因是,<R2>本身是热力学意义上的一种涨落。热力学论据适用的 量是<R>,根据(2.121)式,它可以写成 R>=∑<(1k)=N<吵> (2.1.30) 不过这时<υ>≡0。但是,如果我们考虑一个“带偏向的”随机行 走,它在一个特定方向上走一步的概率要比在其他方向上的概率 高,使得<υ>≠0,我们就会有 R>2=N2<>2><R2)-<R>2cN, 并得到标准的热力学关系式 <(8R)2>/<R>2c1/N。 对于自回避行走,分布函数pn(R)不是一个简单高斯函数, 但是同样的性质 <R4>rm0<R2>2 仍然成立(不过不再有一个简单论据以得出比例因子了)。于是再 次得出相对误差与N无关,即没有自平均作用。 除了这些随机行走型问题和其他非热学问题如逾渗120(它 将在第2.3.1节中按另一线索讨论)之外,简单的随机抽样技术对 计算像(217)式那样的热平均并不怎么有用。例如,考虑 (2.1.7)式中的A(x1)为哈密顿量知(x1)本身的情形。这时 (2.1.23)式意味着相对涨落 (22r-<》)人1/N, 这又意味着每个自由度的能量E的概率分布 P(E)=1 dxs(8(x)-NE)exp[-a(*/kBT 2.1.31) 有很陡的峰,这是因为我们还可以写
<8>=n Ep(e)dE, < 2>=N2 Ep(e)dE (2.1.32) 因而p(E)必定在E=<7/N附近有一个高度为N,宽度为 1/√N的峰。事实上,可以证明,在远离二级相变或一级相变的 地方,卩(E)实际上仍是高斯函数201 p(E)ocexpl (E-<8>r/N) 2ckRT (2.1.33) 图23示出这个概率分布(E)的轮廓图。而一个简单抽样实际上 意味着按一个在E=0取峰值的概率分布p(E)产生相空间点{x (对(2.1.1)-(2.1.3)那样的模型而言,其r=∞=0),P(E)仍 为宽度为l√N的高斯分布。因此如果用简单随机抽样方法来产 生状态,那么产生出E在<>/N附近的状态的概率随E按负指 I/N\ )/N 图2,3归一化能量E的概率分布P(E)。右边的曲线(峰值在B=0) 是对相空闻点{x}作简单抽样所产生的概率分布P(B)(注意对子 自旋模型例如I8ing模型(2.1.1),有正E的状态和有负E的状态以 同一概率产生)。左边的曲线是在一个有限温度T下的正则系综中实 际出现的概率分布p(B),注意这两个概率分布当N大时仅在它们的 侧翼上有一点点重叠 20
数减小(由于这个原因,式(2.1.22和(2124)在T<时是没有 实际用途的,除了很小的N值之外)。因此我们需要有一个效率 更高的方法,它不是完全随机地对平均值(2.17)式中包括的各 个位形x进行抽样,而是优先从相空间中在温度T下为重要的那 区域中对x1进行抽样。设我们考虑一个抽样过程,过程中根据 某一概率P(x1)选取相空间点x1.然后取这一组{x1)来求热平 均,(2.1.7)式便换成 exp[-a(x )/kBTJA(2/P(xn) A(x)= exp-8(x1)/k71P(x1) (2.1.34) 2,1.6重要性抽样 (2.134)式中的P(x2)的一种简单而且最自然的取法是 P(xi)acexp[-(rr)/BT]: 这时 Boltzmann因子完全相消,(2.1.34)式化为简单算术平均 A ()=NEAC (2.1.35) M 现在的问题当然是要找到一种抽样方法,来实际实现这个所谓重 要性抽样(2.71. Metropolis等人1提出了下述想法:不要彼此 独立无关地选取相继诸状态(x2},而是建造一个 Markov过程, 过程中每一状态x11前一个状态x1通过一个适当的跃迁概率 W(x→x1+1)得到。他们指出,有可能这样选取跃迁概率W,使 得在M→的极限下, Markov过程产生的状态的分布函数P(x1) 趋于所要的平衡分布 Pea(r) ex (x 2.1.36) 2
达到这一点的充分条件是加上细致平衡条件 Pq(x1)W(x1→x1)=Pq(x1,)W(x1,→x) (2.1.37) 上式意味着,变迁x1→x1,的跃迁概率和反方向的变迁x1,→x1 的跃迁概率之比,只依赖于能量变化8=洸(x1)-(x1), wG =exp(- (2.1.38) W(x,→x1) (2.1.3)式显然并不唯一地规定W(x1→x1,),W的显式形式的 选择仍然有某些任意性。两种经常使用的选择是12.8=20 W(x1→x1,)= 1-tanh 8 2k T 1 exp(-88/B (2.1.39a) Ts [1 +exp(-88/kBT 或 exp(-8第/kT),8>0 W (2.1.39b) 其他, 其中r。是一个任意因子,暂时可以取它为1(后面在我们讨论 蒙特卡罗过程的动力学解释2-2.01时,我们将取v为“蒙特 卡罗时间”的单位,并把W叫做“单位时间的跃迁概率”) 虽然容易验证(2.1.39)满足(2.1.37)和(2.1.38),但 是还需要证明,用(2.139产生的状态序列x1→x1,→x1…的 概率分布P(x)实际上收敛到(2.1.36)式的平衡概率P(x1) 证明这一点的一种常用的而言之成理的论据如下:设我们考虑同 时有许多个这样的 Markov链,在过程中给定的一步,有N个 22
系统在状态「,N个系统在状态s,等等,并且x(xr)<B(x:) 用随机数可以产生变迁xx,这将在下面讨论。若不考 虑能量变北8,这些变动的跃迁概率应当是对称的,即 WF0(x,+x:)=Wb0(x8xr).有了这些“先验的跃迁概 率”Wb0,容易建立符合(2.1.37)和(2.1.38)式的跃迁概 率,即 s)=w xr→X,)exP(-8C/kT) =WF=0(xr→x) -[x(x)-(xr)]/B (2.1.40a) W8r=(x≯xr)=W60(xr→x (2.1.40b) 在 Markov链这一步,从x,到xa的跃迁总数Nr为 Nw(x Newar=o( Dexp(-[a(*.)-d(*, )J/BTH (2.1.41a) 而反向跃迁的总数为 N N。W(x。→x) (21.41b) 于是净跃迁数△N,→。为 △N exp[ -(,)/kBT Nrw (Er/kBr N:-) (2.1.42)式是此论据的最重要的结果,它表明,这个 Markov过程 的确具有我们想要的性质,即状态出现的概率正比于(2.136) 23