第五章微商与微分 微商概念及其计算 1.求抛物线y=x2在A(1,1)点和B(-2,4)点的切线方程和法线方程 2.若S=vt (1)在t=1,t=1+△t之间的平均速度(设△t=1,0.1,0.01) (2)在t=1的瞬时速度 3.试确定曲线y=lnx在哪些点的切线平行于下列直线 ≥3 设f(x) lax+b,x<3, 试确定a,b的值,使f(x)在x=3处可导 5.求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程 (1)y=,P(2,1); (2)y=cosx,P(0,1) 6.求下列函数的导函数 (1)f(x) x+1,x≥0 (2)f(x)= 1,x<0; x sIn 设函数f(x) (m为正整数 试问:(1)m等于何值时,f(x)在x=0连续; (2)m等于何值时,f(x)在x=0可导; (3)m等于何值时,f(x)在x=0连续
第五章 微商与微分 1 微商概念及其计算 1．求抛物线 2 y x = 在 A(1,1) 点和 B( 2,4) − 点的切线方程和法线方程． 2．若 1 2 2 S vt gt = − ，求 （1）在 t t t = = + 1, 1 之间的平均速度（设 =t 1,0.1,0.01 ）； （2）在 =t 1 的瞬时速度． 3．试确定曲线 y x = ln 在哪些点的切线平行于下列直线： （1） y x = −1 ； （2） y x = − 2 3． 4．设 2 , 3 ( ) , 3, x x f x ax b x = + 试确定 a b, 的值，使 f x( ) 在 x = 3 处可导． 5．求下列曲线在指定点 P 的切线方程和法线方程： （1） 2 , (2,1) 4 x y P = ； （2） y x P = cos , (0,1) ． 6．求下列函数的导函数. （1） 3 f x x ( ) = ； （2） 1 0, ( ) 1 0; x x f x x + = 7．设函数 1 sin , 0 ( ) 0 , 0 m x x f x x x = = （m 为正整数）． 试问：（1）m 等于何值时， f x( ) 在 x = 0 连续； （2）m 等于何值时， f x( ) 在 x = 0 可导； （3）m 等于何值时， f x'( ) 在 x = 0 连续．
设B(0)=g(0)=0,f(x)=8(x)sin-,x≠0 x=0 求∫(O) 9.证明:若f(x0)存在,则 f(x0+△x)-f(x0-△x) 10.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且对任意x1,x2∈(-∞,+∞),有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2) 若∫(0)=1,证明任意x∈(-∞,+∞),有∫(x)=f(x) 1l.设f(x)是偶函数,且f(0)存在,证明:f(0)=0 设f(x)是奇函数,且 3,求f( 13.用定义证明:可导的偶函数的导函数是奇函数,可导的奇函数的导函数是偶函数 14.求下列函数的导函数 (1)y=x sin x: (2)y=xcosx+3x: (3)y=xtanx-7x+6 e sin x-7cosx+5 (5)y=4x+--2x3 6)y=3x+5√x+ (8)y“1+x+x2: (9 (1-x)(2-x)
8．设 g g (0) '(0) 0 = = ， 1 ( )sin 0, ( ) 0 0. g x x f x x x = = 求 f '(0)． 9．证明：若 0 f x'( ) 存在，则 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) x 2 f x x f x x f x → x + − − = ． 10．设 f x( ) 是定义在 − + ( , ) 上的函数，且对任意 1 2 x x, ( , ) − + ，有 1 2 1 2 f x x f x f x ( ) ( ) ( ) + = . 若 f '(0) 1 = ，证明任意 x − + ( , ) ，有 f x f x '( ) ( ) = ． 11．设 f x( ) 是偶函数，且 f '(0) 存在，证明： f '(0) 0 = ． 12．设 f x( ) 是奇函数，且 0 f x'( ) 3 = ，求 0 f x '( ) − . 13．用定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数． 14．求下列函数的导函数： （1） 2 y x x = sin ； （2） 2 y x x x = + cos 3 ； （3） y x x x = − + tan 7 6 ； （4） 2 sin 7cos 5 x y e x x x = − + ； （5） 1 3 y x x 4 2 x = + − ； （6） 3 7 y x x 3 5 x = + + ； （7） 2 2 1 1 x y x + = − ； （8） 2 1 1 y x x = + + ； （9） (1 )(2 ) x y x x = − − ；
(10) √x1 1+√x (12)y-3√x (13) y=x'Inx--x COS x (14)y= (15)y=(x+-)lnx; x cosx-In x (16)y +1 (17)y= x+ cos x xsin x+ coS x (18)y xsinx- cosx (19) sInx (20)y=xsin xInx 15.求下列复合函数的导函数: (1)y=(x32-4) (2)y=x(a2+x2)la2-x2 (3) (5) y=In(Inx): (6)y=In/a+x/ (7)y=lhx+≌a2+x)
（10） 1 1 1 1 y x x = − + − ； （11） 1 1 x y x + = − ； （12） 1 3 3 y x x = + ； （13） 3 1 ln n y x x x n = − ； （14） 4 cos 1 ln x y x x = ； （15） 1 y x x ( )ln x = + ； （16） cos ln 1 x x x y x − = + ； （17） 1 cos y x x = + ； （18） sin cos sin cos x x x y x x x + = − ； （19） 1 sin x xe y x − = ； （20） y x x x = sin ln ． 15．求下列复合函数的导函数： （1） 3 3 y x = − ( 4) ； （2） 2 2 2 2 y x a x a x = + − ( ) ； （3） 2 2 x y a x = − ； （4） 3 3 3 1 1 x y x + = − ； （5） y x = ln(ln ) ； （6） 1 ln 2 a x y a x + = − ； （7） 2 2 y x a x = + + ln( ) ；
(8)y=In tan- (9)y=cos(cos√x) (10)y=cos'x-cos 3x: (12) y= arcsin(sin x cos x) (13) y=arctan 2 3 (14)y=e 15)y x+1 (16) y=e sin 3x+ (17)y (k,o为常数) 1+x (18)y=xa2-x2+x (19)y=sin"xcosnx x (20) 16.用对数求导法求下列函数的导函数 (1)y=x 1+x (2) 1-xV1+x+x' (3)y=(x+√1+x2) (4)y=x2,(x>0); (x>0);
（8） ln tan 2 x y = ； （9） y x = cos(cos ) ； （10） 3 y x x = − cos cos3 ； （11） 2 1 3 2 x y e − = ； （12） y x x = arcsin(sin cos ) ； （13） 2 2 arctan 1 x y x = − ； （14） 2 x x 2 y e − + = ； （15） ( 2)( 3) ln 1 x x y x + + = + ； （16） 2 2 sin 3 2 x x y e x = + ； （17） sin ( , ) 1 kx e x y k x − = + 为常数 ； （18） 2 2 2 2 x y x a x a x = − + − ； （19） sin cos n y x nx = ； （20） 1 1 ln 1 1 x x y x x + − − = + + − ． 16．用对数求导法求下列函数的导函数： （1） 1 1 x y x x − = + ； （2） 2 2 1 1 1 x x y x x x + = − + + ； （3） 2 ( 1 )n y x x = + + ； （4） ( 0) x y x x = ； （5） ln ( 0) x y x x = ；
(6)y > (7)y=x,(x>0); (8)y=amx,(a>0) 17.设∫(x)是对x可导的函数,求 (3)y=f(f(f(x)) 18.设o(x)和v(x)是对x可求导的函数,求 (1)y=√o2(x)+v2(x) (2)y=arctan) (v(x)≠0) y(x) (3)y=wy(x)((x)>0ox)≠0) (4)y= logor, y(x)(v(x)>0,(x)>0.(x)≠1) 19.求下列函数的导函数: (1)y=e(cos bx+sin bx) (2)y=arctan x-In(1+x') 2 (3)y=arctan + arctan (4)y=arctan(tan x): (-)°(-)(a,b>0) (6)y= arcsin a>0) y=a2+ In x+
（6） 1 (1 ) ( 0) x y x x = + ； （7） tan ( 0) x y x x = ； （8） sin ( 0) x y a a = ． 17．设 f x( ) 是对 x 可导的函数，求 dy dx ： （1） 2 y f x = ( ) ； （2） ( ) ( ) x f x y f e e = ； （3） y f f f x = ( ( ( ))) ． 18．设 ( ) x 和 ( ) x 是对 x 可求导的函数，求 dy dx ： （1） 2 2 y x x = + ( ) ( ) ； （2） ( ) arctan ( ( ) 0) ( ) x y x x = ； （3） ( ) ( ) ( ( ) 0, ( ) 0) x y x x x = ； （4） ( ) log ( ) ( ( ) 0, ( ) 0, ( ) ) x y x x x x = ． 19．求下列函数的导函数： （1） (cos sin ) ax y e bx bx = + ； （2） 1 2 arctan ln(1 ) 2 y x x x = − + ； （3） 2 2 1 1 2 arctan arctan 1 x x y x x − − = + − ； （4） 2 y x = arctan(tan ) ； （5） ( ) ( ) ( ) ( , 0) a b x x a b y a b b x a = ； （6） 2 2 2 arcsin ( 0) 2 2 x a x y a x a a = − + ； （7） 2 2 2 2 2 ln ( 0) 2 2 x a y a x x a x a = + + + + ；