对于平稳的时间序列，从原理上可以用如下记忆模式表示： Z-7=a,+wa-+…+w,a-y+… (2.2) 其中{a,}是独立同分布的白噪声序列，是不可观测的序列，是外界随机的冲击 (亿，}是可观测的序列，n是它的均衡水平。 3.MA(沿动平均)模刑的记7特征 M(1),M(2),MA(q)模型的记忆函数，MA类模型的短记忆性， 4.AR(自回归)模型的记忆特性： AR(1),AR(2)模型的记忆函数，AR类模型的长记忆特性。 5.AMA(自回归滑动平均)模型的记忆特性。 ARA(1,I)的记忆函数，ARA类模型的长记忆特性。 第三节ARMA模型的自相关函数 1.自协方差、自相关函数、样本自相关函数 定义：自协方差 Y=cov(Z.Z)=E(Z,-nxZ-m) 其中，n是平稳序列亿，}的均值。 定义：自相关系数和自相关函数 A.=4=o32_2,-7N24-m 7cov(Z.Z.E(Z,-nxz,-m) p:叫做k步的自相关系数，自相关系数的集合{P,P2,,P,…叫做自相关函数。 定义：样本自相关函数 设{亿，乙2，…，Z,}是观察到的时间序列数据，对固定的k，记 克(,-2x2-2) P= ∑(Z,-Z) 则户叫做滞后k步的样本自相关系数，样本自相关系数的集合{户，户2，，户4， 叫做样本自相关函数。 2.MA(滑动平均)模型的自相关函数特征： MA(1),MA(2),MA(q)模型的自相关函数的推导，MA类模型的自相关函数的 特点总结。 6
6 对于平稳的时间序列，从原理上可以用如下记忆模式表示： Zt − = at + 1at−1 ++ jat− j + （2.2） 其中 { }t a 是独立同分布的白噪声序列，是不可观测的序列，是外界随机的冲击； { } Zt 是可观测的序列， 是它的均衡水平。 3．MA（滑动平均）模型的记忆特征； MA（1），MA（2），MA（q）模型的记忆函数，MA 类模型的短记忆性。 4. AR(自回归)模型的记忆特性； AR（1），AR（2）模型的记忆函数，AR 类模型的长记忆特性。 5. ARMA(自回归滑动平均)模型的记忆特性。 ARMA(1,1)的记忆函数，ARMA 类模型的长记忆特性。 第三节 ARMA 模型的自相关函数 1. 自协方差、自相关函数、样本自相关函数 定义：自协方差 = cov( , ) = ( −)( −) k Zt Zt−k E Zt Zt−k 其中， 是平稳序列 { } Zt 的均值。 定义：自相关系数和自相关函数 ( )( ) ( )( ) cov( , ) cov( , ) 0 − − − − = = = − − t t t t k t t k t t k k E Z Z E Z Z Z Z Z Z k 叫做 k 步的自相关系数，自相关系数的集合 { , , , , } 1 2 k 叫做自相关函数。 定义：样本自相关函数 设 { , , , } Z1 Z2 ZT 是观察到的时间序列数据，对固定的 k ，记 = − = + − − − = T t t T k t t t k k Z Z Z Z Z Z 1 2 1 ( ) ( )( ) ˆ 则 k ˆ 叫做滞后 k 步的样本自相关系数，样本自相关系数的集合 { ˆ , ˆ , , ˆ , } 1 2 k 叫做样本自相关函数。 2．MA（滑动平均）模型的自相关函数特征； MA（1），MA（2），MA（q）模型的自相关函数的推导，MA 类模型的自相关函数的 特点总结
3.AR(自回归)模型的自相关函数特性： AR(1),AR(2)模型的自相关函数的推导，AR类模型的自相关函数的特点。 4.ARMA(自回归滑动平均)模型的自相关函数特征。 ARMA(L,1)的自相关函数的推导，ARMA类模型的自相关函数的特性。 5.利用样本自相关函数尝试识别模型： 利用AR、M ARMA 模型自相关函数的特征 即MA模型的自相关函数的截尾性， AR和ARMA模型自相关函数的拖尾性对模型进行识别 第四节平稳ARMA模型的偏自相关函数 1,偏自相关函数 定义：偏自相关函数 乙，和Z4的偏自相关是别除变量Z,1,乙2，…，乙-的影响之后的相关程度，即 CoZ,Z/Z41,Z2,…,Z+k-i） 如果有 24k=912+k+0224k-2+…+k2,+e4k (2.3) 其中：二，=乙，一7，那么中4就叫做滞后k步的偏自相关系数。 若(2.3)式两边同乘上4-，后再取期望，就有： Y,=pY1+92-2+…+陆- (2.4 (2.3)式两边同除上y。后，就有： P,=P+42P-2++P- 这样就有： P=o++u P2=中P1+2P0+…+puPk-2 Pg=9阳P-+92P-2+…+9uPg 这样，利用线性代数里的Cramer法则，就可以求出 7
7 3. AR(自回归)模型的自相关函数特性； AR（1），AR（2）模型的自相关函数的推导，AR 类模型的自相关函数的特点。 4. ARMA(自回归滑动平均)模型的自相关函数特征。 ARMA(1,1)的自相关函数的推导，ARMA 类模型的自相关函数的特性。 5. 利用样本自相关函数尝试识别模型； 利用 AR、MA、ARMA 模型自相关函数的特征，即 MA 模型的自相关函数的截尾性， AR 和 ARMA 模型自相关函数的拖尾性对模型进行识别。 第四节 平稳 ARMA 模型的偏自相关函数 1.偏自相关函数 定义：偏自相关函数 Zt 和 Zt+k 的偏自相关是剔除变量 1 2 1 , , , Zt+ Zt+ Zt+k− 的影响之后的相关程度，即 cov( , , , , ) Zt Zt+k Zt+1 Zt+2 Zt+k−1 如果有 t k k t k k t k kk t t k z z z z e + = 1 + −1 + 2 + −2 ++ + + （2.3） 其中： zt = Zt − ，那么 kk 就叫做滞后 k 步的偏自相关系数。 若（2.3）式两边同乘上 t k j z + − 后再取期望，就有： j = k j− + k j− + + kk j−k 1 1 2 2 （2.4） （2.3）式两边同除上 0 后，就有： j = k1 j−1 +k 2 j−2 ++kk j−k 这样就有： = + + + = + + + = + + + − − − − 1 1 2 2 0 2 1 1 2 0 2 1 1 0 2 1 1 k k k k k kk k k kk k k k kk k 这样，利用线性代数里的 Cramer 法则，就可以求出
PaP…P (2.5) Po P P P Pi- PPk-2… Po 偏自相关系数的集合{，42，叫做偏自相关函数。 2.AR模型偏自相关函数： 对于p阶的AR模型， 5,-41--pn2-p=4 低5 (2.6) 3.样本偏自相关函数： 有很多的方法可以估计样本偏自相关系数中 方法一：先估计样本自相关函数{问，户，…户，，再利用(2.5)式计算4： 方法二：运用线性最下二乘法，用递增的AR模型来拟合数据，对于拟合的AR() 模型，我们有中p=中。 4.用样本偏自相关函数识别模型： 4的统计性质，以及利用AR模型偏自相关函数的截尾性来识别AR模型 5.后移算子B: 引入后移算子，并且运用后移算子来表示MA、AR和ARMA模型。 第五节模型的优选方法 1.诊断检验 利用拟合的模型计算出的残差序列{à，}对模型进行检验，利用残差序列à，}的样 本自相关函数进行检验，利用Box一Ljung的Q统计量，即
8 1 2 0 1 0 1 0 1 1 2 1 0 2 0 1 1 − − − − − = k k k k k k k kk （2.5） 偏自相关系数的集合 { , , } 11 22 叫做偏自相关函数。 2. AR 模型偏自相关函数； 对于 p 阶的 AR 模型， t t p t p at z −1 z −1 −− z − = 有 = = k p p k p kk 0, , （2.6） 3. 样本偏自相关函数； 有很多的方法可以估计样本偏自相关系数 kk 方法一：先估计样本自相关函数 { ˆ , ˆ , , ˆ , } 1 2 k ，再利用（2.5）式计算 kk ˆ ； 方法二：运用线性最下二乘法，用递增的 AR 模型来拟合数据，对于拟合的 AR(p) 模型，我们有 pp = p ˆ 。 4. 用样本偏自相关函数识别模型； kk ˆ 的统计性质，以及利用 AR 模型偏自相关函数的截尾性来识别 AR 模型。 5. 后移算子 B； 引入后移算子，并且运用后移算子来表示 MA、AR 和 ARMA 模型。 第五节 模型的优选方法 1. 诊断检验 利用拟合的模型计算出的残差序列 { ˆ }t a 对模型进行检验，利用残差序列 { ˆ }t a 的样 本自相关函数进行检验，利用 Box—Ljung 的 Q 统计量，即
(-- 进行检验。 模型的定阶 1)AC准则，即最小化： AIC(n)=In 2(n)+2n/N 其中n是参数的个数，N是数据的个数。 2)BIC准则，即最小化： BIC(n)=In (n)+I N 其中n是参数的个数，N是数据的个数。 (三)思考与实践 1.思考 1)考虑AR(2)模型 y,=a0+a2y-2+6, 其中la<1。 E2y,,Ey,,E,y2,Cov(y,),Cov(), 2)考虑2阶方程 y,=a6+0.75y,-1-0.125y-2+6, a.找出齐次方程，讨论脉冲响应函数的形状： b.找出保障序列{y,}平稳的初始条件： C.给定b中的条件，推导y,}的自相关函数。 2.实践 实验项目：ARMA模型的拟合 (四)教学方法与手段 本章主要采取课堂讲授、课堂讨论、网络辅助教学、多媒体教学、计算机模拟、 课后练习等教学方法和手段
9 ~ ( ) ˆ (ˆ ) ( 1) 2 1 2 m p q n k a Q n n m k k t − − − = + = 进行检验。 2. 模型的定阶 1）AIC 准则，即最小化： AIC(n) ln ˆ a (n) 2n / N 2 = + 其中 n 是参数的个数， N 是数据的个数。 2）BIC 准则，即最小化： N N n BIC(n) ln ˆ a (n) ln 2 = + 其中 n 是参数的个数， N 是数据的个数。 （三）思考与实践 1.思考 1) 考虑 AR(2)模型 t t t y = a + a y + 0 2 −2 其中 a2 1。 求 t t E y −2 ， t t E y −1 ， t t+2 E y ， ( , ) t t−1 Cov y y , ( , ) t t−2 Cov y y ,11 ,22 2) 考虑 2 阶方程 t t t t y = a + y − y + 0 −1 125 −2 0.75 0. a. 找出齐次方程，讨论脉冲响应函数的形状； b. 找出保障序列 yt 平稳的初始条件； C. 给定 b 中的条件，推导 yt 的自相关函数。 2.实践 实验项目：ARMA 模型的拟合 （四）教学方法与手段 本章主要采取课堂讲授、课堂讨论、网络辅助教学、多媒体教学、计算机模拟、 课后练习等教学方法和手段
第三章趋势模型的拟合 (一)目的与要求 1.正确理解趋势平稳和差分平稳的概念： 2.掌握不同趋势的剔出方法： 3.掌握单位根的检验方法： 4.掌握ARIMA模型的拟合方法。 5.了解中国统计学家在RI模型中的原创贡献，增强学生的民族自豪 感。 (二)教学内容 第一节趋势平稳与差分平稳 1.趋势平稳： y=yo+col+(B)n 其中(B)是平稳成分，则{y,}是趋势平稳的。 2.随机趋势： y.=ya+cdl+a 则立。，是随机趋势成分，这时，，}不能通过别除时间趋势而平稳，只能通过差 分平稳，所以{y,}是差分平稳的。 3.随机游动模型： 随机游动模型：y=y+a,的性质。 4.随机游动加漂移模型： 随机游动加漂移模型 y,=y,+C。+a 可以改写为： y=%++20 5.广义的随机趋势模型 10
10 第三章 趋势模型的拟合 （一）目的与要求 1．正确理解趋势平稳和差分平稳的概念； 2．掌握不同趋势的剔出方法； 3．掌握单位根的检验方法； 4．掌握 ARIMA 模型的拟合方法。 5.了解中国统计学家在 ARIMA 模型中的原创贡献，增强学生的民族自豪 感。 （二）教学内容 第一节 趋势平稳与差分平稳 1．趋势平稳； t B t y = y0 + c0 t +( ) 其中 (B) 是平稳成分， 则 { }t y 是趋势平稳的。 2．随机趋势； = = + + t i t ai y y c t 1 0 0 则 = t i i a 1 是随机趋势成分，这时， { }t y 不能通过剔除时间趋势而平稳，只能通过差 分平稳，所以 { }t y 是差分平稳的。 3．随机游动模型； 随机游动模型： t t at y = y −1 + 的性质。 4. 随机游动加漂移模型； 随机游动加漂移模型： t t at y = y −1 + c0 + 可以改写为： = = + + t i t ai y y c t 1 0 0 5. 广义的随机趋势模型