《电磁场》课程教学资源_教学教案_第三章 静电场分析

A(x,,z)相对参考点P(x,p=,)，[,=0]的电位为(x,,z)=d3.3.5将电场（点、体、面、线）表达式代入上式，即可得电位的相应表示式9点+c4元R1radt'体+cR4元80=ro,ds1面+CR4元60'ea!"1线+CR4元式子中：R=-"为场与源的距离电位电场的表示式对比E(r)=-一r2.64元8L[pdt'+c 3.7b：4元8R可见f的计算式简便得多标量积分，（E失量积分有3个分量），而又微分总是可计算的，也简单（引入Φ的原因）。例3.3.1求电偶极子P=qdl的电位9作图：极子与Z轴重合，球坐标系(r,0,!）场点电位：@=4元6（余弦定理：r2=r2+dp-2r(dl)cos61+di?2dlcos)%取倒数并提出r:1，1r2-P略去ddlcose

( , , ) ( , , ) ( , , ) P( , , ), 0 , , 3.3.5 p p p x y z p p p p x y z A x y z x y z x y z E dl     = =  相对参考点   的电位为 （ ）  将电场（点、体、面、线）表达式代入上式，即可得电位的相应表示式 式子中： R r r = −  为场与源的距离 电位——电场的表示式对比 ( ) ( ) 0 1 1 2.6 4 E r r d R      = −        0 1 3.7 4 d c  R      = +  可见 f 的计算式简便得多  标量积分，(E 矢量积分有 3 个分量), 而  微 分总是可计算的，也简单(引入 的原因)。 例 3.3.1 求电偶极子 p=qdl 的电位 作图:极子与 Z 轴重合, 球坐标系(r,) 场点电位: 0 1 1 4 q r r   + −   = −      + − − = + − 2 2 2 余弦定理：r r dl r dl 2 ( )cos 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 cos r 1 1 cos 1 dl r dl dl r r r r dl r r   − +   = + −       ⎯⎯⎯⎯→ +     略去 取倒数并提出 ：

dlcosop.radlcosep.e,-1Ar4元84元8.[3(p.r)..E(r)=-Vβ商第二二章相同r4元例3.3.2半径为a的园平面上均匀分布电荷S，求中轴线上任意点的中、E。解：显见此题做不出高斯面，因此不能直接求DO但可用电位法解，仍然是作圆、，图：场与圆环距离环上小源-or'dedrR=~P+z小圆环在场点总电位：r'dror'drO门260Z>0ag:. E(2)= -V(z)=azz<0260当a0o时，Φ(2)0.这是由于(z)参考点取在o所致，可通过参考点的修正，使(z)在a0o时有限，但这对E的解没影响。对E的解直接在式中令aoo，则可得到与上节无限大平面相同的结果

( ) ( ) 5 3 0 1 3 4 p r p E r r r r       = − = −     与第二章相同 例 3.3.2 半径为 a 的园平面上均匀分布电荷 s,求中轴线上任意点的 、E。 解：显见此题做不出高斯面，因此不能直接求 D0 但可用 电位法解，仍然是 作圆、R, 图：场与圆环距离 环上小源= 小圆环在场点总电位: 当 a时，(z)   这是由于(z)参考点取在所致，可通过参考点的修正，使(z)在 a 时 有限，但这对 E 的解没影响。对 E 的解直接在式中令 a,则可得到与上节无限大平面相 同的结果 。 z P R1 r +q  -q y x R

刻3.3.3证明导体表面的电荷密度与导体外电位函数有apG=Dom=60E,=-80an：（导体为等位体，电荷仅分布于表面）作图：面积为AS的小圆柱（①导体内静电场=0；高斯面内侧为导体内部，无通量：（AS很小，各点E相同）D.-ds- Don-AS=o.ASJs4约去△S即得证。：ap8>8...E减小非真空：%→即可，即JG=D.=6E.=-8onn△sdh

例 3.3.3 证明导体表面的电荷密度与导体外电位函数有 D E on n 0 0 n      = = = −   导体内静电场=0; (导体为等位体,电荷仅分布于表面 )作图: 面积为 S 的小圆柱  高斯面内侧为导体内部，无通量: (S 很小, 各点 E 相同) 约去 S 即得证。. 非真空： 0 0 , , D E E n n n          → = = = −    即可 即 减小 n s dh

93.4泊松方程、控誉拉薪方部思路：前面介绍的静电场基本方程是矢量方程，若能找到的微分方程通过边界条件解得，求E简便。[ D,= E:[v.D,=p.V-(c,E)=p..V.V@=Vo=-"E=-V@60准松方程V.V=V拉普拉斯算符自由空间（没有电荷分布p=0）V=0搅普斯方程场：无界——利用场源积分法有界求解微分方程+边界条件aaa)aaaa2a2a2?=+té.直角坐标下：包+éex+é,-++ayax?0z20zaryayaxay国往座保下的验普拉斯好符：在圆柱坐标下，方向矢量不再是常量：[ae,=e000ae.二一ea001 aa)(a1aaV? =+é+e.-er+ee+erorrarragropOza2a2102e.)a.e++I0z2100eorOr2ra2a2.102.1a+z2ar2200?Trorta2021 a(a)1r+0u2r orlar)r? 0g?

§3.4 泊松方程、拉普拉斯方程 思路:前面介绍的静电场基本方程是矢量方程,若能找到的微分方程 通过边界条件 解 得 ,  求 E 简便。 拉普拉斯算符 自由空间(没有电荷分布 =) 2  =  0 拉普拉斯方程 场： 无界——利用场源积分法 有界——求解微分方程+边界条件 直角坐标下： 2 2 2 2 x y z x y z 2 2 2 e e e e e e x y z x y z x y z               = + +  + + = + +                  圆柱坐标下的拉普拉斯算符： 在圆柱坐标下，方向矢量不再是常量： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 r z r z e e e e e e r r z r r z e e r r z r r r r r r z r r r r r z                     = + + • + +                     = + + +  •             = + + +           = + +        

理论上可解，但太复杂（背），交叉项太多。球整标：e,e,=egL=e-sing0aneaeg=e..cose-eaea0E=0e,sing-e.cosga8aga2/ar1%(r%)sing0)1V2orlr)r?sineaelaersineap例3.4.1半径为a的带电导体球，球体电位U（无限远=0），求空间的电位函数及电场。解：由空间对称性显见β仅与r有关，即β=(r)1d(.2dp方程为0== 0r2 drdrβ=0→C,=0→8C+C，边界条件：直接积分得0=p=U→C,=-aUrr=aau[a/r≥adpe,r>a/r..E--VO:.0(等位体)r≤adrU0r<a其它形式的边界条件：apα(a)=-60an面电荷分布也可确定C，问题也可是上述两种混合型边界条件。[α(8)=0

球坐标： 理论上可解，但太复杂（背），交叉项太多。 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin sin sin r r r r r r                 = + +              例 3.4.1 半径为 a 的带电导体球，球体电位 U（无限远＝0），求空间的电位函数及电场。 解：由空间对称性显见    仅与r r 有关，即 = ( ) 2 2 2 1 0 d d r r dr dr      = =     方程为 1 2 C C r 直接积分得  = − + , 2 1 r 0 0 C r a U C aU    →  = → =   = = → = − 边界条件： ( ) 2 0 r aU aU r a d e r a r E r U r a dr r a          =  = − = − =        等位体 其它形式的边界条件： 面电荷分布 ( ) ( ) 0 0 r a a n     =    = −     =  也可确定 C,问题也可是上述两种混合型边界条件