∑发散 mn收敛 N .→)0 Ln绝对收敛 用检比法 用比较法 用L准则或考察部分和 条件收敛 u收敛 Y
un un → 0 N un 发散 Y | un |敛 Y un绝对收敛 un 收敛 N 用检比 法 用比较法 用L—准则或考察部分和 N N un收敛 Y 条 件 收 敛
二、典型例题 3 例1求极限Iin2 解考察正项级数∑=2n2 3 n+1 n+1 2 =lim n∞(n+1)213n 3 0<1 n>∞02(n+1) 由检比法∑ 3′ 2 收敛 3 由级数收敛的必要条件得 im 0 n→>∞n!2
例1 求极限 n n n n!2 3 lim → 解 考察正项级数 = n n n n u !2 3 n n n n n n n n n u n u 3 !2 ( 1)!2 3 lim lim 1 1 1 + + → + → + = 0 1 2( 1) 3 lim = + = n→ n 由检比法 n n n!2 3 收敛 由级数收敛的必要条件得 0 !2 3 lim = → n n n n 二、典型例题
例2设iman=a≠0试证∑an发散 证不妨设a>0由极限保号性知 彐N当n>N时an>0 由于 lim na=lim=a>0 n→0 故由比较法的极限形式得∑qn发散 例3若∑n∑v都发散则 A∑(un+vn)必发散 B∑""必发散 ∑un1+|vn必发散 D以上说法都不对
例2 设 lim = 0 → nan a n 试证 an 发散 证 不妨设 a > 0 由极限保号性知 N 当n N时 0 n a 由于 0 1 lim = lim = → → a n a na n n n n 故由比较法的极限形式得 an 发散 例3 若 un n v 都发散 则 A ( + ) n n u v 必发散 B n n u v 必发散 C [| | + | |] n n u v 必发散 D 以上说法都不对
例3判断级数敛散性: n+ (1)∑ n n nt·n n n 解 n (1+ n lim(1+-2)=lim(1+-2)"=e"=1 n→)0 n→)0 limn"=limx =explim-In x =explim-=e=1; x-00
例 3 ; ) 1 ( (1) : 1 1 = + + n n n n n nn 判断级数敛散性 解 n n n n n nn n u ) 1 ( 1 + = , ) 1 (1 2 1 n nnn+ = n n n n n n n 1 2 2 ) ] 1 ) lim[(1 1 lim(1 2 + = + → → 1 ; 0 = e = x x n n n x 1 1 lim lim → → = ln } 1 exp{lim x x → x = } 1 exp{limx→ x = 1 ; 0 = e =
limL=1≠0 根据级数收敛的必要条件,原级数发散 pIn(n+ 2) ∑ (>0 H=1 解lim In(n+ 2) -limiN(n+2), n→+o n→》+o n≥2时,n+2<e",从而有 1<m(n+2)<"n,由于 limn=1, lim/ln(n+2)=1, limu n→+Q
lim = 1 0, → n n u 根据级数收敛的必要条件，原级数发散． = + + 1 ( 0). ) 1 ( ln( 2) (2) n n a n a n 解 n a n u n n n n n 1 ln( 2) lim lim + + = →+ →+ lim ln( 2), 1 n n n a = + →+ 2 , 2 , n n 时 n + e 从而有 1 ln( 2) , n n n + n lim = 1, →+ n n 由于 n lim ln( + 2) = 1, →+ n n n . 1 lim a n u n n = →+