量x,而不是一个高维矢量x)的认准常规做法不同,在这里根 据一个规则点格来选择各点xt是没有意义的,反之我们必须随 机选取xt。为了更细致地理解这一点,让我们考虑(212)式中 定义的XY模型作为一个例子。因为在每个座点i上(S)2+ (S!)2=1,写成 S7=cos;,S=sinp:,0≤9;<2π。 并取角度91作为描写各自由度的变量将会带来方便。于是dx 就意味着∏J。d,现在让我们进一个由 g=(:/p)·2π,y;=1,2,…,p, 定义的规则点格,其中p是一个描写点格特征的整数。显然这个 格子中所用的点的总数是p,当N大时这是一个非常大的数, 即使p相当小也不可能在实际中使用。除了这个困难之外还有一 个问题:即使我们能够用合理大小的p值工作,这样选取的点几 乎全部都在积分区域超立方体的表面上,其内部几乎没有点。由 于在超立方体的任何一个格子方向上有p个格点,其中有卩-2个 点在立方体内部,因此内部点所占的总份额为 (p-2)/p]=(1-2/p)x exp: N log(l P 如果我们用计算机内的“随机数发生器”所产生的“伪随机数” 来随机地选取点x1,就会得到一个好得多亦即均匀得多的格点 分布。正是由于用了随机数,使这个方法得到了蒙特卡罗*这 名称!实际上,由(2.1.7)式描述的方法是多种蒙特卡罗方法中 的一种型式,即简草抽样蒙特卡罗方法。 蒙特卡罗( Monte carlo)是摩纳哥公国的有名赌城 译者 9
2.1.3随机行走和自回避行走 作为曾经实际使用过并且仍然在继续使用简单抽样技术的那 类问题的一个例子,我们要提到对点格上自回避行走(sef-avoi ding walks,简写为SAW)问题的研究,参看文献[2.1]。这种 自回避行走是用来作为溶液中长而柔顺的大分子的大尺度性质的 模型22-2.41,用简单抽样蒙特卡罗方法研究这类随机行走问题 既有优点又有缺点,对这些优点和缺点作一番讨论是很有教益 的,因此下面我们暂时偏离正题对随机行走问题作一简短介绍 图2.1示出在方形点格上的不同类型的随机行走。一共有四 种不同的矢量φ(k)把一个座点同它在点格上的最近邻相连接(格 子间距取为1): 141 1819 12-+3 1920 10 112 RW NRRW SAWs 图2.1(a)方格子上一次长22步的无限制的随机行走(W);(b)一次不 退行的随机行走(NRRW);(c)两次自回避行走(SAW),座点按照它们 被访问的次序编号,带箭头的键是用随机数依次选定的,点格座点上的黑 点代表聚合物链上的单体
U(1)=(1,0),v(2)=(0,1), (2.1.8) U(3)=(-1,0),v(4)=(0,-1) 个产生简单的(无限制的)N步随机行走的算法如下 算法2.1随机行走 i)取r=0(坐标系原点),并令k=0 i)取一个在1和4之间的随机整数vk i)把k换成k+1,并令rk=rk-1+U(k-).}(2.1.9) iv)若κ=N,令rk=R(行走的起点到终点的 距离,以下简称端距);否则回到第(i)步 用这个算法产生的一个N=22的行走的例子如图2.1(a)所 示;随机行走的产生将在第3.2.1节中更详细地研究。在这里我 们只注意一点:对于配位数为2的一个点格,这样的(不同的)随 机行走(RW)的总数ZN为 (2.1.10) 如果这种随机行走是作为一个聚合物链的模型,那么ZN便是聚 合物的配分函数(在没有任何相互作用时,聚合物链的所有位形 有完全相同的统计权重) 虽然算法2.1可能是固体中漂移导电性或其他理想点格上的 扩散过程的一个合理的模型,但是它并不是溶液中的聚合物的 个良好的模型。这倒并不是因为它使用了一个点格结构来模拟一 个大分子的构形这一不现实的做法,而主要是因为,它忽略了体 斥效应(一个单体占据了一个座点,则这个座点上不能有其他单 体)这一相互作用。和实际聚合物不同,图2.1(a)中的随机行走 自己会同自己交又,刚走的一步也可能会同上一步叠合。后一点 可以通过定义一个不退行的随机行走( nonreversal random walk 简写为NRRW)来消除,所谓不退行的随机行走,就是禁止在每 一步行走后立即倒退。我们可以为这种NRW定义出一种算法 如下。对矢量D(k)引入某种“周期性”边界条件 11
D(±4)=() (2.1.11) 并把(2.1.9)中的第(i)步修改为(通过引进一个保留一步的记 忆):当k>1时 i)从一组三个数{k-1-1,"k-1,k-1+1}中随机地选出 个,并取它为"k (2.112) NRRW的另一种实现方法同(219)相同,但是第(i)步产 生的“k若卩(吵k)=U(k-1+2)则弃去,有必要时用2.1.11)式, 再重复第(i)步。使用这个方法,用产生出图2.1(a)中N=22的 RW的同样的随机数将产生出图2.1(b)中N=19的NRRW。从 (2.1,12)我们知道 NEw=(2-1) (2.1.13) 现在,读者应当做完第3.2.2节的作业,通过实际工作得到对 NRRW的深刻理解。显然,NRRW算法得出的链式结构仍然会 自相交,前面讲过,这一点同真实的大分子结构在性质上不符 合,我们可以改变算法产生自回避行走(SAW)以代替NRRW,办 法是在(2.1.9)内的第(i)步和第(iv)步之间增加进一步的条件: i)如果rk通到本次行走已访问过的一个座点,那么停止 建造过程,回到(i),一切从头再来一次 (2.1.14) 经发现,这时的组态总数不再是(21.10)式或(2,1,18)式中那样 的简单指数形式,只有在N→∞的渐近极限下才有一个较简单的 形式成立,即使在这种情况下还包含一个幂律形式的改正项 ZaW M△Nry-zt, eff ≤z-1.(2.1.15) 注意y是一个临界指数,并且有效配位数z一般不是整数(只有 当z=2时,即一维点格情形,zr=z-1)。对于三维点格情形, 不论γ还是zsr都不能用解析方法精确算出;因此,在估算描述 SAW统计性质的这些参量时,蒙特卡罗方法起着重要的作用 图2.1(c)表明,用来建立RW或NRRW例子的那些随机数, 12
若用来建立SAW,在第5步上就会使它结束。因此根据(2.1.14), 这次建立SAW的尝试是不成功的,需要再试一次。显然,当N 大时,大部分尝试不会成功。我们可以估算出成功的尝试所占的 份额(即一个N步的NRRW是自回避的概率x),这只要取各自的 配分函数的比就行了: ZAW ZNRRW N N expl -N In-I +(y-1)ln (2.1.16) ff 于是,当N大时,成功地得到SAW的概率随N以指数速度减小 这种效率低下的情况称为损耗( attrition)问题。因此,SAW的这 种简单的随机抽样方法的实际应用只限于N≤100。请看图2.2作 为一个例子。这个例子中考虑一个作了某些推广的问题:除了体 斥相互作用之外,如果两个单体占据格子上的最近邻座点,还加 进一个吸引能(-ε,E>0)。这时,我们有兴趣研究链的内能 <">和链的平均线度(比如<R2>)同约化温度kT/E的函数关系, 因为当N→∞时在T=0发生链的所谓拢缩( collapse)转变122:3): 对于T>6,链的线度比简单随机行走所成的链的线度要“胀大” 些,后者简单地是 <R>FW=N (2.1.17) 而取代(2.1.17)式;对于自回避行走,我们有一条含有另一个临 界指数()的规律 R2>∞N2,≈0.59,N→C。(2.118) 由于单体之间有吸引能,链在T<θ时“拢缩”,即取一个由下 式描述的更紧密的位形: <R2>号A∞N23,N→∞, (2.1.19) 13