即这些波函数满足Dirac-Fermi统计规律。 最后，我们说明一下，为什么要求 卡k2卡丰…卡kN (57 成立。即要求每个单粒子态只能出现一次。这是由于，根据我们的构造法则， 若有=2，则对于…kx(g1,…,qN)中的任何一项 (-1)Pp1(gPa=g)p(qPa=)p(qP3)·pkw(qP】 (58) 我们总可以找到另外一项，它对应于=（位，）户≠户，并且具有形式 (-1)P(-1)p%(g)Pk,(g)ps(gPa·pkw(9P】 (59) 这两项之和为零。重复这一过程，我们可证，当=2时， 1kv(q1,…,9N）三0 (60) 成立。因此，任意一个单粒子态在%1，kv(g1,…,qN)或者不出现，或 者只出现一次。 利用行列式的定义，我们可以将满足Dirac--Fermi统计的多体波函数写作 P,(）Pk(q1）·Pkw(q1) Pk(92）Pz(92)·PkN(g2) (61) (qN)Pk(qN)...Pk(qN) 它被称作Slater行列式. 这样，对于玻色子及费米子，我们得到了N个粒子的一组完备正交归一 基。而一般的波函数(q1,…,qN)可按它们做展开。 显然，这一表象（波函数表象）并不是很方便的。一个自然的问题是，我们 可否引入一个等价但更为简捷的表象来研究全同粒子体系。实际上，我们注 意到，在任意基向量kkw,…,w)中，景重要的是单粒子态，…，kw 11
AI Q,Y Dirac-Fermi kD( f4w[#~rJ , k1 6= k2 6= k3 6= · · · 6= kN (57) `yA ,Æqz`bV d#jIR04 wy# A <1 k1 = k2 A4 ψk1,······,kN (q1, · · · · · · , qN ) Zy8/# (−1)Pˆ ϕk1 (qP(1) = qi)ϕk1 (qP(2) = qj )ϕk3 (qP(3))· · ·ϕkN (qP(N)), (58) wbl'Fvm#a.4 Pˆ′ = (i, j)Pˆ 6= Pˆ N'd1N (−1)Pˆ (−1)ϕk1 (qj )ϕk1 (qi)ϕk3 (qP(3))· · ·ϕkN (qP(N)). (59) I}R.r\I#+bwlPt k1 = k2 I ψk1,······,kN (q1, · · · · · · , qN ) ≡ 0 (60) `y,i8*#qz`b ψk ? ψk1,······,kN (q1, · · · · · · , qN ) =HRd= HVd#j w/Ny+wl'P Dirac-Fermi kDygQ,YÆh ψk1,······,kN (q1, · · · · · · , qN ) = 1 √ N! ϕk1 (q1) ϕk2 (q1) · · · ϕkN (q1) ϕk1 (q2) ϕk2 (q2) · · · ϕkN (q2) . . . . . . . . . . . . ϕk1 (qN ) ϕk2 (qN ) · · · ϕkN (qN ) . (61) aA_h Slater N I 4O?``wxv N z`y#enOR)# > #>yQ,Y ψ(q1, · · · · · · , qN ) l;agBh 4I#LQ,YLNRR2Hy#a4yvfRw l-;#zKs rMWyLs `1jz`g|KGw^ *v?8*>~ ψ(k1,······,kN )(q1, · · · · · · , qN ) Zf\ yRqz`b k1, · · · , kN 11
出。的次数现旦波道了这一信息，我们就可利用，kx(1,…,9)的定 义直接写出它来现因此，一个自然的想法是引入记号 nk,nka,…,nkN）》 (62) 来表示这个态现其中k表示单粒成态P%,在，kw中出。的次数现并要求 nk,+nk+…+nkx=N (63) 子立现显然 ,kx(9h,…,9N)←一|nk1,nka,…,nkw） (64) 是一一对应的现例如，我们可将波函数1k(91,2,9s)写作1=2,2=1)， 而将k12(1,q2,qg)写作lnk1=1,n2=2)现 一个有趣的问题是，记号m,k)与k,,〉是否代表同一个态向对于正 色成，答案是肯定的现而对于费米成，我们被要稍微谨慎一点现按照定义， 我们有 m=1w=1）一k,）=万a倒9%例 1Pk1(q1）p(q1) (65) na=1,n1=1）←一2k(9,92)= 1Pka(9h）P(91) ②pa（gm）pp） (66) 根据行列式的定义，我们有 |nk,nka〉=-nk,nk） (67) 因此，它们并之，等现 如何解决这一问题呢向为此，我们需要引入所谓单粒成态的“产生算符”或 和“次灭算符"”，并定义它们不间的对易关系现 首先，我们引入一个态0，称为真空态现这一称态在波函数表象中并没 有对应现我们要求它归一化，即 (010)=1. (68) 12
dyjY#rQwI#zwalw/ ψk1,······,kN (q1, · · · · · · , qN ) y +SVÆdas,i#a4y R-;E- |nk1 , nk2 , · · · , nkN i (62) sLOIb"Z nk LOqz`b ϕki ? ψk1,······,kN ZdyjYN , nk1 + nk2 + · · · + nkN = N (63) `y4 ψk1,······,kN (q1, · · · , qN ) ←→ |nk1 , nk2 , · · · , nkN i (64) R##.yx:wlPQ,Y ψ2k1,k2 (q1, q2, q3) Æh |nk1 = 2, nk2 = 1i P ψk1,2k2 (q1, q2, q3) Æh |nk1 = 1, nk2 = 2i #1/yvfRE- |nk1 , nk2 i 6 |nk2 , nk1 i RpLj#b4O ?`n<Rpy 4`wA Ap℄F#~;G+ w1 |nk1 = 1, nk2 = 1i ←→ ψk1,k2 (q1, q2) = 1 √ 2! ϕk1 (q1) ϕk2 (q1) ϕk1 (q2) ϕk2 (q2) (65) |nk2 = 1, nk1 = 1i ←→ ψk2,k1 (q1, q2) = 1 √ 2! ϕk2 (q1) ϕk1 (q1) ϕk2 (q2) ϕk1 (q2) . (66) Ny+w1 |nk1 , nk2 i = −|nk2 , nk1 i. (67) ,iaNRz :/YfI#vfriw -;`uqz`by “YG_”ˆa † k . “j_”ˆak N+aRLy('| Vw-;#b |0i _rJqbI#_b?Q,YLZN 1.w ,a)#6A h0|0i = 1. (68) 12
在此基组上，我们可邻义算符话.我们要求，当它作用在真唯态上时，产生 一内下子数为k的单粒子态Pk。即我们有 akl0)=Ink =1). (69) 同时，我们任要求 (k=1ns=1)=1 (70 成立。这一算符称为单粒子态P%的产生算符。 进一步，我们引入湮灭算符k。它由下式邻义 asl0)=0,aknk=1)=l0). (71) 从数学的适度通，这祥两内算符是其轭的。按照邻义，一内算符A的其轭算 符At由恒等式 A2〉=(Atl2) 72) 来确邻.对于k取a,我们有 (0a0〉=(0lnk=1)=0, (73) 以上 (ax0l0)=0. (74) (0ao〉=(ax0lo 75】 成立。另一们面，我们任有 (k=1a0〉=(mk=1mk=1)=1=(aenk=10)=(0l0)=1. (76) 因此，a与或的确让成其轭关系， 现在，让我们来通一下算符=a。事它作用0)上，我们得到 a诚akl0)=0. (77) 13
?i>ewl+_ aˆ † k w ,tah/?JqbIYG #~`Yr k yqz`b ϕk Aw1 aˆ † k |0i = |nk = 1i. (69) jIw8 , hnk = 1|nk = 1i = 1 (70) `yI#__rqz`b ϕk yYG_ ^#Sw-;j_ aˆk a0~N+ aˆk|0i = 0, aˆk|nk = 1i = |0i. (71) kYySiI }_R"ky;G+#_ Aˆ y"k_ Aˆ† 03zN hψ1|Aˆ|ψ2i = hAˆ†ψ1|ψ2i (72) s24 aˆk . aˆ † k w1 D 0 aˆ † k 0 E = h0|nk = 1i = 0, (73) ' haˆk0|0i = 0. (74) $ D 0 aˆ † k 0 E = haˆk0|0i (75) `y#w81 D nk = 1 aˆ † k 0 E = hnk = 1|nk = 1i = 1 = haˆknk = 1|0i = h0|0i = 1. (76) ,i aˆk 6 aˆ † k y25`"k'| ?5wsi#~_ nˆk = ˆa † kaˆk Pah/ |0i wxv aˆ † kaˆk|0i = 0. (77) 13
而将是作趣色态mk=1)及，利方又得到 ataklnk=1）=aI0)=lnk=1） (78) 求此，利方可将k定义为粒所数算符现作趣色一个态及时，它给出该态中单 粒所态k则占据的次数现 为了更为两致地能究时么产际，同否算符，了让利方考虑费米所体系现量 费，利方分别趣C和C表示费米所产际消否算符现 (1)由然色同一个单粒所态及，之能全超过一个费米所存色，利方应全 CLCtlo)=C Ink=1)=0. (79) 求此，利方要函 CiCt =0. (80) 和共统后，利方全 (CICA=CLCk=0. (81) (2)考虑算符 CLCk+CC=Ck.CI 将时个算符作趣色0)及全 CICk 10)+CkCL 10)=C lnk =1)=10). 作趣色nk-1)及全 CICk lng =1)+Ckct lnk 1)=CiCk lnk=1)=CA 10)=Ink=1). 求此，利方很它后地要函 ICk,ci=i. (3)再考虑算符CtCt+CtC现定义 CtCt|o〉=lms=1,ne=1. (86) 14
PRh/?b |nk = 1i w3xv aˆ † k aˆk|nk = 1i = ˆa † k |0i = |nk = 1i. (78) ,iwlP nˆk +rz`Y_h/?#bIa dbZq z`b k AC yjY r r}X| `I YGj_5wj`g|~ wM/ Cˆ† k . Cˆ k LO`YG _ (1) 04?j#qz`bR 1℄+#`l?w.1 Cˆ† kCˆ† k |0i = Cˆ+ k |nk = 1i = 0. (79) ,iw , Cˆ† kCˆ† k = 0. (80) ."k4w1 Cˆ† kCˆ† k † = Cˆ kCˆ k = 0. (81) (2) j_ Cˆ† kCˆ k + Cˆ kCˆ† k ≡ n Cˆ k, Cˆ† k o . (82) PI_h/? |0i 1 Cˆ† kCˆ k |0i + Cˆ kCˆ† k |0i = Cˆ k |nk = 1i = |0i. (83) h/? |nk = 1i 1 Cˆ† kCˆ k |nk = 1i + Cˆ kCˆ† k |nk = 1i = Cˆ† kCˆ k |nk = 1i = Cˆ† k |0i = |nk = 1i. (84) ,iw2a4| , n Cˆ k, Cˆ† k o = ˆI. (85) (3) >j_ Cˆ† kCˆ† k ′ + Cˆ† k ′Cˆ† k + Cˆ† kCˆ† k ′ 0 E = |nk = 1, nk ′ = 1i. (86) 14
因此，我们有 CtCk 10)+Ctck 1o)=Ink 1,nw =1)+Ink =1,ng =1) =nk=1,nke=1)-lmk=1,ne=1）=0 (87) 因此，我们要求 cict+cuct=(ct c=0. (88) 取此式的共轭后我们有 CCw+CkC≡{C,C}=0 (89) (④)最后，让我们考虑C及C的对易关系。同样，我们取一个特殊的态 Ink =0,n =1)=Ck 10). (90) 由于 CtCk Ink =0,nk =1)=CiCeCk 10)=C(1-CiC)10)=CHl0),(91) 以及 CCk lnk =0,n =1)=CCICk 10)=-CCkCA 10) =-(1-)Ct10)=-Ct10). (92 因此，两式相加后有 (CkCk +CrCk)nk =0,n =1)=0. (93) 所以我们要求 CICk+Cck=Ck:C=0. (94) 在以后的计算中，这些反对易关系的正确性由它们的自洽性来验证 一般地，我们定义 C克C克…Ctwl0)三lma=1,ne=1,…,nmkw=1. (95) 15
,iw1 Cˆ† kCˆ† k ′ |0i + Cˆ† k ′Cˆ† k |0i = |nk = 1, nk ′ = 1i + |nk ′ = 1, nk = 1i = |nk = 1, nk ′ = 1i − |nk = 1, nk ′ = 1i = 0. (87) ,iw , Cˆ† kCˆ† k ′ + Cˆ† k ′Cˆ† k ≡ n Cˆ† k , Cˆ† k ′ o = 0. (88) .iNy"k4w1 Cˆ kCˆ k ′ + Cˆ k ′Cˆ k ≡ n Cˆ k, Cˆ k ′ o = 0. (89) (4) f45wj Cˆ† k Cˆ k ′ y('|j w.#dWyb |nk = 0, nk ′ = 1i = Cˆ† k ′ |0i. (90) 04 Cˆ† kCˆ k ′ |nk = 0, nk ′ = 1i = Cˆ† kCˆ k ′Cˆ† k ′ |0i = Cˆ† k 1 − Cˆ† k ′Cˆ k ′ |0i = Cˆ† k |0i, (91) ' Cˆ k ′Cˆ† k |nk = 0, nk ′ = 1i = Cˆ k ′Cˆ† kCˆ† k ′ |0i = −Cˆ k ′Cˆ† k ′Cˆ† k |0i = − (1 − nˆk ′) Cˆ† k |0i = − Cˆ† k |0i. (92) ,i}NI41 Cˆ† kCˆ k ′ + Cˆ k ′Cˆ† k |nk = 0, nk ′ = 1i = 0. (93) `'w , Cˆ† kCˆ k ′ + Cˆ k ′Cˆ† k ≡ n Cˆ† k , Cˆ k ′ o = 0. (94) ?'4yD_ZI Æ('|yO20aya%s P #>|w+ Cˆ† k1Cˆ† k2 · · · Cˆ† kN |0i ≡ |nk1 = 1, nk2 = 1, · · · , nkN = 1i. (95) 15