双参数曲面族的包络与单参数曲面族的二次包络

D0I:10.13374/j.issn1001053x.198M.01.026 北京钢铁学院学报 1984年第1期 双参数曲面族的包络与单参 数曲面族的二次包络※ 数学教研宣 冯德坤 工程图学教研室马香峰 摘 要 木文主要讨论以隐式及参数式给出的双参数曲面族的包络和单参数曲面族的 二次包络，以及这两种包络之间的关系，从而得到了通过求双参数曲面族的包 络去求出单参数曲面族的二次包络的简便方法，和与此等价的其他包络条件。 一、双参数曲面族的包络 1.曲面族为隐式表示 设双参数曲面族的隐式表示为 {Zat F (x,y,z,a,t)=0 其中，a与t是相互独立的参数。若{{t}}的包络存在，则对于M(x,y,z)∈， 有曲面族中的一张曲面∑at在点M与相切，M点由(a,t)唯一地决定，即 (x=x (a,t) y=y (a,t) (1-1) z=z (a,t) 将(1一1)代入{{∑at}}的方程，得恒等式 F (x (a,t),y (a,t),z (a,t),a,t)=0 分别对a,t求偏导数，有 「F+0F.+F.0+F=0 0x da dy da a oa 服·++·+=0 oy ot 由于积，85,8}是曲面在M点的法向盐，面停080,8船}和 oF oF {祭，8，}是包络：在M点的©曲线和曲线的切向量，法向量与切向量的点积应为零， 此文是为九八四年八刀召开的“国际工程图学会议”提供的论文“确定共矩曲面的包络法及其在轧钢生产 中的减用”中解析部份的主要内客。 131

北 京 钥 铁 学 院 学 报 年 策 翔 双参数 曲面族的包络与单参 数 曲面族的二次包络 兴 数学教研 室 冯德冲 工 程 图学教研 室 马 香峰 摘 要 木文 主 要讨论 以 隐式及参数式给出的双参数 曲而族 的包络和单参数曲面族 的 二 次 包络 ， 以及这两种包络之 间的关系 ， 从而得到 了通过求双参数 曲 面 族 的 包 络 去求 出单参数 曲面族的二 次包络的简便方法 ， 和 与此等价的其他包络条件 。 一 、 双参数曲面族的包络 ， 曲面 族为隐式表示 设 双参数曲面族 的隐式表示为 艺 ‘ ， ， ， ， 其中 ， 与 是相互独立 的参数 。 若 艺 的包络云存在 ， 则对于 ， ’ 有 曲面族中的一张曲面 艺 在点 与官相切 ， 点由 ， 唯一 地决定 ， 即 ， 嘴 ， ， 将 一 代入 艺 的方程 ， 得恒 等式 ， ， ， ， ， ， ， 分别对 ， 求偏导数 ， 有 〔 万 ， 一 口 口 、 口 口 上 日 日 、 口 。 一 人 一 一代万一一 刁「 ‘ 二犷一 「 一 万— 八 一 一 ， 盆 一 “ “ “ “ “ “ ‘ “ “ “ “ 器 · 器 豁 一豁 ‘ 一 豁 · 鬓 一 十 即 ” 由于 黔 雾 ， 言舟 是 曲面 “ 在“ 点的法 向量 ， 而 豁 胀 一 黔 和 口 口 、 、 ， 。 、 。 、 ‘ ， “ ‘ 。 “ “ ，的 、 。 、 、 ‘ 、 ， 。 “ ， 二 ，‘ 、 万丁 ， 习 、 ， 月 ‘ 一 龙 也输 写 位 风 四 阴 坟 和 四 城 四 切 川 里 ， 子衣 叫 甩 刁 叨 卫区 四 品 公飞刀艺 刀 闷卜 ， 、 以 口 夕 此 文 是 为 一九八 四 年八 月 召开的 “ 国际工 程图 学 会议” 提供 的 论文 “ 确定共辘曲面 的 包络法及其在轧钢生产 ‘子 ，的应用” 中解析部份的主要内容 。 了苏了 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1984．01．026

故有包络条件为 F da =0 aF at .=0 则包络Σ的方程可表为 F (x,y,z,a,t)=0 o da F (x,y,z,a,t)=0 (1-2) 9F(x,y,z,a,t)=0 2.曲面族为参数式 设在坐标系S2中，曲面参数为(u,v)，双参数曲面族的参数式为 (x2=x2(u,V,a,t) {2a)}:{y2=y2(u,v,a,t) (1一3) z2=22(u,v,a,t) 向量方程为2)=2)(u,v,a,t) 若{Σa)的包络艺存在，则对于任意的(a,t),必有族中曲面2a与Σ在点 M(u,v)相切，也就是(u,v)由(a,t)唯一地决定，即 且88，}*0 u=u(a,t) (1一4) v=v (a,t) 满足(1一4)的点(u,v)都是Σ上的点(a,t),因此，包络Σ的向量方程为 2)=2)(u(a,t),y(a,t),a,t) (1-5) 由于过M点的2a与2的参数曲线的切向量Y:u,2v,2a,c2t都落在M点 的公切面上，则 第一、2)u×r2~⊥2a,2u×02y⊥2北。有包络条件为 f（u2u,c2y,2a)=0 1（02u,02y,2t)=0 (1-6) 第二、2a×:2t⊥广2)u,c2a×2tLr2y,同样有包络条件为 (r2a,2t,2u)=0 (rf2a,2,f(2v)=0 (1一7) 由(1一5)可得 ra=n8般+y88+3a da (1-8) 2=(2)u+2yy+2 :果令 132

故有包络条件为 ” ” 一日口一 己， ， 、 则包络玄的方程可 表为 ， ， ， ， 口 口 ， ， ， ， 二 一 口 。 ， 于 一 气 ， ， ， ， ‘、 一艺 曲面族为参擞式 设 在坐 标系 中 ， 曲面参数为 ， ， ， ， 双参数曲面族的参数式为 ， ， ， ， ， ， 一 、护 ，﹄‘， 一一 艺 ， ， 向量 方程为 宁 飞于 “ 〕 ， 下 、少一了、、了 矛 ‘ ︸吞、 若 艺川 的包络玄存在 ， ， 相切 ， 也就是 ， ， ， 则对于任意的 ， ， 必 有 族 中 曲 面 艺 与 艺在 点 由 唯一 地决定 ， 即 ， 且 ， ， 口 一 一 诊矛 满足 一 的点 ， 都是艺上的点 ， ‘ 、声，八 钾 节 节〔 吕 ， ， ， 住 ， 因此 ， 包络玄的向量 方程为 一 由于 过 点的艺。 与艺的参数 曲线的切 向量 宁 ” ， 一 护 ‘ ’ ， 打 艺 ’ ， 节“ ” 都落在 点 的公切面上 ， 则 第一 、 犷‘ ” 了 ‘ ” 、 一 宁 ” ， 犷〔 ‘ ’ 节“ ’ 一 节 ” 。 有包络条件为 ‘夕 ’ ， 了 ， ， 节 “ 节 、 “ 〕 ， 犷 ，多 〕 ， 节 ’ 二 一 月 第二 、 一宁〔 ’ 义 一 ‘ ， ’ 土广 ’ ’ ， 扩 ·， ’ 字 ’ 一 ‘ ’ ， 同样有包络 条件为 犷‘ ’ ， 扩‘ ’ ， 犷 ’ 犷 ’ ， 犷 ， 一 钧 一 可 得 犷 节 、 〔 〕 · 器 、 · 言二、 《 一鬓 一 。 · 瓮 扩 ’‘ 一 产巨 ‘、 如果 令 了

中1=(2u,2vi,2a),Φ2=(rc2u,2y,rf2) (1一9) 中3=（r2u,r2a,r2),Φ4=(r2y,r2a,2) 将(1一8)代入（1一6)与(1一7)，可得两组包络条件为 ∫φ：=0 1中2=0 (1-10) 和 「4：股-◆8贺+=0 (1-11) 器+，股+4=0 显然，将(1一10)代入(1一11)，可得 (φ3=0 中4=0 (1-12) 反之，由于号8；}*0，将1-12代入1-1D亦可得1-10》： 从几何意义来看，四个切向量：，)，名，中的任意两个的叉积均与其 中之一相垂直。因此，对于中i=0(i=1,2,3,4),只要任取其中的两个不同的方程都 可依作为曲面族{（Σa})的包络条件。故双参数曲面族的包络Σ的普邀方程（参数式） 可表为 2J=2)(u,v,a,t) φ1=0 (1一13) 中=0 (i,j=1,2,3,4i+j) 推广之，由于中：=0，则对于中：的任何两个不同的线性组合等于零，都可以作为曲面 族{∑a}的包络条件。 二、单参数曲面族的二次包络 3.母面为隐式 若母面Σ由隐式给出，以α为参数变化（或运动）所形成的单参数曲面族设为 {∑a}: f(x1,y1,z1,a)=0 据文献〔2)，此时一次包络Σ的方程为 f(x1,y,z1,a)=0 S xy,2,a)0 (2-1) ◆ 今使Σ再以t为参数变化（或运动），即作一变换 X1=X1(x,y,Z,t） yi=y:(x,y,Z,t) (2-2) z1=2!(x,y,z,t) 代入(2一1)就得到以Σ为母面的单参数曲面族 133

中 ， 二 宁‘ ’ ， 字 ’ 节 ， ‘ ’ ， 中 ” ， 扩 ’ ， 下 ’。 中 一 ， ， · ， 。 ， 中 。 ， ， ， ， 扩 ，， 将 一 代入 一 与 一 ， 可 得两 组包络条件为 一 一 ︸甘 小妇，人吸 一 甲工 ‘产、 ‘ 豁 一 。 瓮 。 一 ‘ 鬓 。 鬓 十 。 ‘ 。 一 ‘，产， 、 显 然 ， 将 一 代入 一 ， 可 得 一 八︸ 口伪口 一 甲工工 ‘ 反 之 由于享舞 一 豁 “ ” ， 将 一 代入 一 亦可得 一 。 从几何意 义来看 ， 四 个 切 向量户 若’， 创 矛’， 了‘ 矛’， 子‘ 矛’中的任意两个的叉积均 与 其 中之 一 相垂 直 。 因此 ， 对 于 如 ， ， ， ， 只要任取其中的两个不 同的方程都 可依作为 曲面族 艺 的包络条件 。 故双参数 曲面族的 包络 艺的 普 追 方 程 参效式 可 表为 了‘ ， ， 一 ， ’ ， ， ， 小二 小 ， ， ， ， ， 奔 一 专 、 推广之 ， 由于 小 ， 则对 于 小 的任何两 个不 同的线性组合等于零 ， 都可 以作为 曲面 族 艺 的包络条件 。 二 、 单参数曲面族的二 次包络 母 面 为隐式 若母面 艺由隐式 给出 ， 以 为参数变化 或运 动 所形成的单参数 曲面 族设 为 卜 艺 据文献 〔 〕 ， ， ，， ，， 此 时一 次 包络艺的方程为 ， ，， ，， 芝 口 一 羞 三 ，， ， ，， 口 一 ” 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 今使兮再 以 为 参数变化 或运 动 ， 即作一变换 ‘ 二 ， ， ， 谧 ， ， ， ， ， ， ，， ， 代入 一 就得到以葱为母面的单参数曲面族 一

F(x,y,2,a,t)=0 {): F(x,y,2,a,t)=0 (2一3) 其中 F(x,y,z,a,t)=f〔x1(x,y,z,t),…,a) a为儿何参数。 设中0，从(2-3)的邻二式解得a=a(x,y,z,)并代入第一式，得参数为 t的单参数曲面族的隐式表示为 F (x,y,z,a (x,y,Z,t),a)=0 假定它的包铬Σ存在，则称为单参数曲面族{∑“}的二次包络，包络条件显然为 品F=0,由于 品-器+职0 Oa at'at 注意到 =0, 得 t ,=0。因此，二次包络Σ的方程为 (x,y,2,a (x,y,2,t),t)=0 (x,y,z,a,t)=0 (2-4) 由于(2一4)的第一式由(2一3)变来，故有单参数曲面族二次包络Σ的隐式表示为 F (x,y,z,a,t)=0 9aF(x,y,,a,t)=0 (2-5) (x,y,z,a,)=0 at 4.母面为参数式 设母面Σ与坐标系S2相固连，它的参参表示为 x2=x2(u,V) : y2=y2(u,v) (2-6) z2=z2(u,v) 今使Σ以参数α变化（或运动)，变换为 X2 X1 y2 =C(a) yI (2一7) Z2 Z1 1 其中，C(α)为四阶非奇异方阵，它的元素是α的函数，视母面形状和位置的改变而定。 如果Σ只有位置的改变而无形状的变化，则C(α)就是通常的坐标变换矩阵。将(2-7) 代入(2一6)，得单参数（α）曲面族的矩阵表示为 134

， ， ， ， 口 。 ， 而 气 ， ， ， ， 一 尹考 、 、 艺一 、 其中 ， ， ， ， 〔 ， ， ， ， ， … ， 为几何参数 。 ， ， 皿 ， ， ， 。 、 二 一 、 一 ， 。 ， 、 、 二 ， 、 、 、 ，。 ‘ ， 、 ， 议万二菠 、 午 ， 从 以一 ， 句 习 一 八腆份 ， ， ， ， 少州 芍入 弟 一 武 ， 甘 铸 得 多致刀 的单参数 曲面 族的隐式 表示为 ， ， ， ， ， ， ， 假定它的包络艺存在 ， 则称艺为单参数 曲面 族 叉“ 的二 次包络 ， 包络条件显 然为 新 。 ， 由于 口 二 口 口 口 三了 葺二 二 二， 十 不丁 口 ‘ ， 口 ‘ ， 。 口 。 ， ， 、 。 ‘ 。 、 一一 、 ， 仕 忍到品 “ ， 仔买 ” 。 困 一 伏 包阶 二 困 力 性刀 贾 ， ， ， ， ， ， ， 二 艺 瓷 · ， ， ·， · ， 。 一 由于 一 的第一式 由 一 变来 ， ， ， 口 。 ， ， 而 气 ， ， 一 优 ， 住 故有单参数曲面族二 次包络艺的隐式表示为 一 口 。 ， 飞汀 气 ， ， ， ， 产、 ︶艺 。 母面为参数式 设母面艺与坐标系 相固连 ， 它的参参表示 为 ， ， 一 今使万以参数 变化 或运 动 ， ， 变换为 气‘了、‘飞 尹， 艺 一 ，‘二，‘ 口、矛 声、 一 、 ，白 一 其中 ， 为四 阶非奇异 方阵 ， 它 的元素是 的函数 ， 视母面形状 和位置的改变而定 。 如果艺只 有位置 的改变而无形状 的变化 ， 则 就是通常的坐标变换矩阵 。 将 一 代入 一 ， 得单参数 曲面族 的矩 阵表示为 卫

X: x2 (u,v) y y2 (u,v) =C(a)1 (2—8) Z2 (u,v) 1 、1 向景方程为 F=)(u,v,a) 据文献〔2)推之，一次包络Σ的方程为 (=F)(u,v,a) A=(ru,rv,ra)=0 (2-9, 设Aa+0,从A=0中解出a=a(uv),则Σ可表为 r)=r1)(,,a(u,v)） 公： A(u,v,a(u,v))=0 再让：以参数t变化（或运动)，变换为 XI x2 y =B(t) y2 (2-10) 21 22 1 1/ 有 X2 X1 y2 =B-i(t) y 22 Z: 1 其中，B(t)是与C(α)相仿的四阶非奇异方阵。这样，以包络Σ为母面的单参数曲面族的 参数表示为 2=2)(u,v,a(u,v),t) 我们也假定它的包络二二次包络存在，再并使用〔2〕的包络条件，可得之的方程为 =(u,v,a (u,v),t) 总，{b=u,2v,2)=0 (2-11) 但是，上式的方程是不含α的，使用上不方便甚至不可能。为此，将(2一10)代入 (2一9)的第一式，得到用两个方程表示的Σ为母面的曲面族 {0 再由(2一11)的第一式分别对u,v,t求偏导数 r)=r)+r). )=r+).0a av =) 并代入第二式，注意到(1一9)，有 185

‘ “ ’ 一 ‘ ， ， ， 一 ︸占皿‘ 玉 飞 向 一 录方程为 据文 献 一二卜 、 〔 〕 推之 ， ‘ 〕 ， ， 一 次包络芝 的方程为 二 、 二 ‘ 艺 〔 ‘ ” ‘ 〕 ， ， 一 、 ’ 、 ， 〔 ‘ ， 〔 ‘ 二 一 设 今 。 ， 从 中解出 么 一 、 〕 入 ， ， ， 。 ， 二， 则艺可 表为 ， 再让 艺 以 参数 变化 或运 动 ， 二 ， 变换为 产、 艺 为幻 砚 一 有 二 一 … 、沪 … 卫 ‘，‘曰， 卜 与 其中 ， 是 一 与 相 仿的 四 阶非奇异方阵 。 这 样 ， 以包络毖为母面 的单参数 曲 面 族 的 参数 表示 为 李 介 幻 ， ， 。 ， ， ， 我们也假定它 的 包络艺三三 二 次包络存在 ， 再并使用 可 得艺的方程为 一 盏 一、 ， ， ， ， ， ， 〔 〕 的包络条件 之 、 一、 ” ， 〔 ， 〔 ， 一 朴 子退 、 勺︶ 陌 卜 但 是 ， 上 式 至的方程是不含。 的 ， 使用上不方便甚至不 可能 。 为此 ， 将 一 代入 一 的第一 式 ， 得到用两个方程 表示 的艺为母面 的 曲面 族 盏 一立‘ 〕 幻 ， ， ， 日为 ， 〕 。 厂 一 、 “ ， 勺石、 、 ’ ， ， ’ 再 由 一 的第一 式分别对 ， 日、 求偏导数 盏 〔矛” 、 仁 〕 〔矛〕 岛 已 矛〕 矛 约 口 口 口 一 日 矛 ‘ 、 ﹃ 人 ‘ 、 卜么 并代入第二式 ， 注意到 一 ， 有 工