D0I:10.13374/i.issm1001-053x.1979.01.009 计算连续加热炉内板坯加热温度的一种方法 冶金炉教研堂李有章 摘 要 本文用解析方法提出计算连续加热炉内板坯加热温度的一个数学式，对于任意一座炉型 的板坯连续加热炉而言，根据具体情况确定此式待定的有关参数与系数后，可供用计算机控 制该加热炉作数学模型使用。 一、所用符号說明 钢材的导温系数； Bi 比欧数， Bi=a 219 b、c、g: 待定系数； Fo 傅里叶数， F0=, H 板坯厚度； 加热炉i炉段长，例如对三段式炉而言，i=1予热段，1=2加热段， i=3均热段； Li 加热炉有效全长； P P=P(Bi); Tr 炉温，元，为时均炉温，T,为基准炉温； T6心 板坯加热最终温度； Tso 板坯装炉温度； 时间； 板坯移动的平均速度， u 对流换热系数； UK K=1、2、3、4数模幂指数； B, l=1,2,3,…19数摸系数5 入 钢材的导热系数； CI 待定幂指数与系数： TI 板坯还全在炉时间； △TE 板坯在i炉段的时间，i=1,2,3同炉段长说明。 99
计算连续加热炉 内板坯加热温度的一种方法 冶金 炉 教研 室 李有章 摘 要 本文用解析方法 提 出计 算连续 加热炉 内板 坯加 热温 度 的一 个 数学式 , 对 于任 意一座 炉型 的板 坯连 续加热 炉而 言 , 根 据具体情 况 确定 此式 待定 的有关 参数 与系 数后 , 可供 用 i } · 算机控 制该加热 炉作数 学模 型使 用 。 一 、 所 用 符 号 锐明 钢材 的导 溢 系数 ; a H 2 入 b 、 e 、 g : 一a4H F 比 欧数 , B i 待 定系数 ; 傅 里叶数 , 板坯厚 度 ; 加热 炉 i 炉段 长 , 例 如对三 段式 炉而言 , i = 1 予热 段 , i 二 2)J 口热段 , 二 3均 热段 ; 加 热炉 有 效全 长 ; F 二 P ( B i ) ; 炉 温 , 勇 , 为时 均炉 温 , ` r f 为基准 炉温 ; 板坯 加 热 最终 温度 ; 板坯 装炉 温度 ; 时 间 ; 板坯 移 动的平均 速度 ; 对流 换热 系数 ; K = 1 、 2 、 3 、 4 数模 幂 指数 ; l = 1 , 2 , 3 , · · … 19 数 模系 数 ; 钢 材 的导热 系数 ; 待 定幂 指数与系数 ; 板 坯 全在 炉时 一 间; 板坯 在 i 炉段 的时间 , 主= 1 , 2 , 3 同炉段长 说 明 。 助公H LP ’ f r ` r s 。 T 、 护K 汀 」 a尸Q .人 ù厂、 △ T DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1979. 01. 009
二、前 言 虽然对州计算机控制热连轧板坯加热炉，国外已经进行了不少研制工作，有的並已经实 际采用，例如，见介绍这方面情况的译文集〔1)〔2〕，但是，不论是控制所用数学模型的研制， 还是控制思想与控制方法，都还需要进一步研究与探索。 就控制所用数学模型的研制来说，已经知道，半经验法是构成某一过程数学模型方法之 一，这种方法以主导过程的自然规律的数学表达式（物理数学模型）为基础，经过结合实际 问题的合理假设与简化，或尚需对所说表达式求解，或无需求解，而得出所需用的数学模 型，其中保留若干待定的参数与系数，待结合具体情况采样确定。用所说半经验法得出的数 学模型，比之用经验法得出的，其优点是：数模式各参量、参数与物理现象的关系明确，适 用范围较广，因而，目前的趋势是，只要可能，一般都致力于用半经验法来研制所需用的数 学模型。 本文应用解析方法，将一维热传导方程的一种近似解，推广于任意炉型的板坯连续加热 炉，提出推算板坯加热最终温度的一个数学式，其中保留若干待定参数与系数，可供用计算 机控制板坯连续加热炉作数学模型使用。 三、一維常系数热传导方程用于 等温炉内钢村加热的近似解〔3) 将一维常系数热传导方程 0T。=a0T (1) ot x名 用于求解炉温与炉况为恒定（以综合传热系数为定值为标识），炉内厚为H的无限大平板的 加热问题，初始条件为： Ts(x,0)=Ts。a(T,-Ts) (2) 对称加热，边界条件为： 20Ts/ xx=H =u(T1-Ts), (3) 2 式中：4一一按对流换热计算的综合传热系数。 正则条件下(F0-≥0,3)，无限大平板锭面上平均温度：的近似解为： s=T-T-T)exp-…, (4)， 在式(4)，是将专著〔3)中的p2写为P,丽与P均为比欧数Bi=aH/2)的函数，又傅里 叶数F0=4at/H2,'因此尚可将式(4)改写为： Ts=T,-(T1-Ts。)Mexp(-P·F0)' (5) 100
一 箭 告 一 、 rJ 场 口 虽然对叭障机控制 热连轧 板坯 加热 炉 , 国外已经进 行 一 了不 少研制工作 , 有的业 已 经 实 际 采用 , 例如 , 见介绍 这 方面情 况 的译 文集 ( 1〕〔2 〕 , 但是 , 不 论是控制 所用数学 模型 的研 制 , 还是控 制思 想 与控 制 方法 , 都还需要 进 一步 研究 与探 索 。 就控 制所用数学模 型 的研制 来说 , 已经 知道 , 半经 验法 是构 成 某一过程 数学 模型 方法之 一 , 这 种方法 以主 导过 程 的 自然规律 的数学表 达 式 ( 物理数学模 型 ) 为基 础 , 经 过 结合 实际 问题 的合理 假 设 与简化 , 或 尚需 对所说表 达式 求解 , 或无 需求解 , 而得 出所需用 的数学模 型 , 其 中保 留若干 待定 的参 数 与系数 , 待结合具体情 况采样 确定 。 用所说 半经 验法 得 出的数 学模型 , 比之 用经 验 法得 出的 , 其优 点是 : 数模 式 各参量 、 参数 与物理 现象的关 系明确 , 适 用 范 围较广 , 因 而 , 目前 的趋势 是 , 只要可能 , 一 般都致力于用 半经 验法 来研 制所需用的数 学模 型 。 本 文应 用解 析方 法 , 将一维热 传导方程 的一 种近似 解 , 推 广于任意炉型 的板坯连续 加热 炉 , 提 出推 算板坯 加 热最 终 温度 的一个数学式 , 其 中保 留若干待定参数 与系数 , 可供 用计 算 机控 制板坯 连 续加 热炉作 数学 模型 使用 。 三 、 一 锥 常 系数 热 传 导 方 程 用 于 等温 炉 内钢材 加 热 的近似 解 〔3 〕 将 一 维 常系数 热 传导 方程 口T s a t a Z T 刁x 奢 ( 1 ) 用 于求 解 炉 温 与炉 况 为恒 定 ( 以 综 合传热 系数 为定值 为标 识 ) , 炉内厚为 H 的无 限大 平板 的 加 热 问题 , 初始条件 为 : F s ( x , O ) = T s 。 a ( T r 一 T s ) ( 2 ) 对 称加 热 , 边 界条 件为 : 入聆 一 ! x 二 、 二 · ( T ! 一 尹 r s ’ , 2 ( 3 ) 式 中 : a — 按对 流 换热 计算 的综合 传热 系数 。 正则 条件 下 ( F o = 4 a t H 2 七0 . 3 ) 无 限大 平板 截 面 上平均 温度 沪 s 的 近似解为 : 更s = T f 一 ( T f 一 T s 。 ) 万 e x p 〔 一 F 。 甲a4t ( 4 ) 在式 (4 ) 中 , 是将 专著 〔3 〕中的 p Z 写为 P , 万 与 P 均 为比 欧数 B i 二 a H 2/ 久 的 函数 , 又傅里 叶 数 F 。 二 4 at l/ 一 l “ , 因此 尚可将式 (4 ) 改 写 为 : 更 s “ T f 一 ( T , 一 ` f : 。 ) 刃 e x p ( 一 P · F o ) ( 5 ) 1 0 0
从这里起，为简化起见，以T。長示无限大平板截面上的平均温度，省去其上注的“一” 号。 在比欧数B的值不大的情况下，M等于或近于1，作为近似计算，在Bi≤4的情况下， 可取亚=1，因此尚可将式(5)写为： Ts=T-(T-Ts)exp(-P.F0) (6) 对于无限薄材而言，P=B,因此，式(6)转换为： Ts=T-(T-Ts)exp(-Bi.F0) (7) 在式(6)中，考虑了板坯截面上存在温度梯度的现象，但认为钢材的热物性为常量。以 下，将把式(7)推广用于钢材的热物性以及炉温与炉况不是常量的情况，以导出所需用的 数学模型式。 四、对变物性变炉况情兄的推广 一股连续加热炉，各炉段炉温不相同，且除均热段外，其他各炉段在炉长方向上炉温还有 明显变化，特别是予热段的炉温变化更大，除此以外，各炉段炉温又是随时间起伏变化的， 亦即炉温不只是作静态的改变，而且是作动态的变化。这里以对流换热系数“表示的综合传 热系数，作为炉膛与板坯表面换热情况的重要参数之一，也是在炉长方向上不断变化的。钢 材的热物性则随钢材温度的升高而改变。为此，我们从式(6)出发，进一步来考虑所述这 些变化。 根据对目前已投产的一些热轧带钢板坯连续加热炉，所提供的一些热工资料〔4)作出计 算，表明板坯在所述连续加热炉内加热的情况，符合于Bi≤4以及F0>0.3的正则条件，这 是能将式(6)用于热轧带钢板坯连续加热炉的前提条件。 111111 加热投 0 111 ③ 管骑 111 l Blt 111 1: Yit 11 i 山t t 图1三段板坯加热炉及其炉温曲线 以图1所示一座三段板坯连续加热炉为例，就其炉温曲线而言，其横坐标一般是其炉长 方向的儿何尺寸，但考虑到板还是沿炉长方向运动，随时间的推移，占据炉长方向上的不同 位置，因此，以板坯在炉内加热的时间t为横坐标，也是一样。我们在炉长方向上将整座加 热炉分为个做小的炉段（图1），当取得很大时，则就每一微小炉段及其中的一微段板还 101
从这 里起 , 为简 化起 见 , 以 r r 、 丧示无 限大平板截面 上的平均温 度 , 省去其 上 注的 “ 一” 号 。 在比欧数 B i 的值不大 的情 况卞 , 厕等 于或近 于 l , 作 为近 心计算 , 在 B i兰 4的情 况下 , 可取 履 = 1 , 因此 尚 一 可将 式 ( 5) 写为 : T s “ lr ’ , 一 ( ’ f f 一 T : 。 ) e x p ( 一 I , · l 了0 ) ( 6 ) 对 于 无限薄材而 言 , P = B i , 因此 , 式 (6 ) 转 换 为 : f s “ T f 一 ( T , 一 T 。 。 ) e 、 p ( 一 B i · } 早。 ) ( 7 ) 在式 (6 ) 中 , 考虑 了板 坯截面上存在温 度梯度 的 现象 , 但 认为 钢材 的热 物性 为常量 。 以 下 , 将把 式 ( 7) 推广 用 于钢 材 的热 物性以 及 炉温 与炉 况不是 常量 的清况 , 以 导出所需 用的 数 学模型 式 。 四 、 对 变物 性 变炉况 情况 的推 广 一 般连 续加热炉 , 各炉段炉温 不相 同 , 且除均热段 外 , 其他 各炉段在炉 长方 向上炉温 还有 明显 变化 , 特 别是 予热段的炉温 变化更大 , 除此 以 外 , 各炉段炉温 又是 随时 间起 伏变化 的 , 亦即炉温不只是 作静态 的改变 , 而且 是作 动态 的变化 。 这 里 以 对流 换 热系数 a 表 示 的综合 传 热系数 , 作 为炉膛 与板坯 表 面换热情况 的重要 参数 之一 , 一 也是 在炉长方 向上不 断变 化的 。 钢 材的热物性则随钢 材温 度的升高而改变 。 为此 , 我们 从式 ( 6) 出发 , 进 一步来考虑 所述 这 些 变 化 。 根据 对 目前已投产 的一些 热轧 带钢 板坯 连续加 热 炉 , 所 提供 的一些 热 工资料 〔4 〕 作出 1 1 - 算 , 表 明板坯 在所 述 连续加 热炉 内加 热的情 况 , 符 合 于 B i 三4 以 及 F 。 > 。 . 3 的正 则 条件 , 这 是能将式 ( 6) 用于 热轧带 钢板 坯连续 加 热炉 的前提条件 。 一~ 、 、 止三乙 浦 叮 汀 { 一 【1l j一1 , 一 加热段 一 一赶 1 11 , ) l l , : { ⑧ 华 ! 一ll 1 】少扮~ 一 } ’ 嗽 ` { ir口 ! }J「 }}… I一1 1l 川 …{ 酬 1 1 1 . 1 , I l ! !l !l ! . }}} I I! {} } }{ l I! I l l ! I ! 图 1 三 段板坯 加 热炉及其炉 温 曲线 以 图 l 所示 一座 三段 板坯 连续 加 热 炉为例 , 就 其炉温曲 线而 言 , 其横 坐 标 一 般是 其炉长 方 向的几何 尺 寸 , 但 考虑 到板坯 是 沿炉 长方 向运动 , 随 时间的推 移 , 占据 炉氏方向 _ } : 自任不 同 位 置 , 因此 , 以 板坯 在炉 内加热 的时 间 t 为横 坐标 , 也是 一 样 。 我们 在炉 长方 向上将 整 座加 热炉分为 n 个微小 的炉段 ( 图 1) , 当 n 取 得很 大时 , 则 就每一 微小炉 段 及其中 的一 微段 板 还 1 0 1
而言，炉温、炉况及钢材的热物性均可视为恒定与常量，但它们又可认为是加热时间t的 连续函数，因此，可将式(6)用于每一微小的炉段，亦即对于这n个微小的炉段而言， 可有： T=T-(Ti:-Texp-P,4》 T52=T2-(T12-Ts1)exp〔-P2.4:8) (8) 工，1=T,(T-T-exp-P,》 T,n=Tn-(T1n-Ts-)exp〔-Pn·4 生)。 式中，8t,一板坏在各该微小炉段加热的时间，j=1,2,3…n。式(8)表明，由于这些 微小炉段是顺序衡接的，上一微小炉段的出口即为下一微小炉段的进口，因此，上一微小炉 段出口的板坯温度，即为下一微小炉段进口的板坯温度，是以可在式(8)中，将上一微小 炉段出口的板坯温度作为下一微小炉段进口的板坯温度，依序进行代换，但在每次代换时， 将板坯已经通过了的诸微小炉段及下一微小炉段的炉温，按以下计算方法，划一取时间平均 值，以如此所得的时均炉温值为依据，将所说这些连接一起的微小炉段作为一恒温炉处理， 即 Tastii Tu=ti T:-T1i8t4T28 .8t,+8t2 (9) T111=Tu8t+T6t2+…+T-ǒt1+Tuǒt 8t,+8t2+…+6t1-1+8t, T11-n=T8t+T6t2+…+T,8t,+…+T1n8tn 8t,+8t2+…+8t,+…+8tn 按以上每次取时均炉温的法则式(9)，对式(8)中的诸式按前面所述依序代换后，以 T,。表示板坯加热最终的温度，就得到： T。=jl 。-T.x-P刀 t 1 j=1 (10) 当令n→∞，则有： 102
而言 , 炉温 、 炉 况及钢 材的 热物性均 可视为恒 定 与常 量 , 但它们 又可 认为是 加热 时 间 t 的 连 续 函 数 , 因此 , 可将 式 ( 6 ) 用于每 一 微小 的炉段 , 亦 即 对于 这 n 个微小 的 炉段 而 言 , 可 有 : T 。 , 二 ` r , , 一 ( ` r , , 一 T s 。 ) e x l) 〔 一 I , , · T 5 2 = 厂 r f : 一 ( T , : 一 T 。 , ) e x p 〔 一 P : · 4趣坦 : 一 、 : H 芯 4 a : 6 t 。 H “ :… T s , 二 T , , 一 ( T : , 一 T 。 卜 , ) e x p 〔 一 P , · 4 a j 己t r H 2 ( 8 ) 启.… s 。 = T f 。 一 ( F f 。 一 厂 r 、 。 一 : ) e x p 〔 一 P 。 · 些。 ~ 虽恤 、 _ H z 式 中 , 乙 t , — 板 坯 在 各该微小炉段加 热的 时 间 , j = 1 , 2 , .3 “ n 。 式 (8 ) 表 明 , 由于这 些 微 小炉段是顺序 街接 的 , 上一微 小炉段的 出 口 即 为下一 微小炉段 的进 口 , . 因此 , 上一 微小 炉 段出 口 的板坯 温度 , . 即 为下一微 小炉段进 口 的板坯 温 度 , 是以 可 在式 ( 8 ) 中 , 将 上一 微小 炉 段 出 口 的板 坯温度 作为下一 微 小炉段进 口 的板 坯 温度 , 依 序 进 行代换 , 但 在每次代换时 , 将 板坯 已经 通过 了的诸 微 小炉段 及下 一 微 小 炉段 的 炉 温 , 按以 下计 算方 法 , 划一取时 间平 均 值 , 以如此所得 的 时均炉 温 值为 依据 , 将所说这 些 连接 一起 的微小炉 段作为一 恒 温炉处理 , 且p T 门 = T , z ~ 2 T f 乙 z 己t , t l _ _ T r l 乙 t l + T r : 乙 t : 乙t , + 6 t Z ( 9 ) … 11 ! J wel J 广 T , 1 毛 _ 通 _ 互少工。 _ 查红士里 _ 士了 , 卜 : 己t , 一 1 + T , 各 t : + 各t : + … + s t 卜 1 + 乙 t , T 一 l 一 n T r l 各t , + T , 2 6 t : + … + T , J 己 t , + … + T , 。 各t n 乙t i + 乙t : + … + 乙t , + … + 乙t 按 以 上每 次取 时均炉 温 的法 则式 ( 」 9 ) , 对式 ( 8 ) 中 的诸式 按前面所述 依序 代换 后 , 以 T 、 。 表 示板 坯加 热 最 终 的温度 , 就 得 到 : 、 ! 、 、 夕l 产. 三 T , , 己` J 艺 T s e = 一 上l - - - -一 厂 . n 亘 艺“ t j 二 l T 门 各 t j 正 - - - -一 sT 。 e x p { 一 丫仰 , . 一 七 j ` . J 、 4 a , 乙t 1 1 2 ( 1 0 ) 当 令 n , o , 则 有 : 1 0 2
2T,8t, T dt lim j=1 (11) n-+00 n j=1 又 a,8)= 1im∑(P,·H P.dFo (12) n-→0 j-1 0 式中，τ1一板坯的全在炉时间，即板坯在炉内加热的全部时间，因此得到： (T,dt J ,(13) 式(13)就是将式(6)推广到钢材热物性及炉温、炉况（综合传热系数α）随板坯在 炉长方向上不同位置而变化，即随板坯在炉的不同时间而变化的通式。显然，对任意炉型的 板坯连续加热炉而言，按以上所述方法导出的式(13)，均能适用。当就板坯已在炉的某 一位置，或已在炉的某一时间τ，而言，同理，则板坯加热已达到的温度Ts。为： Jo'T,dt (14) TD 即T,是表示已在炉时间τ终了时板坯的温度。显然，这种直接从在炉时间出发考虑板坯加 热最终温度的方法，比之单纯从几何位置出发考虑板坯加热最终温度的方法，更能动态地估 算板坯加热的情况。 五、积分项。PdF0的变换及求出 在积分项「PdFO中，P是比欢数Bi=的函数，即P=P(Bi),而F0是傅里叶 2入 0 H:,即积分项J。PdF0是个准数式。如果在式13)或(14)中，令时均炉 数F0=4a1 温亚，为： T.dt .0 币，= 或 0 (15) 则尚可将式(13)或(14)变换写为： :-Texp(-5o PdFo) (16a) T,-T0 103
, ; 。 ( n . )卜 O口 r l 艺 T , , “ ` , j 二 l n ( ` ’ T , d t 、 二 二旦- 一 启 一 / T t ( 1 1 ) 艺 “ ` J J二 1 1 i m n ~ ) . 仪) 艺 ( P , · 翔 j 二 1 己 ) = 叮 ’ P ’ d F ” ( 1 2 ) 式 中 , , , — 板坯 的全在炉 时间 , 即板坯 在炉 内加热的全 部时间 , 因此 得到 : T 1 d t T t 广 下 . l “ r , d t , f J O 一 。 、 , 「 一 ’ , 、 一 t — 一 1 5 0 I e X P L一 1 r . Q r U ) 气I J ) 、 T t 产 J O 式 l( 3) 就是 将式 ( 6 ) 推 广 到钢材热 物 性及 炉温 、 炉况 ( 综合传热系数 a ) 随板坯 在 炉长 方 向上不 同 位置而 变化 , 即随 板坯在炉 的不同时 间而变 化的通式 。 显然 , 对任 意炉型 的 板坯 连 续加热 炉而 言 , 按 以 上所述方 法导 出的式 ( 13 ) , 均能适用 。 当就板坯 已 在炉的 某 一 位置 , 或 已在炉 的某 一时 间 ,r p 而 言 , 同理 , 则板坯加热 已达 到 的温度 T s 。 为 : T : p ` . T n 1 r T f d t J 0 f T O T ` d t , l _ , n ` 、 ` ’ “ 。 一 【了兰一 — 一 T : 。 】e x p _ ( 一 1 P . d F O) ( 1 4 ) 、 T p , “ 0 即 T s 。是 表 示 已在炉 时 间 T 。终 了时板 坯 的温度 。 显 然 , 这 种直接 从在 炉时 间出发考虑 板坯 加 热最 终温 度的方 法 , 比 之单纯从几何 位 置出发考虑板 坯加热 最 终温 度 的方法 , 更能 动态地 估 算 板坯 加热 的情 况 。 五 、 积分 项 I P d F O 的 变换及 求 出 在积分项 1 P d F O中 , P 是 比欧 数 B a H 2 入 的函 数 , 即 P = P ( B i ) , 而 F o 是 傅里叶 电 积分项 l 日尸 n认ù日 数 F O = 温 尹 , 为 : 4越 t H “ P d F 。 是个 准数 式 。 如果在 式 ( 1 3 ) 或 ( 1 4 ) 中 , 令时 均炉 ` f r d t 一 J O 甲 , = - - 一布 或 更 , = T r d t 下 p ( 1 5 ) 则尚可 将式 ( 1 3 ) 或 ( 1 4 ) 变 换 写 为 : 工 一, 二 。 x p ( 一 f 1 5 0 沙 P d F O ) ( 1 6 a 二一 ) 望一T 1 0 3