!4a) (1-20) 。a品 (1-21) 16*=-a(i8) (1-22) 第二种方式是按下式决定“、和 （1-23） (1-24) 实际上，上述两种定义方式是完全等效的。因为从式(120~122)可导出式(123~124)， 反之亦然。按照上述定义方式，可以从、和难一地求出、和*（包括长度和方向）， 也即从正点阵得到了雌一的倒点阵。 从倒点阵的定义式还可看出，实际上正点阵和倒点阵是互为倒易的，这是因为式中的ā、 6、和d“、*是完全等效的。另外还可通过矢量运算证明，正点阵的原胞体积 V,=()和倒点阵的原胞体积V,“=(**)具有互为倒数关系，即： *= (1-25) 从倒点阵的定义经运算后还可得出倒点阵原胞参数4，b“、“、a“、B、y和正点阵 原胞参数a、b、c、a、B、p之间的关系知下： a=besina/v (1-26) b=casinB/V (1-27) c=absiny/Vr (1-28) cosea (1-29) (1-30) cor=.aggy (1-31) 图114中画出了简单单斜点阵在(010)面上的投影和它的一部分倒易点阵。 2。倒点阵失量（倒格矢）的重要性质 倒点阵矢量即是从倒点阵原点到另倒点阵结点的矢量，又称为倒格矢。在X射线晶体 学中常用到它，这是因为它具有以下两个要性质。 《1)倒点阵矢量和相应正点阵中同指数品面相互垂直，并且它的长度等于该平面族的面 间距的倒数 若用”表示从倒点阵原点到坐标为H、K、L的倒结点的倒点阵矢量，则有： R"HL-Ha*+KB*+Lo* (132) 这里的H、K、L称为衍射指数，它与密勒指数的不同点是可以有公约数，例如可以是(333)， （202)等。若A,k,为空勒指数（是互质的），丽H=h、K=k、L=,则可认为(HKL)
平面族是与(h)平面平行，但面间为其及的平面族。若用dwx和d仙分别表示(HKL)和 (:)平面族的面间距，则有 *HKB=Hā降+K米+L8米 =：性(hà*+h楼+18￥) 兰n* .7 1:,上、rf 到成年2今 t: 图】-14 一个简单单斜点阵在(10)上的投影和它的一部分倒易点年 下面证明性质(1)，即： ·1(HKL)或⊥(h), |*Hu|=1/dHst现|克*w,l=l/du (1-34) 从结品学可知，树草点阵中指数为《)的面网族中离原点最近的面网与三品粕的戴距 OA,OB和OC(见图I)分别等于：
o=g·0函=g，0-f 探矢最运算法则，有 =0丽-0-真-日 c=0d-0丽=年-是 由此得： k F “陆和=ha*+奶*+)（及-及)=0 这说明“垂直于B,同理可得： 脑C=〔ha*+奶*+2(-年-及-)=0 图1一15倒矢量花” 垂直于面(h) 即品也垂直于心，由于“同时垂直于B和BC,所以也必定垂直于店和BC所在的 ()平面族，即益1()。 山于ABC面是()平面旗中离原点成近的一个面，因此从原点到该面的距离就是(h) 平面族的面间距d,枚有： duGA.就 :克装1 县+经+ 融 1 j品1 从上可细，倒点阵中的每-个倒结点代表了正点阵中一个同指数的品面，此面的法线就是该 倒结点失鼠，而面间距就是此关量的模的倒数。 （2)例点阵矢量与正点阵失量的标积必为整数。若以代表正点阵原点至(1，m,”)结点 的矢量，而以新：代表倒点阵原点至(H,K,L)倒结点的矢量，则有 ,苏x:=〔la+m6+ne)〔Hà*+KE+L*) IH+mK +nL (135) 因，m、”和H、K、L均为整数，所以上式也等于整数。 二、晶面间臣和品面夹角的计算 利用倒点方法还河以方便地导出晶面间距、品面夹角等的计算公式
根据(134)式，(hk)品面的面间距d与倒点阵矢量霜，有下列关系 1=品脑 di -(hā*++I还*)-(hā号+3+1达*) =h+8+1'+2**+2ha08*+26*8 将式(1-26)至(1-31)代入上式，经适当运算后，即得到适用于任何晶系的晶面间距表达 式，这就是表】-3中三斜品系的公式。对于立方、四方、六方等对称性较高的系，由于基 些基矢的长度相等或互成直角、面间距公式可大大简化，七大晶系的面间距计算公式都列在 表1-3中。 表1一3计算面同距dw的公式 品系品轴平移 夹角 a-f-y-90 a(++i-1 四方 a=B=y=901 t(/c)+(k3/a)+(/c)]-4 b≠ t(/a)+(a/b)+/e)1n 、六方 249=90°，=120 【(a/3a)(3+:+)+(2/e)]-1n mB=y≠90"<120 单斜G≠b≠g a=yu0°，月>90 [-o+"a2+0] h/a cosy cos别 :1 h/a cos 1 cosy h/a/ a/bcos+cosy k/b cosa.+o【a6 .三斜ab4c a*B≠y≠901 il/e cosa1」 lcosA cosa i/e cosy I cosa 晶面之间夹角的计算公式也可用相似办法求符。由于晶面(h1k,1:)和(h:k::)之间 的夹角p等于相应的倒点阵矢量落，1山，和：，之间的夹角，所以有 话hl院l4 Cosp = (1-36) I苏，k1I1R,k, 将式(126)~(131)代入上式，经运算可得到适用于各晶系的晶面夹角公式，这个公式较 为复杂，但对立方、四方、六方品系，该式可简化如下： h+::+ (1-37)
A:+:+ 四方co50= 1-38) (++ 六方co50= A++++8之 (1-39) ，+h+:6,+81,）6+:+6+61 表14中列出了立方晶系主要品面之间的夹角表。在立方品系中，丘于指数相同的品 囊1-4立方系中{h:k,}与《h:k:,的雪闻夹角 {h,》 《hk} 100 110 210 241 221 310 90.0 8 64. 8 器 1110 211 5 都 器 8 器 8 331 463 18,1 22.0 11.4 19