面与晶向互相垂发，故品面间的夹角也缺等于对应的品向之何的夹角。 !三、带 晶体中平行于同品向的所有晶面的总体称为晶带，而此品向称为此品带的品带触，并 以相同的晶向指数来表示。 村 可以证明，凡属于〔晶带的晶面，其面指数()必符合下列关系： （t如+加=0 、(140) 这是国为当()属于〔o如)品向时，倒点胖矢景脑必定睡直于正点阵矢量房，于是 有。 ,克=thd*+k奶+记*)(4d+咕+w心) Fhu+知+im=0 若已蜘两晶面（h1k,)和(k,l2)同属于一个品带，则它们的晶带轴的指数C]可 按以下方程推算出来。据(1-40)式，有： A知8】 （141) 解此联立方程，得： k1,.1h:.hk: (142) 考虑到u:0:w应为最简整数比，故亦可写为， 3 u- =k1l:-kal hh 12h: =1,42-h (143) hk !=h:k2-hik . 相似地，若已知某一品面（敲！）同属于〔：和：w门和〔“w:门两个晶带，则其面指数 ()可按下式算得： 0:w: =训2一w (144) 世2M: =4:0r+4:01 4:02 值得注意的是：按(142)算得的是克相对于：4，和：，满足右旋规则配置时的 0
班教〔w,千则得的指数挪要冠以负号。所谓右旋规则是指山4、苏，k,和克.满 足通常的X、Y、Z那科的手缧旋法则。 L 还可证明，当三个M向（或晶面法线）〔411出1】、〔42)和〔4w)满足右旋规则 配置时，它们的三阶指数行列式必大于零，即： 2 ,4:”:w >0 (145) H3 va ws 这可从三个偏向牌成的平行六而体的体积大于零来证明。 品带指数巧品而指数的上术关系常称为品带定律，它们在单晶衍射图的指标化中极为有 用。 第三节X射线衍射几何条件 如界让一束连续X射纹照到一薄片品休上，而在品体后面放一黑纸包着的照相底片来探 测X射线，则将底片显影定影后，我们可香到除了连续的背景和透射光束造成的斑点以外， 还可发现有其他许多斑点存，如图-16所 示。这些斑点的存在表明有部分X射线遇到品 体后，改变其前进的方向，与原来的入射方向 不一致了，这监X射线实际上是品休中各个原 底片 子对X射线的相干散射波干涉叠加而成的。我 入X射 们称之为衍射绒。这种现象与可见光经过光栅 后发生的衍射现象是极为州的。木节生要内 容是由波的干涉加强的条件！发，推导出衍 线的方向与点阵参数、点阵相树于入射线的方 位及X射线波长之间的关系。这种关系的体 表现为芳厄方程式，布喇格定神和倒空闻衍时 图1-16品体对X射线的衍射 公式（厄瓦尔德图解〉。 在推导三个衍射方程时，作三点假设： （1)入射线和衍射线都是平面波。·一般捞况下，由于品体与衍射线源及德察地点的距 离远比原子间距大，因此实际上球面可以近似成平面波 （2)晶胞中只有一个原子，即晶胞是简单的。 (3)原子的尺寸忽路不计，原子中各电子发出的相干散射是由原子中心点发出的。 后两点假设在下节中将修正。 一劳厄方程 若-一束波长为1的X射线以与原子列成a角的方向投射到原子间距为4的原子列上。 〈见图11？)这时根据假设，相祁两厨子的散射线的光程卷为： 6-OQ-PR=OR(cosa4-coSa)=a(coSa-coSa)
欹使各个原子的散射波互相干涉加强，形成衍射线，就必演使光程差8等于X射线被长1的整 图117一维项子列的衍射 数倍。即： (cosa-cosa)=HA （】46) 其中H为整数(0，士1，±2，.)，称为衍射级数。当入射线的方向，取定以后，α就 定了，于是决定各级衍射方向的角可以从下式求出： coSa=coSai+H】 (147) 因为只要角满足上式就能产生衍射，所以衍射线将分布在以原子列为轴，以a为半顶角的 一系列圆锥面上，每一个H值，对应于个园锥。 可以将上述考虑推广于三维晶体。为此，可设入射方向的单位矢量这，与三品轴4，、的 交角分别为aa和a这时，若要有衍射线产生，划衍射方向的单位矢量对与三晶轴的交 角a,a”和a必颜满定下列联立方程组： a(cc5a”-coSa)=H2 6(cosa-cosa》=Ka (148) c(cosa-cosa)=LA 其中的H、K、L都是整数，“、6、c分别为三晶轴方向的点阵常数，方程组（1·48)即是着 名的劳庖方程，是由劳厄于912年首先提出的，它是确定衍射线方向的基本方程，芳厄方程 组中的角，}不是完全独立的，因为它们是衍射线方向的单位矢量百和三最轴的交 角，有一定的相互约束关系，例如对三晶轴互相垂直的立方品系而言，这种约束关系为： cos"as+costa+costa=I (149) 因此对于给定的一组整数H、K、L而言，方程组(148)和(149)实际上是由四个方程决 定三个变量”'和a州，一般说来不-一定有解，只有选择适当的波长1或选取适当的入射方 向。（即适当的aa和a)才能使方程得以满足。 方程组(】48)还可以改写成为以下的矢量形式： 22
(3-8g)=H (3-30)=K (1-50) (3-3。)±L1 二、布喇格定律 应用劳厄方程虽可以决定行射线的方向，但计算麻烦，很不方便。1912年英国物理学家 布喇格父子导出了-一个决定衍射线方向的形式简单，使用方便的公式，常称为布喇格公式。 下面介绍该公式及其有关问题。 晶体是由许多平行等距的原子面层层选合而成的。例如可认为晶体是由品面指数为 （h)的品面堆垛而成的，晶面之间的距离为dr(简写为)，如图】18，其中阿拉伯数字 1,2,3,.表示第1,2,3，.个原子面（晶面）。 图1-18布喇格宠律的推 a一个品面的反影 6相部品面的反射 首先看品面1上的情况。可说明，当放射线方向满足“光学镜面反射”条件（即散射线、 入射线与原子而法线共面，且在法线两侧，散射线与原子面的夹角等于入射线与原子面的夹 角)时，各原子的散射波将具有相同的位相，困而干涉加强，这是因为当满足“反射”条件时， 相邻两原子A和B的散射波的光程菲为： 6=PAP'-QBQ'=ABcose-ABcos=0 可见原子A和B的散射波在“反射”方向是同位相的，同菲可以证阴，其它各原子的散 射波也将是同位相的，因此它们将互相干涉加强，形成行射光束。 由于X射线其有相当强的穿透能小，它可以穿透成干上万个原子面，因此我们必烈考虑 各个平行的原子面间的“反射”波的相互干涉何题。图118b中的PA和Q4分别为射到相 邻的两个原子面上的入射线，它们的“反射”线分别为A及AQA显然，它们之间的光 程差为： 8=QA'Q'-PAPI=SA+A'T 因为SA"='T=dsin0 所以。6=2a6ing 只有当此光程差为波长的数倍时，相你品面的“反射”波才能干涉加强形成衍射线， 23
所以产生衍射的条件是： 2dsin0=n以 (151) 其中的”为整数，这就是著名的布喇格公式，是X射线晶体学中最基本的公式。它与光学反 射定律加在一起，就是布喇格定律。其中的日角称为布格角或半行射角（因通常将入射线 与衍射线的交角2称为衍射角)。要能产生衍射，则入射线与晶面的交角必须满足布喇格公 布喇格公式中的整数n称为衍射级数。当n=1时，相邻两晶面的“反射线”的光程楚为 一个波长，这时所成的衍射线称为一级衍射线，其衍射角由下式决宠： sin,d 当=2时，相邻两品面的反射波的光程差为2九，产生二级衍射，其衍射角由下式决定， 依次类推，第红级行射的衍射角由下式决定： (1-52) 但是n可取的数值不是无限的。因为sin明的值不可能大于I, sia0=2沿<1 464 当X射线的波长和衍射面选定以后，2和的值都定了。可能有的衍射级数也就确定了。所 以一组晶面只能在有限的几个方向“反射”X射线。 在日常工作中，为方便计，往往将品面族(！)的m级衍射作为设想的晶面族(M,k, )的-一级衍射来考虑。实际上，布喇格公式2dsi0=n以可以改写为： 2(d.L)sin0=元 (1-53) 而根据品面指数的定义，可知指数为(h,)的晶面是与()面平行且面间距为的 晶面族。所以布喇格方程又可写为： .（1-54) 指数(h,l)称为衍射指数，用(HKL)来表示它，与晶面指数的不周点是可以 有公约数。·应用了行射指数的概念后，布喇格公式中的衍射级数”就可省掉了。实际上：为 书写方便，往往把上式中的衍射指数也省略了，布喇格公式就简化为： 2dsin= 由于布啸格定律中包含了光学反射定律，因此常把某族品面对X射线的衍射称之为该换 蓝面对X射线的反射，实际上，X射线在晶面上的“反射”与可见光在镜面上的反射是有不 同的，因为： (1)可现光的反射仅限于物体的表面，而X射线的反射实际上是受X射线照射的所有 原子（包括晶体内部）的散射线干涉加强而形成的