-l6刀am…p%ap%a….x =(-1∫d4…dw∑-1i.((小…p吃…吃，w) ×[fg)-fg】∑(-1)(pa(gn…p%,(g）…p%,g）…pw(qw） =-g5,If(g）-f(g)lk2.kx） =-M. (125) 由看我们例里M=0定换句话常，粒并 (g与，广qa,kx）=g名-fg训mk) (126) 项后任用一项乘由相：应9都子立定 下面我们要验证，积粒成数间象中，F可以被写开 f=成an (127) 这里 foa =(palfla)=dqpa(q)f(q)pa(q). (128) 项后单体算符，只可能有两常非零总表元定一常不 (（n1arw,faa,N）=N(naaw,jg)4n1购），(129) 称交为项角元定另外一常不 (n1t1na-l,Fang） =V(at1e-lfg)4n1ee） (130) 20
?NZ9a0 qi . qj (A qi = q ′ j , qj = q ′ i 44> q ′ j = qj , q′ i = qi) Awxv M ≡ hψk ′ 1 ,k′ 2 ,······,k′ N | h ˆf(qi) − ˆf(qj ) i |ψk1,k2,······,kN i = 1 N! Z dq1 · · · dqN X Pˆ1 (−1)P1Pˆ 1(i, j) ϕ ∗ k ′ 1 (q1)· · ·ϕ ∗ k ′ i (qi)· · ·ϕ ∗ k ′ j (qj )· · ·ϕ ∗ k ′ N (qN ) × h ˆf(qj ) − ˆf(qi) i X Pˆ2 (−1)P2Pˆ 2(i, j) ϕk1 (q1)· · ·ϕki (qi)· · ·ϕkj (qj )· · ·ϕkN (qN ) = (−1) 1 N! Z dq1 · · · dqN X ˆ Pe1 (−1)Pe1 ˆeP1 ϕ ∗ k ′ 1 (q1)· · ·ϕ ∗ k ′ i (qi)· · ·ϕ ∗ k ′ j (qj )· · ·ϕ ∗ k ′ N (qN ) × h ˆf(qi) − ˆf(qj ) i X ˆ Pe2 (−1)Pe2 ˆeP2 ϕk1 (q1)· · ·ϕki (qi)· · ·ϕkj (qj )· · ·ϕkN (qN ) = −hψk ′ 1 ,k′ 2 ,······,k′ N | h ˆf(qi) − ˆf(qj ) i |ψk1,k2,······,kN i = −M. (125) 0iwxv M ≡ 0 9e7[zN hψk ′ 1 ,k′ 2 ,······,k′ N | ˆf(qi)|ψk1,k2,······,kN i = hψk ′ 1 ,k′ 2 ,······,k′ N | ˆf(qj )|ψk1,k2,······,kN i (126) 48/#a0 qi . qj `y ~w P?z`YLZ Fˆ l'AÆh Fˆ = X α,β fαβaˆ † αaˆβ. (127) Iv fαβ = hϕα| ˆf|ϕβi = Z dq ϕ∗ α (q) ˆf(q)ϕβ(q). (128) 4qg_Vl 1}[bL8#[R ψnk1 ,nk2 ,···,nkN , Fψˆ nk1 ,nk2 ,···,nkN = N ψnk1 ,nk2 ,···,nkN , ˆf(q1)ψnk1 ,nk2 ,···,nkN , (129) _RrS8m#[R ψnk1 ,···,nki+1,···,nkk −1,···, Fψˆ nk1 ,nk2 ,···,nki ···,nkk ··· = N ψnk1 ,···,nki +1,···,nkk −1,···, ˆf(q1)ψnk1 ,nk2 ,···,nki ···,nkk ··· . (130) 20